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第一章 光的干涉 课后习题解答
第一章 光的干涉

1 波长为500nm的绿光照射在间距为0.022cm的双缝上，在距离180cm处的光屏上形成干涉条纹，求两个亮条纹之间的距离。若改用波长700nm的红光照射此双缝，两个亮条纹之间的距离又为多少？计算这两种光第二级亮条纹位置的距离。

解：本题是杨氏双缝干涉实验，
其光路、装置如图。
由干涉花样亮条纹的分布规律：
（j=0、±1、±2、…）
得亮条纹间距： (1)
其中：λ=500nm和700nm、d=0.022mm、r0=180cm
代入公式(1)计算得到:
当λ=500nm时,两个亮条纹之间的距离:
当λ=700nm时,两个亮条纹之间的距离:
第2 级亮条纹的位置: (2)
当λ=500nm时:
当λ=700nm时:
两种光第二级亮条纹位置间的距离:

2 在杨氏实验装置中，光源的波长为640nm，两缝间距为0.4mm，光屏离双缝的距离为50cm，试求：（1）光屏上第一亮条纹和中央亮条纹之间距离；（2）若P点距离中央亮条纹0.1mm，则两束光P点的相位差；（3）P点的光强度与中央亮条纹的强度之比。
解: (1) 由: （1），
已知：λ=640nm，d=0.4mm，r0 = 50cm，j=1
代入公式（1）解得，第一亮纹到中央亮纹的距离：y=0.8mm

(2)两束光传播到P点的光程差为：

位相差为：
代入数据：λ=640nm、d=0.4mm、r0=50cm、y=0.1mm
得到两束光在P点的相位差：
（3）在中央亮条纹的位置上，两光的相位差为：
光强度为：
P点的光强度为：
两条纹光强度之比为：

3 把折射率为1.5的玻璃片插入杨氏双缝的一束光中，光屏上原来第五级亮条纹所在的位置变为中央亮条纹，求插入的玻璃片的厚度。已知光波长为600nm。

解：当两束光传播到原来为第五级
亮条纹位置P点时，两光的光程位差为：
（1）
插入玻璃片后，两光在P点的光程差：
（2）
其中：j5=5、j0=0、n=1.5、λ=600nm、t为玻璃片厚度，
（1）、（2）两式联立得：
解得：t = 6000nm

4 波长为500nm的单色平行光照射间距为0.2mm的双缝，通过其中一缝的能量为另一缝能量2倍，在离双缝50cm的光屏上形成干涉图样，求干涉条纹间距和条纹的可见度。

解：已知：λ=500nm、d=0.2mm、r0 = 50cm
由：
解得干涉条纹间距为：
设通过一缝的能量为I1，另一缝的能量为2 I1，则对应通过两缝的光振幅分别为：
由：
解得条纹可见度：V=0.942

5 波长为700nm的光源与菲涅耳双镜相交棱之间的距离为20cm，棱到光屏间的距离L为180cm，若所得的干涉条纹中相邻亮条纹的间隔为1mm，求上镜平面之间的夹角θ。

解：光源S经两镜成虚象，
两虚光源S、S的间距为：

光源到光屏的距离为：
由条纹间距：，变形得：
已知：λ=700nm、r = 20cm、L=180cm、Δy=1mm，
代入上式解得：θ=12＇

6 在图中的劳埃德镜实验中，光源S到观察屏的距离为1.5m，到劳埃德镜面的垂直距离为2mm，劳埃德镜长为40cm，置于光源和屏之间的中央。（1）若光波波长λ=500nm，问条纹间距是多少？（2）确定屏上可以看到条纹区域的大小？（3）在此区域内有多少条条纹？

解：（1）根据题目给定的条件，
可得到，两光源S、S＇的距离：
d=4mm
且：光源到光屏的距离：r0=1.5m
光波波长：λ=500nm
由：，得条纹间距：

（2）根据反射定律和几何知识，且劳埃德镜在光源和屏中央，
得到ΔSOM∽ΔP2P0M；ΔSON∽ΔP1P0N
即有：
由：光源到光屏的距离：r0=1.5m、劳埃德镜长：L=0.4m，可解得：
OS = 2mm、OM = 0.55m、P0M = 0.95m、ON = 0.95m、P0N = 0.55m
进而解出：P0P1 = 3.455mm P0P2 = 1.158mm
则看到干涉条纹的区域为:
P1P2 = P0P2 - P0P1 = 3.455mm - 1.158mm = 2.297mm

