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第一章 光的干涉 课后习题解答第一章 光的干涉1 波长为500nm的绿光照射在间距为0.022cm的双缝上，在距离180cm处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。若改用波长700nm的红光照射此双缝，两个亮条纹之间的距离又为多少？计算这两种光第二级亮条纹位置的距离。解：本题是杨氏双缝干涉实验，其光路、装置如图。由干涉花样亮条纹的分布规律： （j=0、1、2、）得亮条纹间距： (1) 其中：=500nm和700nm、d=0.022mm、r0=180cm代入公式(1)计算得到:当=500nm时,两个亮条纹之间的距离:当=700nm时,两个亮条纹之间的距离: 第2 级亮条纹的位置: (2)当=500nm时: 当=700nm时: 两种光第二级亮条纹位置间的距离: 2 在杨氏实验装置中，光源的波长为640nm，两缝间距为0.4mm，光屏离双缝的距离为50cm，试求：（1）光屏上第一亮条纹和中央亮条纹之间距离；（2）若P点距离中央亮条纹0.1mm，则两束光P点的相位差；（3）P点的光强度与中央亮条纹的强度之比。解: (1) 由: （1），已知：=640nm，d=0.4mm，r0 = 50cm，j=1代入公式（1）解得，第一亮纹到中央亮纹的距离：y=0.8mm(2)两束光传播到P点的光程差为：位相差为：代入数据：=640nm、d=0.4mm、r0=50cm、y=0.1mm得到两束光在P点的相位差：（3）在中央亮条纹的位置上，两光的相位差为：光强度为：P点的光强度为：两条纹光强度之比为：3 把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏双缝的一束光中，光屏上原来第五级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹，求插入的玻璃片的厚度。已知光波长为600nm。 解：当两束光传播到原来为第五级亮条纹位置P点时，两光的光程位差为： （1）插入玻璃片后，两光在P点的光程差： （2） 其中：j5=5、j0=0、n=1.5、=600nm、t为玻璃片厚度，（1）、（2）两式联立得：解得：t = 6000nm 4 波长为500nm的单色平行光照射间距为0.2mm的双缝，通过其中一缝的能量为另一缝能量2倍，在离双缝50cm的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条纹的可见度。 解：已知：=500nm、d=0.2mm、r0 = 50cm由：解得干涉条纹间距为：设通过一缝的能量为I1，另一缝的能量为2 I1，则对应通过两缝的光振幅分别为： 由： 解得条纹可见度：V=0.9425 波长为700nm的光源与菲涅耳双镜相交棱之间的距离为20cm，棱到光屏间的距离L为180cm，若所得的干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm，求上镜平面之间的夹角。解：光源S经两镜成虚象，两虚光源S、S的间距为： 光源到光屏的距离为：由条纹间距：，变形得： 已知：=700nm、r = 20cm、L=180cm、y=1mm，代入上式解得：=126 在图中的劳埃德镜实验中，光源S到观察屏的距离为1.5m，到劳埃德镜面的垂直距离为2mm，劳埃德镜长为40cm，置于光源和屏之间的中央。（1）若光波波长=500nm，问条纹间距是多少？（2）确定屏上可以看到条纹区域的大小？（3）在此区域内有多少条条纹？ 解：（1）根据题目给定的条件，可得到，两光源S、S的距离： d=4mm 且：光源到光屏的距离：r0=1.5m 光波波长：=500nm由：，得条纹间距：（2）根据反射定律和几何知识，且劳埃德镜在光源和屏中央，得到SOMP2P0M；SONP1P0N即有： 由：光源到光屏的距离：r0=1.5m、劳埃德镜长：L=0.4m，可解得：OS = 2mm、OM = 0.55m、P0M = 0.95m、ON = 0.95m、P0N = 0.55m 进而解出：P0P1 = 3.455mm P0P2 = 1.158mm则看到干涉条纹的区域为:P1P2 = P0P2 - P0P1 = 3.455mm - 1.158mm = 2.297mm(3)因干涉区域为：l= 2.297mm，条纹间距为：y = 0.175mm则看到的干涉条纹数为：n =l/y = 12条即可看到12条暗条纹或12条亮条纹。