椭圆难题(包括答案).doc

(完整版)椭圆难题(包括答案)
关于焦点三角形与焦点弦
（1)椭圆上一点与两个焦点所构成的称为焦点三角形.
设,则有：

P
① ,当（即为短轴顶点)时，最大，
此时
② 的面积
当（即为短轴顶点）时,最大，且
③

A

B
（2）经过焦点或的椭圆的弦，称为焦点弦.
设，的中点为，
则弦长
（左焦点取“+”，右焦点取“—")
当轴时，最短，且
关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法
1 联立方程法：联立直线和椭圆方程，消去,得到关于的一元二次方程，
设交点坐标为，则有，以及,还可进一步求出。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法
2 点差法：设交点坐标为代入椭圆方程，并将两式相减,可得，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法
典例剖析
1 求椭圆的标准方程
【例2】设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点作的垂线分别交椭圆于，交轴于,且
（1）求椭圆的离心率。
（2)若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程。
【解】（1）由已知可得:
由可得:,将点坐标代入椭圆方程可得：
。 即
(2)由（1）得：，圆心为，半径
于是有：（圆心到直线距离）， 所以 。
故椭圆方程为：
【例4】已知椭圆的中心在原点，短轴长为，右准线交轴于点，右焦点为，且,过点的直线交椭圆于两点
(1）求椭圆的方程
（2)若，求直线的方程
（4）求的最大面积
【解】（1) 椭圆方程为：
(2）设直线的方程为：,且设
联立 消去，得：
则
从而求得：
由 得 ： ，求得
所以的方程为：
(4）由(1）得：

令 ， 则
当且仅当,即时，取“”
所以的最大面积为
2 椭圆的性质
【例6】已知椭圆的两个焦点分别为,，在椭圆上存在一点,使得
（1)求椭圆离心率的取值范围
（2）当离心率取最小值时,的面积为,设是椭圆上两动点,若线段的垂直平分线恒过定点。①求椭圆的方程；②求直线的斜率的取值范围。
【解】（1）设椭圆短轴的端点为B,由已知及椭圆的性质得：
所以，从而 ，即,又,
所以,得:，所以 。
(2）①当取得最小值时，在短轴顶点,
所以， 又，
故求得：。 所以椭圆方程为：
设,
设直线的方程为，的垂直平分线方程为:
联立消去得：
则有 即 ①
又有: 从而
所以的中点为 。又在的垂直平分线上,
所以， 即 ②
将②代人①求得:
求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况：
（1)已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足;（3）；
（4）椭圆内部的点满足；
【例7】椭圆的中心在原点，焦点在轴上，斜率为的直线过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，与向量共线.
(1）求椭圆的离心率
（2）设为椭圆上任一点，若，求证：为定值
【解】（1)设椭圆方程为 ，设,,
由已知：直线AB的方程为：，代入椭圆方程，得:
，
由韦达定理得：，易知：
因为与向量共线,所以 ,
而，所以,
即 ,于是有：
又 ，所以，故有：.
(2）由(1)得：，，所以椭圆方程为：，
即，直线AB的方程为：，
于是有：，，从而，。
于是。设,由已知：，
将M的坐标代入椭圆方程得：，
即,
于是有：. 故为定值。
【例8】已知为椭圆上一动点，弦分别过焦点,当轴时，恰有。
（1）椭圆的离心率
（2)设，，判断是否为定值?
【解】(1）当轴时，，从而
依定义有，所以
而,所以 ，即 .
（2）由（1）可知椭圆方程为：,
设
①若的斜率都存在,则直线的方程为
代入椭圆方程，并整理得：
由韦达定理有
由已知：；同理可得：
所以
②若有一个斜率不存在，不妨设轴
则 所以
综上所述为定值。
3。 最值问题
【例11】已知椭圆，是垂直于轴的弦，直线交轴于点, 为椭圆的右焦点，直线与交于点
（1)证明：点在椭圆上
(2）求面积的最大值
【解】(1）由已知。设，则且，
与的方程分别为：
联立两直线的方程求得： 即
因为
, 所以点在椭圆上
（2)设直线的方程为（过焦点）且
联立
则由：
所以
所以
令，函数递增， 所以当时,取得最小值，
故当时，取得最大值
【例14】已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点
（1）求的面积的最大值
（2）当的面积最大值时，求的值
【解】（1)由已知得:
设直线的方程为,且设
联立
则有：
由已知可得：

令易证函数在上递增(＊＊),
所以当时，取得最小值，
故当时，取得最小值， 故的最大值为.
（2)当最大值时，，从而，而所以
4 直线与椭圆的位置关系
【例16】已知是椭圆的左,右焦点，直线与椭圆相切。
(1）分别过作切线的垂线，垂足分别为,求的值
（3）设直线与轴,轴分别交于两点,求的最小值。
【解】（1）设直线的方程为，由已知: ，。
所以 ；。
于是。
联立，消去y，的:.
因为直线与椭圆相切，所以
.
所以 为定值.
（2)易知:,.
所以
。当且仅当，即时取等号。
所以 .
【例17】已知椭圆，过点作直线与椭圆顺次交于两点（在之间)。（1）求的取值范围； （2）是否存在这样的直线，使得以弦为直径的圆经过坐标原点?若存在，求的方程,若不存在,说明理由。
【解】（1）方法一：（联立方程法)
ⅰ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为
且设。
联立， 消去,并整理得：
则有， 求得:
又有 ① ②
设 ，则有,即 ③
从①，②，③中消去可得:
而 ， 所以 . 而 ，故求得：
ⅱ）当直线的斜率不存在时，
综上所述， 的取值范围是
方法二:（点差法） 设,
则有：， 所以,,即
于是有
(1）（2) 得：,即
由已知, ，所以
而， 所以
（2）假设满足条件的直线存在，设，则
由（1）可知：
从而求得：
于是有： 满足
故满足条件的直线存在，且直线方程为:或
【例19】（2010江苏)已知椭圆的左，右焦点为，左,右顶点为，过点的直线分别交椭圆于点
（1）设动点，满足，求点的轨迹方程
（2）当,时，求点的坐标
（3)设，求证：直线过轴上的定点
【解】（1）由题意知：，设，则
， 化简整理得：
（2）把代人椭圆方程,分别求出： ，
直线 ① ; 直线 ②
①、②联立,得：
(3）由已知: ，
直线与椭圆联立,得：
直线与椭圆联立,得：
直线的方程为：
化简得
令，解得，即直线MN过X轴上定点。
三 解题小结
1. 离心率是圆锥曲线的重要性质,求离心率及其取值范围，就是寻找与或之间的关系
2。 求与椭圆有关的最值问题，有三种方法:（1）几何法；（2)三角代换法;（3）转化函数，利用函数的单调性求最值
3。 直线与椭圆的位置问题两种基本方法：（1）联立方程法;（2）点差法，前者涉及弦长与中点，后者涉及斜率，中点等.
4。 关于椭圆的补充性质（常在解题中遇到)：
①椭圆的内接矩形的最大面积为。
②过焦点 的直线交椭圆于P, Q两点，则当轴时，的面积最大，且最大面积为.
③设右准线与轴交于点E，过E点的直线与椭圆交于P， Q两点，点与点P关于轴对称，则直线一定过椭圆的右焦点，且 。
④设点P是右（左)准线上任一点（不在轴上),是椭圆的左右顶点，直线， 与椭圆分别交于两点，则直线一定过椭圆的右（左)焦点。
⑤过右（左)焦点的直线与椭圆交于两点，是椭圆的左、右顶点,直线的交点一定在右（左）准线上。

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