(3)因干涉区域为：Δl= 2.297mm，条纹间距为：Δy = 0.175mm
则看到的干涉条纹数为：n =Δl/Δy = 12条
即可看到12条暗条纹或12条亮条纹。

7 试求能产生红光（λ=700nm）的二级反射干涉条纹的肥皂膜厚度。已知肥皂膜的折射率为1.33，且平行光与法向成300角入射。

解：根据题意，该干涉现象为等倾干涉现象，是二级干涉相长，
由相干条件：
（j=0、1、2……）
已知：n1=1、n2=1.33、i1=300、j =2、λ=700nm
解得薄膜厚度为：d0 = 710nm

8 透镜表面通常镀一层如MgF2（n=1.38）一类的透明物质薄膜，目的是利用干涉来降低玻璃表面的反射。为了使透镜在可见光谱的中心波长（λ=550nm）处产生极小的反射，则镀层必须有多厚？

解：根据题意，该现象为等倾干涉相消现象，由相干条件：
（j=0、1、2……）
已知： n2=1.38、i2=900、j =1、λ=550nm
解得薄膜厚度为：d0 =

9 在两块玻璃片之间一边放一条厚纸，另一边相互压紧。玻璃片长为10cm，纸厚为0.05mm，从600的反射角进行观察，问在玻璃片单位长度上看到的干涉条纹数目是多少？设单色光源的波长为500nm。

解:设第j级亮条纹对应薄膜厚度为：dj，
第j+1级亮条纹对应薄膜厚度为：dj+1
根据相干条件：
得到两亮条纹对应薄膜厚度差：

从题图中，可得到：

将数据：L=10cm、d=0.05mm、i1=600、λ=500nm、n1=n2=1
解得条纹间距：Δx=0.1cm
在玻璃片单位长度上看到的条纹数目:N = 1/Δx = 10条/cm

10 在上题装置中，沿垂直于玻璃片表面的方向看去，看到相邻两条暗条纹间距为1.4mm。已知玻璃片长为17.9cm，纸厚为0.036mm，求光波的波长。
解：当沿垂直方向看去，有：i1= 900 ，则：
结合： 得到：
将数据：Δx=1.4cm、L=17.9cm、d=0.036mm代入上式
得到光波长：λ=563.1nm

11 波长为400—760nm的可见光，正射在一块厚度为1.2×10-6m，折射率为1.5的玻璃片上，试问从玻璃片反射的光中那些波长的光最强？
解:此题为等倾干涉相长现象, 薄膜（玻璃片）厚度确定，求波长，由相干条件:

代入数据：n=1.5、d0 = 1.2×10-6m、i2 = 900
解出波长： j = 0、1、2、3、……
将干涉级数j = 0、1、2、3、…分别代入，解出在可见光范围内的光波波长；
j = 5 时，； j = 6 时，
j = 7 时，； j = 8 时，

12 迈克尔逊干涉仪的反射镜M2移动0.25mm时，看到条纹移过的数目为909个，设光为垂直入射，求所用光源的波长。
解：在空气中、正入射时，迈克尔逊干涉仪的相干条件：
、
由上式可推出，M2镜移动的距离Δd与条纹变化数目N
的关系式：
已知：Δd = 0.25mm、N = 909
计算得到：λ= 550nm

13 迈克尔逊干涉仪平面镜的面积为4×4cm2,观察到该镜上有20个条纹,当入射光的波长为589nm时,两镜之间的夹角为多少?
解：由题意，干涉仪的两平面镜M1、M2成一定的夹角θ，产生等厚干涉现象，干涉条纹的间距：
Δx = 4/20 = 0.2cm
相邻两亮条纹对应薄膜的厚度，由:
其中：n2=1、i2=900，可推出：
Δd = λ/2 = 2.945×10-5cm
从图中可得:θ≈sinθ=Δd/Δx ≈ 30.4"
14 调节一台迈克尔逊干涉仪,使其用波长为500nm的扩展光源照明时,出现同心圆环条纹.若要使圆环中心相继出现1000条圆环条纹,则必须将移动一臂多远的距离?若中心是亮的,试计算第一暗环的角半径。
解：由： ，已知：λ= 500nm、N = 1000
计算得到迈克尔逊干涉仪一臂移动的距离：Δd = 0.25mm
(2) 因花样中心是亮的，设其干涉级数为j，相应第一暗环的干涉级数同时为j，即有：
第j级亮环：
第j级暗环： 其中i2为所求的角半径
从上两式得到：
因： 即得：