7 试求能产生红光（=700nm）的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度。已知肥皂膜的折射率为1.33，且平行光与法向成300角入射。解：根据题意，该干涉现象为等倾干涉现象，是二级干涉相长，由相干条件： （j=0、1、2）已知：n1=1、n2=1.33、i1=300、j =2、=700nm解得薄膜厚度为：d0 = 710nm8 透镜表面通常镀一层如MgF2（n=1.38）一类的透明物质薄膜，目的是利用干涉来降低玻璃表面的反射。为了使透镜在可见光谱的中心波长（=550nm）处产生极小的反射，则镀层必须有多厚？解：根据题意，该现象为等倾干涉相消现象，由相干条件： （j=0、1、2）已知： n2=1.38、i2=900、j =1、=550nm解得薄膜厚度为：d0 = 9 在两块玻璃片之间一边放一条厚纸，另一边相互压紧。玻璃片长为10cm，纸厚为0.05mm，从600的反射角进行观察，问在玻璃片单位长度上看到的干涉条纹数目是多少？设单色光源的波长为500nm。解:设第j级亮条纹对应薄膜厚度为：dj，第j+1级亮条纹对应薄膜厚度为：dj+1根据相干条件：得到两亮条纹对应薄膜厚度差：从题图中，可得到：将数据：L=10cm、d=0.05mm、i1=600、=500nm、n1=n2=1解得条纹间距：x=0.1cm在玻璃片单位长度上看到的条纹数目:N = 1/x = 10条/cm10 在上题装置中，沿垂直于玻璃片表面的方向看去，看到相邻两条暗条纹间距为1.4mm。已知玻璃片长为17.9cm，纸厚为0.036mm，求光波的波长。解：当沿垂直方向看去，有：i1= 900 ，则：结合： 得到：将数据：x=1.4cm、L=17.9cm、d=0.036mm代入上式得到光波长：=563.1nm11 波长为400760nm的可见光，正射在一块厚度为1.210-6m，折射率为1.5的玻璃片上，试问从玻璃片反射的光中那些波长的光最强？解:此题为等倾干涉相长现象, 薄膜（玻璃片）厚度确定，求波长，由相干条件: 代入数据：n=1.5、d0 = 1.210-6m、i2 = 900解出波长： j = 0、1、2、3、将干涉级数j = 0、1、2、3、分别代入，解出在可见光范围内的光波波长；j = 5 时，； j = 6 时，j = 7 时，； j = 8 时，12 迈克尔逊干涉仪的反射镜M2移动0.25mm时，看到条纹移过的数目为909个，设光为垂直入射，求所用光源的波长。 解：在空气中、正入射时，迈克尔逊干涉仪的相干条件： 、由上式可推出，M2镜移动的距离d与条纹变化数目N的关系式： 已知：d = 0.25mm、N = 909计算得到：= 550nm 13 迈克尔逊干涉仪平面镜的面积为44cm2,观察到该镜上有20个条纹,当入射光的波长为589nm时,两镜之间的夹角为多少? 解：由题意，干涉仪的两平面镜M1、M2成一定的夹角，产生等厚干涉现象，干涉条纹的间距：x = 4/20 = 0.2cm相邻两亮条纹对应薄膜的厚度，由: 其中：n2=1、i2=900，可推出：d = /2 = 2.94510-5cm从图中可得:sin=d/x 30.414 调节一台迈克尔逊干涉仪,使其用波长为500nm的扩展光源照明时,出现同心圆环条纹.若要使圆环中心相继出现1000条圆环条纹,则必须将移动一臂多远的距离?若中心是亮的,试计算第一暗环的角半径。解：由： ，已知：= 500nm、N = 1000计算得到迈克尔逊干涉仪一臂移动的距离：d = 0.25mm(2) 因花样中心是亮的，设其干涉级数为j，相应第一暗环的干涉级数同时为j，即有：第j级亮环： 第j级暗环： 其中i2为所求的角半径从上两式得到：因： 即得：15 用单色光观察牛顿环,测得某一亮环的直径为3mm,在它外边第5 个亮环的直径为4.6mm，所用平凸透镜的凸面曲率半径为1.03m，求此单色光的波长。解:牛顿环亮环半径的表达式为:设某亮环的干涉级数为j,它外边第五个亮环的级数为j+5,即有: 两式相减得到:代入数据：rj=3/2mm=1.5mm、 rj+5=4.6/2mm=2.3mm、 R=1.03m，解出光波波长：= 590.3nm16 在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环，其第2级亮环与第3级亮环的间距为1mm，求第19级和第20级亮环之间的距离。