15 用单色光观察牛顿环,测得某一亮环的直径为3mm,在它外边第5 个亮环的直径为4.6mm，所用平凸透镜的凸面曲率半径为1.03m，求此单色光的波长。
解:牛顿环亮环半径的表达式为:
设某亮环的干涉级数为j,它外边第五个亮环的级数为j+5,
即有:
两式相减得到:
代入数据：rj=3/2mm=1.5mm、 rj+5=4.6/2mm=2.3mm、 R=1.03m，
解出光波波长：λ= 590.3nm
16 在反射光中观察某单色光所形成的牛顿环，其第2级亮环与第3级亮环的间距为1mm，求第19级和第20级亮环之间的距离。
解: 根据牛顿环亮环半径的表达式:
得到第j2=2级亮环与第j3=3级亮环的间距为:

第j20=20级亮环与第j19=19级亮环的间距为:

两式相比,代入已知数据(r3-r2=1mm),得到:

解出第19级和第20级亮环之间的距离：r20-r19=0.039mm
17 牛顿环可由两个曲率半径很大的平凸透镜之间的空气层产生（如图），两平凸透镜凸面的半径分别为RA、RB，在波长为600nm的单色光照射下，观察到第10个暗环的半径rAB=4mm。若另有曲率半径为RC的平凸透镜C，并且B、C组合，A、C组合，产生的第10个暗环的半径分别为rBC=5mm、 rAC=4.5mm，试计算RA、RB、RC。
解：在图中，用单色光照射时，两束反射光的光程差：
其中：
有暗条纹的相干条件：

暗条纹的半径
对第十个暗纹：j=10，入射光波长：λ=600nm
当A、B组合时：
当B、C组合时：
当A、C组合时：
解上述三个方程，得到：RA=6.27m、RB=4.64m、RC=12.43m。
18 菲涅耳双棱镜实验装置尺寸如下：缝到棱镜的距离为5cm，棱镜到屏的距离为95cm，棱镜角为α=179032＇，构成棱镜玻璃的折射率n=1.5。采用单色光照射。当厚度均匀的肥皂膜横过双棱镜的一半部分放置，该系统中心部分附近的条纹相对以前有0.8mm的位移。若肥皂膜的折射率为1.35，试计算肥皂膜厚度的最小值。
解：在图（1）中，光源S经双棱镜折射，形成两个虚光源S1、S2，设S1、S2之间的距离为d， 近似地有：θ≈（n-1）A
并且有：2A+α=1800
A=14＇=0.004rad
已知缝到棱镜的距离为：L=5cm，θ≈d/2L
解出：d=2Lθ=2L（n-1）A=0.2mm
设肥皂膜的厚度为t，折射率为n＇
肥皂膜没插入前，干涉相长的条件：
插入肥皂膜后，干涉相长的条件：
两式相减，得肥皂膜的最小厚度：
代入数据：r0=（95+5）cm、y-y＇=0.8mm、n＇=1.35、d= =0.2mm
计算得到肥皂膜的最小厚度：t=4.94×10-7m
19 将焦距为50cm的会聚透镜中央部分C切去,余下的A、B两部分仍旧
粘起来，C的宽度为1cm。在对称轴线上距透镜25cm处置一点光源，发出波长为692nm的红宝石激光，在对称轴线上透镜的另一侧50cm处置一光屏，屏面垂直于轴线，试求：（1）干涉条纹的间距是多少；（2）光平上呈现的干涉图样是怎样的？

解：透镜按题意分为A、B后，是两个透镜，点光源S经A、B两透镜
后，形成两个象S1、S2 ，如图。

图中，O1O1＇为A透镜的主轴，已知：s=-25cm f=50cm
由： 解得象距为：s＇=-50cm
由： 解得象的横向位置为：y＇= 1cm
也即A 透镜所成的象S2距透镜25cm，距系统对称轴0.5cm
同理，B透镜所成的象S1距透镜25cm，距系统对称轴0.5cm
两个相干的虚光源S1、S2之间的距离：d = 1cm
光源到观察屏之间的距离：r0 = 1m

（1）干涉条纹的间距：
由：，
得条纹间距：

（2）因相干光源的形状是两个点光源，所以形成的干涉花样的形状为一族双曲线，见图。在d较小、r0较大的情况下，花样近似地看成是明暗相交的直线条纹。

20 将焦距为5cm的薄凸透镜L沿直线方向刨开（见图1-4），分成A、B两部分，将A部分沿轴线右移至25cm处，这种类型的装置称为梅斯林对切透镜。若将波长为632.8nm的点光源P置于主轴上离透镜LB的距离为10cm处，试分析：（1）成象情况如何？（2）若在LB右边10.5cm处放一光屏，则在光屏上观察到的干涉图样如何？

解：（1）透镜按题意分为A、B后，是两个透镜，点光源S经A、B两透镜后，形成两个象S1、S2 ，如图。

根据透镜成像公式：
解得象距为：s1＇=35/6cm s2＇=10cm
在两透镜的公共主轴上形成两个象。
（2）在光屏上有两束光重叠，以主轴和光屏的交点为圆心，呈现出一组明暗相间的同心半圆周线，见图。
由右图，解出亮条纹的半径：

说明亮条纹的半径随干涉级数的增大而增大。
由上式可解出条纹间距：

表明亮条纹之间的距离随j的增大而减小。

21 如图1-5所示,A为平凸透镜,B为平板玻璃,C为金属柱,D为框加,A、B间有孔隙，图中绘出的是接触时的情况，而A固结在框加的边缘上。温度变化时，C发生伸缩，假设A、B、D都不发生伸缩，以波长为632.8nm的激光垂直照射，试问：（1）在反射光中观察时，看到牛顿环条纹移向中央，这表示金属柱C的长度是在增加还是减小？（2）若观察到有10个亮条纹移到中央消失，试问C的长度变化了多少？

解：（1）在反射光中观察到牛顿环第j级亮条纹的光程差为：

条纹半径为：
从上两式可知干涉级数j随薄膜厚度的
增加而增加。当看到条纹移向中央时，表示条纹的半径减小。此时在干涉场中一个确定点上，干涉级数是增加的，薄膜的厚度也在增加，，就说明金属柱C的长度是在缩短。
（2）当光程差改变一个半波长时，干涉场中看到条纹变化一次，则有条纹的变化次数N与薄膜厚度的变化量有如下关系式：

代入数据：
解出金属柱长度的变化量为：

（本习题解答仅作参考）
第二章 光的衍射

1 单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带，求第k个波带的半径。若极点到观察点的距离r0为1m，单色光波长为450nm，求此时第一半波带的半径。
解：当用平面光照射圆孔时，第k个波带的半径，由：
平行光R=∞
解出为：
当：r0=1m、λ=450nm、k=1时，
第一半波带的半径：

2 平行单色光从左向右垂直照射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机的光圈那样改变大小，问：（1）小孔半径应满足什么条件，才能使得小孔右侧轴线上距小孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P点最亮时，小孔直径应为多大？设光的波长为500nm。
解：用平行单色光垂直照射小圆孔，所露出的半波带的数目：，已知： r0=4m、λ=500nm、
圆孔的半径为：
（1）当k为奇数时，P点的光强为最大值；
当k为偶数时，P点的光强为最小值；
2）若使P点最亮，圆孔应只露出1个半波带，即k=1，
将： k=1代入： 得到小孔直径：

3 波长为500nm的单色点光源离光阑1m，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的透光圆环，接受点P离光阑1m，求P点光强度I与没有光阑时的光强度I0的比值。
解：已知：r0=1m、R=1m、λ=500nm
半径为R1=0.5mm的圆屏所能遮住的半波带数k1：

半径为R2=1mm的圆孔能露出的半波带数k2：

也即通光圆环只露出第2、3、4个波带，P点接受到的光振幅为：
光强度为： 没有光阑时，P点的光强度：I0=a12/4
得到：I ：I0 = 4 ：1
4 波长为632.8nm的平行光照射直径为2.76mm的圆孔，与孔相距1m处放一屏，试问：（1）屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？（2）要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前和向后移动多少？
解：已知：r0=1m、Rk=2.76m、λ=632.8nm、R=∞
（1）根据：
解出正对圆孔中心的P接受到的半波带数为：k=3
因P点接受到奇数个半波带，则P点应为亮点。
（2）若使P点变成与（1）相反的情况，则k要取为偶数，即：k=2或4
当k=4时，
屏幕至少要向前移动：Δr0 =1m-0.75m=0.25m