解: 根据牛顿环亮环半径的表达式:得到第j2=2级亮环与第j3=3级亮环的间距为:第j20=20级亮环与第j19=19级亮环的间距为:两式相比,代入已知数据(r3-r2=1mm),得到: 解出第19级和第20级亮环之间的距离：r20-r19=0.039mm17 牛顿环可由两个曲率半径很大的平凸透镜之间的空气层产生（如图），两平凸透镜凸面的半径分别为RA、RB，在波长为600nm的单色光照射下，观察到第10个暗环的半径rAB=4mm。若另有曲率半径为RC的平凸透镜C，并且B、C组合，A、C组合，产生的第10个暗环的半径分别为rBC=5mm、 rAC=4.5mm，试计算RA、RB、RC。 解：在图中，用单色光照射时，两束反射光的光程差： 其中： 有暗条纹的相干条件：暗条纹的半径： 对第十个暗纹：j=10，入射光波长：=600nm当A、B组合时： 当B、C组合时： 当A、C组合时： 解上述三个方程，得到：RA=6.27m、RB=4.64m、RC=12.43m。18 菲涅耳双棱镜实验装置尺寸如下：缝到棱镜的距离为5cm，棱镜到屏的距离为95cm，棱镜角为=179032，构成棱镜玻璃的折射率n=1.5。采用单色光照射。当厚度均匀的肥皂膜横过双棱镜的一半部分放置，该系统中心部分附近的条纹相对以前有0.8mm的位移。若肥皂膜的折射率为1.35，试计算肥皂膜厚度的最小值。解：在图（1）中，光源S经双棱镜折射，形成两个虚光源S1、S2，设S1、S2之间的距离为d， 近似地有：（n-1）A 并且有：2A+=1800 A=14=0.004rad已知缝到棱镜的距离为：L=5cm，d/2L解出：d=2L=2L（n-1）A=0.2mm 设肥皂膜的厚度为t，折射率为n 肥皂膜没插入前，干涉相长的条件：插入肥皂膜后，干涉相长的条件：两式相减，得肥皂膜的最小厚度： 代入数据：r0=（95+5）cm、y-y=0.8mm、n=1.35、d= =0.2mm计算得到肥皂膜的最小厚度：t=4.9410-7m19 将焦距为50cm的会聚透镜中央部分C切去,余下的A、B两部分仍旧粘起来，C的宽度为1cm。在对称轴线上距透镜25cm处置一点光源，发出波长为692nm的红宝石激光，在对称轴线上透镜的另一侧50cm处置一光屏，屏面垂直于轴线，试求：（1）干涉条纹的间距是多少；（2）光平上呈现的干涉图样是怎样的？解：透镜按题意分为A、B后，是两个透镜，点光源S经A、B两透镜后，形成两个象S1、S2 ，如图。 图中，O1O1为A透镜的主轴，已知：s=-25cm f=50cm 由： 解得象距为：s=-50cm由： 解得象的横向位置为：y= 1cm也即A 透镜所成的象S2距透镜25cm，距系统对称轴0.5cm同理，B透镜所成的象S1距透镜25cm，距系统对称轴0.5cm两个相干的虚光源S1、S2之间的距离：d = 1cm光源到观察屏之间的距离：r0 = 1m（1）干涉条纹的间距： 由：，得条纹间距：（2）因相干光源的形状是两个点光源，所以形成的干涉花样的形状为一族双曲线，见图。在d较小、r0较大的情况下，花样近似地看成是明暗相交的直线条纹。20 将焦距为5cm的薄凸透镜L沿直线方向刨开（见图1-4），分成A、B两部分，将A部分沿轴线右移至25cm处，这种类型的装置称为梅斯林对切透镜。若将波长为632.8nm的点光源P置于主轴上离透镜LB的距离为10cm处，试分析：（1）成象情况如何？（2）若在LB右边10.5cm处放一光屏，则在光屏上观察到的干涉图样如何？解：（1）透镜按题意分为A、B后，是两个透镜，点光源S经A、B两透镜后，形成两个象S1、S2 ，如图。 根据透镜成像公式： 解得象距为：s1=35/6cm s2=10cm在两透镜的公共主轴上形成两个象。 （2）在光屏上有两束光重叠，以主轴和光屏的交点为圆心，呈现出一组明暗相间的同心半圆周线，见图。由右图，解出亮条纹的半径：说明亮条纹的半径随干涉级数的增大而增大。由上式可解出条纹间距：表明亮条纹之间的距离随j的增大而减小。21 如图1-5所示,A为平凸透镜,B为平板玻璃,C为金属柱,D为框加,A、B间有孔隙，图中绘出的是接触时的情况，而A固结在框加的边缘上。温度变化时，C发生伸缩，假设A、B、D都不发生伸缩，以波长为632.8nm的激光垂直照射，试问：（1）在反射光中观察时，看到牛顿环条纹移向中央，这表示金属柱C的长度是在增加还是减小？（2）若观察到有10个亮条纹移到中央消失，试问C的长度变化了多少？解：（1）在反射光中观察到牛顿环第j级亮条纹的光程差为：条纹半径为：从上两式可知，干涉级数j随薄膜厚度的增加而增加。当看到条纹移向中央时，表示条纹的半径减小。此时在干涉场中一个确定点上，干涉级数是增加的，薄膜的厚度也在增加，就说明金属柱C的长度是在缩短。