当k=2时，
屏幕至少要向后前移动：Δr0 =1.5m-0.75m=0.5m
5 一波带片由五个半波带组成，第一波带为半径r1的不透明圆盘，第二波带是r1到r2的透明圆环，第三波带是r2到r3的不透明圆环，第四波带是r3到r4的透明圆环，第五波带是r4至无穷大的不透明区域。已知：r1：r2：r3：r4=1：2：3：4，用波长500nm的单色平行光照射，最亮的象点在距波带片1m的轴上，试求：（1）r1；（2）象点的光强；（3）光强极大值出现在轴上那些位置？
解：因用平行单色光照射衍射屏，则半波带的计算
公式为： 已知：r1：r2：r3：r4=
第一波带遮住的波带数：
第二波带露出的波带数：
第三波带遮住的波带数：
第四波带露出的波带数：
波带片遮住和露出波带数之比：
若使轴上距波带片1m的象点最亮，应取：k1=1、k2=2、k3=3、k4=4，
（1）将r0=1m、λ=500nm、 k=1代入： 解出：
（2）从：看出，最亮的象点接受到第二、第四两个半波带，则光强度为： （I0为光自由传播时的强度。）
（3）其他光强最大值的点出现在：1/3、1/5、1/7、…等位置。
6 波长为λ的点光源经波带片成一个象点，该波带片有100个透明奇数半波带（1、3、5、…、199），另外是100个不透明偶数半波带。比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时，该象点的强度比I：I0。
解：用波带片时，象点接受到（1、3、5、…、199）共100个半波带
光强度为：
用透镜时，因物点到象点的光程相等，象点接受到200个半波带，
则光强度为：
两种情况下的光强之比为：

7 平面光的波长为480nm，垂直照射宽度为0.4mm的狭缝上，会聚透镜的焦距为60cm，分别计算当缝的两边P点的位相差为π/2和π/6时，P点离焦点的距离。

解：缝两边的光传播到P点的光程差：

相位差：
从图中: sinθ≈tgθ=y/f＇ 得到：y= f＇sinθ
已知：λ=480cm、d0.4mm、 f＇=60cm
当: ，由上式解得：sinθ1=0.003
P点到焦点的距离：y1= f＇sinθ1=0.018cm
当: ，由上式解得：sinθ1=0.001
P点到焦点的距离：y1= f＇sinθ1=0.006cm

8 白光形成的单缝衍射图样中，其中某一波长的第三级次最大与波长为600nm的光波的第二级次最大重合，求该光波的波长。

解：单缝衍射图样中，次最大的位置：
某一波长的第三级次最大的位置：
600nm光波的第二级次最大位置：
因两个次最大的位置重合，有：
解出某光的波长：

9 波长为546.1nm的平行光垂直照射在1mm宽的缝上若将焦距为100cm的透镜紧贴在缝的后面到，并使光聚焦到屏上，问衍射图样的中央到（1）第一最小值；（2）第一最大值；（3）第三最小值的距离分别是多少？
解：单缝衍射中，衍射光的传播方向设为θ
（1）第1最小值的衍射角：
其位置：y= f＇sinθ= f＇λ/b=0.055cm
（2）第1最大值的衍射角： k=1
其位置：=0.082cm
（3）第3最大值的衍射角： k=3
其位置：=0.164 cm
10 钠光通过宽0.2mm的狭缝后,投射到与缝相距300cm的照相底片上,所得的第一最小值与第二最小值之间的距离为0.885cm，问钠光的波长为多少？若改用X射线(λ=01nm)做此实验,问底片上两最小值之间的距离是多少?
解： 因为单缝衍射，设第一最小值到花样中央的距离为：y1；第二最小值到中央的距离为：y2
对第一最小值：
对第二最小值：
两最小值间的距离：
已知：Δy=0.885cm、 L=300cm、 b=0.2mm，代入上式，
解得钠光的波长：λ=590nm
当用波长λ=0.1nm 的X射线时：

11 以纵坐标表示光强度，横坐标表示屏上的位置，粗略地画出三缝的夫琅禾费衍射（包括缝间干涉）图样。设缝宽为b，相邻两缝之间的距离为d，且d=3b。
解：因：N=3，相邻两最大值间有2个暗条纹，1个次最大；又因：d=3b，所以第3、6、9、…级谱线缺级。以相对光强为纵坐标，sinθ为横坐标，做出衍射图样。

12 一束平行白光垂直照射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二级别光谱的始端的衍射角之差是多少？设可见光中最短紫光的波长为400nm，最长红光的波长为760nm。
解：在光栅衍射中，因θ∝λ/d，波长大色光衍射角也大，所以在可见光的同一级谱线中，红光的衍射角大，紫光的衍射角小。
已知：红光波长λ1=760nm、紫光波长λ2=400nm、d=1/50mm
设第一级（j1=1）光谱末端的衍射角为θ1，
有：dsinθ1=j1λ1 解得： sinθ1=j1λ1/d=760/d θ1≈2.1880
第二级（j2=2）光谱始末端的衍射角为θ2，
有：dsinθ2=j2λ2 解得： sinθ2=j2λ2/d=800/d θ2≈2.2920
衍射角的扎：θ2-θ1=2.2920-2.1880 =0.110≈7＇

13 用可见光（400nm—760nm）照射光栅时，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？
解：从上题，一级谱线末端的衍射角：sinθ1=j1λ1/d=760/d
二级谱线始端的衍射角：sinθ2=j2λ2/d=800/d
因：sinθ2=800/d > sinθ1 =760/d
所以，一级光谱和二级光谱不重叠。
二级谱线末端的衍射角：sinθ3=j2λ1/d=1520/d
三级谱线始端的衍射角：sinθ4=j3λ2/d=1200/d
因：sinθ3=1520/d < sinθ4 =1200/d
所以，二级光谱和三级光谱重叠。

14 用波长为589nm单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大之间的衍射角为15010＇，求该光栅1cm内的缝数是多少？
解：从题中知道，第20级谱线的衍射角为：θ=15010＇
已知波长：λ=589nm，由光栅方程：dsinθ=jλ
解得光栅常数：d=0.0045cm
1cm内的缝数为：N=1/d=222条/cm

15 用每毫米有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm的钠光谱，试问：（1）光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？（2）光以300角入射时，最多能观察到几级谱线？
解：已知：光栅常数：d=1/400mm 光波波长：λ=589nm
当谱线的衍射级数最大时，对应的衍射角：θ=900
（1）光垂照射光栅时，由光栅方程：dsinθ=jλ
解得：j≈4，即最多能观察到4级谱线。

（2）光以θ0= 300角入射时，光栅方程为：d（sinθ±sinθ0）=jλ
将：θ0= 300、θ=900、d=1/400mm、λ=589nm代入
dsinθ+ sinθ0）=jλ
解出最大的衍射级数：j=6
16 白光垂直照射到一个每毫米有200条刻痕的平面透射光栅上，试问在衍射角为300处会出现那些波长的光？其颜色如何？

解：已知：光栅常数：d=1/200mm、衍射角：θ=300
由光栅方程：dsinθ=jλ （j=0、1、2、3、…）
得到：λ=dsinθ/j ,代入数据,在可见光的范围内解得:
j=3时，λ1=666.7nm,是红色光；
j=4时，λ2=500nm, 是黄色光；
j=3时，λ3=400nm, 是紫色光；
三种色光的谱线在300方向上重合在一起。

17用波长为624nm单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b为0.012mm，不透明部分的宽度a为0.029mm，缝数N为103条，求：（1）单缝衍射图样的中央角宽度；（2）单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？（3）谱线的半角宽度为多少？

解：已知：λ=624nm、b=0.012mm、a=0.029mm、N=103条
计算得到光栅常数：d=a+b=0.041mm
（1）单缝衍射图样的中央角宽度：Δθ=2λ/b=5.960
（2）由：dsinθ=jλ和sinθ=λ/b，解得：j=d/b≈3.4
因衍射级数应取整数,所以j=3,单缝衍射图样中央宽度内能看到光谱的级数为3级,有n=2j+1=7条谱线。
（3）根据Δθ=λ/Ndcosθ，在θ不太大时，θ≈0，
解得：谱线的半角宽度：Δθ=1.52×10-5rad