（2）当光程差改变一个半波长时，干涉场中看到条纹变化一次，则有条纹的变化次数N与薄膜厚度的变化量有如下关系式： 代入数据： 解出金属柱长度的变化量为：（本习题解答仅作参考）第二章 光的衍射 1 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带，求第k个波带的半径。若极点到观察点的距离r0为1m，单色光波长为450nm，求此时第一半波带的半径。解：当用平面光照射圆孔时，第k个波带的半径，由： 平行光R=解出为： 当：r0=1m、=450nm、k=1时，第一半波带的半径：2 平行单色光从左向右垂直照射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机的光圈那样改变大小，问：（1）小孔半径应满足什么条件，才能使得小孔右侧轴线上距小孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P点最亮时，小孔直径应为多大？设光的波长为500nm。解：用平行单色光垂直照射小圆孔，所露出的半波带的数目：，已知： r0=4m、=500nm、圆孔的半径为：（1）当k为奇数时，P点的光强为最大值；当k为偶数时，P点的光强为最小值；（2）若使P点最亮，圆孔应只露出1个半波带，即k=1，将： k=1代入： 得到小孔直径：3 波长为500nm的单色点光源离光阑1m，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的透光圆环，接受点P离光阑1m，求P点光强度I与没有光阑时的光强度I0的比值。解：已知：r0=1m、R=1m、=500nm半径为R1=0.5mm的圆屏所能遮住的半波带数k1： 半径为R2=1mm的圆孔能露出的半波带数k2：也即通光圆环只露出第2、3、4个波带，P点接受到的光振幅为： 光强度为： 没有光阑时，P点的光强度：I0=a12/4 得到：I ：I0 = 4 ：14 波长为632.8nm的平行光照射直径为2.76mm的圆孔，与孔相距1m处放一屏，试问：（1）屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？（2）要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前和向后移动多少？解：已知：r0=1m、Rk=2.76m、=632.8nm、R=（1）根据：解出正对圆孔中心的P接受到的半波带数为：k=3 因P点接受到奇数个半波带，则P点应为亮点。（2）若使P点变成与（1）相反的情况，则k要取为偶数，即：k=2或4当k=4时， 屏幕至少要向前移动：r0 =1m-0.75m=0.25m当k=2时， 屏幕至少要向后前移动：r0 =1.5m-0.75m=0.5m5 一波带片由五个半波带组成，第一波带为半径r1的不透明圆盘，第二波带是r1到r2的透明圆环，第三波带是r2到r3的不透明圆环，第四波带是r3到r4的透明圆环，第五波带是r4至无穷大的不透明区域。已知：r1：r2：r3：r4=1：2：3：4，用波长500nm的单色平行光照射，最亮的象点在距波带片1m的轴上，试求：（1）r1；（2）象点的光强；（3）光强极大值出现在轴上那些位置？解：因用平行单色光照射衍射屏，则半波带的计算公式为： 已知：r1：r2：r3：r4=第一波带遮住的波带数：第二波带露出的波带数：第三波带遮住的波带数：第四波带露出的波带数：波带片遮住和露出波带数之比：若使轴上距波带片1m的象点最亮，应取：k1=1、k2=2、k3=3、k4=4，（1）将r0=1m、=500nm、 k=1代入： 解出： （2）从：看出，最亮的象点接受到第二、第四两个半波带，则光强度为： （I0为光自由传播时的强度。）（3）其他光强最大值的点出现在：1/3、1/5、1/7、等位置。6 波长为的点光源经波带片成一个象点，该波带片有100个透明奇数半波带（1、3、5、199），另外是100个不透明偶数半波带。比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时，该象点的强度比I：I0。解：用波带片时，象点接受到（1、3、5、199）共100个半波带 光强度为：用透镜时，因物点到象点的光程相等，象点接受到200个半波带，则光强度为：两种情况下的光强之比为：7 平面光的波长为480nm，垂直照射宽度为0.4mm的狭缝上，会聚透镜的焦距为60cm，分别计算当缝的两边P点的位相差为/2和/6时，P点离焦点的距离。