18 波长为600nm的单色光正入射到一透明平面光栅上，有两个相邻的主最大分别出现在sinθ1=0.2和sinθ2=0.3处，第四级为缺级。（1）试求光栅常数；（2）试求光栅的缝可能的最小宽度；（3）在确定了光栅常数和缝宽之后，试列出在光屏上实际呈现的全部谱线级数。

解：（1）设相邻主最大的衍射级数分别为：j、j+1。
有： dsinθ1=jλ d sinθ2=（j+1）λ
两式相比： 解出：j=2
再代入：dsinθ1=jλ 得到光栅常数：d=6×10-6m=6×10-3mm

（2）因第四级缺级，说明：d：b = 4：1
所以光栅缝的宽度：b=d/4=1.5×10-3mm

（3）在光屏上呈现的谱线的最大级数为j，对应的衍射角为900，
由：dsinθ =jλ 解出谱线的最大级数：j=10
因：4、8级谱线缺级，不能被观察到，另外衍射角为900的第十级谱线也不能观察到，所以呈现在光屏上的有：
0、±1、±2、±3、±5、±6、±7、±9级谱线，共15条。
19 NaCl的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量M=58.5，密度ρ=2.17g/cm3。（1）试证相邻两分子间的平均距离为：

其中NA=6.02×1023/mol为阿伏加德罗常数。（2）用X射线照射晶面时，第二级光谱的最大值在掠射角为10的方向上出现，计算该X射线的波长。

解：在图中所示的晶体结构中，设计晶胞的棱边长为d，两离子间的平均距离为d/2，每个晶胞含有四个NaCl分子，那么其密度：

NaCl的质量：
上两式联立解出：
相邻两离子间的平均距离：

代入数据：

20 波长为0.00147nm的平行X射线射在晶体界面上，晶体原子层的间距为0.28nm，问光线与界面成什么角度时，能观察到二级光谱？

解：根据布喇格方程：
代入数据：
解出：

21 如图所示有三条彼此平行的狭缝，宽度均为b，缝间距分别为d和2d，试用振幅矢量叠加法证明正入射时，夫琅禾费衍射强度公式为：

解：设单缝衍射传播到观察屏上P的光振幅为，三束衍射光的实际光程差如图为和，相位差为和，可做出通过三缝光矢量的矢量图，将三矢量分解：

三缝衍射的光强度为：
其中：
即有：
式中：
22 一宽度为2cm的衍射光栅上刻有12000条刻痕，如图所示，以波长λ=500nm的单色光垂直投射，将折射率为1.5的劈状玻璃片置于光栅前方，玻璃片的厚度从光栅的一端到另一端由1mm均匀变薄到0.5mm，试问第一级主最大的方向改变了多少？
解：玻璃片的劈尖角A：
平行光经过劈尖后的偏向角：
未加劈尖时的光栅方程：
代入数据解出第一级主最大的传播方向：
+1级谱线的衍射角：
-1级谱线的衍射角：
插入劈尖后，光栅方程为：
+1级谱线的衍射角：
-1级谱线的衍射角：
所以两谱线的方向改变了：或
23 一平行单色光投射于衍射光栅上，其方向与光栅的法线成θ0角，在和法线成110和530角的方向上出现第一级谱线，且位于法线的两侧。（1）试求入射角；（2）试问为什么在法线两侧能观察到一级谱线，而在法线同侧能观察到二级谱线？

解：（1）在图中若入射光与衍射光在法线同侧
有：
若在异侧，有：
两式相减得到：
将数据、代入，解得：
（2）入射光与衍射光在法线两侧时，有：
对j=1级谱线，
对j=2级谱线，其衍射角解出：

说明在法线两侧时，不能看到二级谱线。
入射光与衍射光在法线同侧时，有：
同理解出二级谱线的衍射角：，可观察到二级谱线。

第三章 几何光学的基本原理

1 证明反射定律符合费马原理。

证明：设平面Ⅰ为两种介质的分界面，光线从A点射向界面经反射B点，在分界面上的入射点为任意的C点；折射率分别为：n1、n2。
（1）过A、B两点做界面的垂直平面Ⅱ，两平面相交为直线X轴，过C点做X轴的垂线，交X轴于C＇点，连接ACC＇、BCC＇得到两个直角三角形，其中：AC、BC为直角三角形的斜边，因三角形的斜边大于直角边，根据费马原理，光线由A点经C点传播到B点时，光程应取最小值，所以在分界面上的入射点必为C＇点，即证明了入射光线A C＇和反射光线B C＇共面，并与分界面垂直。
（2）设A点的坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），C点坐标为（x，0），入射角为θ，反射角为θ＇，则光线由A传播到B的光程：

若使光程取极值，则上式的一阶导数为零，即：

从图中得到：
也即：sinθ=sinθ＇，说明入射角等于反射角，命题得证。

2 根据费马原理可以导出在近轴条件下，从物点这出并会聚到象点所有光线的光程都相等。由此导出薄透镜的物象公式。

解：
3 眼睛E和物体PQ之间有一块折射率为1.5的玻璃平板，平板的厚度d为30cm，求PQ的象P＇Q＇与物体之间的距离d2。

解：方法一
P＇Q＇是经过两个平面折射所形成的象
（1）PQ经玻璃板前表面折射成象：
设PQ到前表面的距离为s1，n=1、n＇=1.5
由平面折射成象的公式： 得到：
（2）PQ经玻璃板前表面折射成象：
从图中得到：s2=s1+d、n=1.5、n＇=1
根据：
解出最后形成的象P＇Q＇到玻璃板后表面的距离：
物PQ到后表面的距离：s=s1+d
物PQ与象P＇Q＇之间的距离d2：d2 = s2＇-s =（）d=10cm
方法二：参考书中例题的步骤，应用折射定律解之。
方法三：直接应用书中例题的结论：d2 =d（1-1/n）即得。
4 玻璃棱镜的折射角A为600，对某一波长的光其折射率为1.6，计算(1)最小偏向角；(2)此时的入射角；(3)能使光线从A角两侧透过棱镜的最小入射角。

解：（1）根据公式：
代入数据：A=600，n=1.6
解出最小偏向角：θ0= 46016＇

（2） 因： 则入射角：

（3）若能使光线从A角两侧透过棱镜，则出射角i1＇=900
有：n sini2＇= 1 sin900 = 1 解出：i2＇=38.680
从图中得到：i2 + i2＇= A 得到：i2 =21.320
又有：sini1 = nsini2
解出最小入射角：i1 =35034＇

5 题图表示恒偏向棱镜，挑相当于两个300-600-900棱镜与一个450-450-900棱镜按图示方式组合在一起。白光沿i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变θ1，从而使任意波长的光可以依次循着图中的路径传播，出射光线为r，求证：如果sinθ1=n/2，则θ2=θ1，且光束i与r相互垂直。
解：当光线以θ1角在A点入射时，设折射角为α，
根据折射定律有：sinθ1 = nsinα
因：sinθ1 = n/2 计算得到：α= 300
在C点的入射角为β，从图中可看出：β= 300
有：sinθ2 = nsinβ 得到：sinθ2 = n/2
因：sinθ1 = sinθ2 = n/2 所以：θ1 = θ2
在三角形ADE中，∠ADE=1800 -θ1 -（900 -θ2）= 900
说明光束i与r相互垂直。

6 高为5cm物体放在距凹面镜顶点12cm，凹面镜的焦距是10cm，求象的位置及高度，并作光路图。

解：已知：s=-12cm
f＇=-10cm
根据：
解出：s＇= -60cm
因： 解得：y＇= -25cm
7 一个5cm高的物体放在球面镜前10cm处成1cm高的虚象，求：（1）此镜的曲率半径；（2）此镜是凸面镜还是凹面镜？
解：已知：y=5cm、s=-10cm、
y＇=1cm
因形成的是虚象，物和象在镜面的两侧，物距和象距异号。
根据：

代入： 解出：r=5cm
因r=5cm > 0 ，所以是凸面镜。

8 某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜他自己的象，他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的象重合在一起。若凸面镜的焦距为10cm，眼睛距凸面镜顶点的距离为40cm，问玻璃板距观察者眼睛的距离是多少？
解：已知：凸面镜成象时的物距：
s=-40cm、焦距：f＇=10cm
由：
解出凸面镜成象的象距：s＇=8cm
此象到眼睛的距离：b=40+8=48cm
又因薄玻璃板所成的象是虚象，与物对称，若使玻璃板中的象与凸面镜中所成的象重合在一起，则玻璃板应放在P与P＇的中间，
即玻璃板到眼睛的距离：d=b/2=24cm

9 物体位于凹面镜轴线上焦点之外，在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