解：缝两边的光传播到P点的光程差： 相位差：从图中: sintg=y/f 得到：y= fsin已知：=480cm、d=0.4mm、 f=60cm当: ，由上式解得：sin1=0.003P点到焦点的距离：y1= fsin1=0.018cm当: ，由上式解得：sin1=0.001P点到焦点的距离：y1= fsin1=0.006cm8 白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三级次最大与波长为600nm的光波的第二级次最大重合，求该光波的波长。解：单缝衍射图样中，次最大的位置：某一波长的第三级次最大的位置：600nm光波的第二级次最大位置：因两个次最大的位置重合，有：解出某光的波长：9 波长为546.1nm的平行光垂直照射在1mm宽的缝上，若将焦距为100cm的透镜紧贴在缝的后面到，并使光聚焦到屏上，问衍射图样的中央到（1）第一最小值；（2）第一最大值；（3）第三最小值的距离分别是多少？解：单缝衍射中，衍射光的传播方向设为（1）第1最小值的衍射角：其位置：y= fsin= f/b=0.055cm（2）第1最大值的衍射角： k=1其位置：=0.082cm（3）第3最大值的衍射角： k=3其位置：=0.164 cm10 钠光通过宽0.2mm的狭缝后,投射到与缝相距300cm的照相底片上,所得的第一最小值与第二最小值之间的距离为0.885cm，问钠光的波长为多少？若改用X射线(=0.1nm)做此实验,问底片上两最小值之间的距离是多少?解： 因为单缝衍射，设第一最小值到花样中央的距离为：y1；第二最小值到中央的距离为：y2对第一最小值： 对第二最小值： 两最小值间的距离： 已知：y=0.885cm、 L=300cm、 b=0.2mm，代入上式，解得钠光的波长：=590nm当用波长=0.1nm 的X射线时：11 以纵坐标表示光强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍射（包括缝间干涉）图样。设缝宽为b，相邻两缝之间的距离为d，且d=3b。 解：因：N=3，相邻两最大值间有2个暗条纹，1个次最大；又因：d=3b，所以第3、6、9、级谱线缺级。以相对光强为纵坐标，sin为横坐标，做出衍射图样。12 一束平行白光垂直照射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二级别光谱的始端的衍射角之差是多少？设可见光中最短紫光的波长为400nm，最长红光的波长为760nm。解：在光栅衍射中，因/d，波长大色光衍射角也大，所以在可见光的同一级谱线中，红光的衍射角大，紫光的衍射角小。已知：红光波长1=760nm、紫光波长2=400nm、d=1/50mm设第一级（j1=1）光谱末端的衍射角为1，有：dsin1=j11 解得： sin1=j11/d=760/d 12.1880第二级（j2=2）光谱始末端的衍射角为2，有：dsin2=j22 解得： sin2=j22/d=800/d 22.2920 衍射角的扎：2-1=2.2920-2.1880 =0.110713 用可见光（400nm760nm）照射光栅时，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？解：从上题，一级谱线末端的衍射角：sin1=j11/d=760/d二级谱线始端的衍射角：sin2=j22/d=800/d因：sin2=800/d sin1 =760/d所以，一级光谱和二级光谱不重叠。二级谱线末端的衍射角：sin3=j21/d=1520/d三级谱线始端的衍射角：sin4=j32/d=1200/d因：sin3=1520/d 0 ，所以是凸面镜。8 某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜他自己的象，他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的象重合在一起。若凸面镜的焦距为10cm，眼睛距凸面镜顶点的距离为40cm，问玻璃板距观察者眼睛的距离是多少？解：已知：凸面镜成象时的物距： s=-40cm、焦距：f=10cm由：解出凸面镜成象的象距：s=8cm 此象到眼睛的距离：b=40+8=48cm又因薄玻璃板所成的象是虚象，与物对称，若使玻璃板中的象与凸面镜中所成的象重合在一起，则玻璃板应放在P与P的中间，即玻璃板到眼睛的距离：d=b/2=24cm9 物体位于凹面镜轴线上焦点之外，在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