数值分析(计算方法)期末试卷3及参考答案资料.doc

(完整word版)数值分析(计算方法)期末试卷3及参考答案资料
二 计算（60分）
1．已知列表函数

1 2 3 4

0 －5 －6 3
试求满足上述插值条件的3次Newton插值多项式，并写出插值余项。（10分）牛顿插值公式是：

专业、班级 姓 名 学 号

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江西理工大学
教
务处
江西理工大学 大 学
2010至2011 学年第 一 学期试卷

课程 数值分析 年级、专业

题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分

一 填空(每空3分，共30分)
1. 用公式进行近似计算，这时所产生的误差称为 。
2.设则过这三个点的二次插值基函数 ， ， 。
3. 用来求数值积分的梯形公式的代数精度是 。
4. 设可微，求方程根的Newton迭代格式为 。
5. 设，则 ， ，
；设，则 。

2. 数值积分公式形如（15）

(1) 试确定求积公式中的参数，使其代数精度尽可能高.并求出其代数精度。
(2) 已知该求积公式余项试求出余项中的参数。

3. 设初值问题 .

写出用改进的Euler法解上述初值问题数值解的公式，若，求解，保留两位小数。（10分）

4. 用Newton迭代法求方程的实根，，要求。（10分）
专业、班级 姓 名 学 号

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5．已知方程组

(1) 写出用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel迭代法解此方程的公式。
(2) 求出用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解该方程组的迭代矩阵.并判断用Gauss-Seidel迭代法求解该方程组的收敛性。（15分）

三．证明（10分）
求的牛顿迭代法为，试证明对任意的迭代初值，该迭代法所产生的迭代序列是单调递减序列，同时证明该迭代法是收敛的。

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专业、班级 姓 名 学 号

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参考答案
一． 填空(每空3分，共30分)
1. 截断误差 2. ， ， 10 3. 1
4. 5. 6，5，，9
二． 计算
1. 构造重节点的差商表：
n
x
y
一阶
二阶
三阶
0
1
0

1
2
-5
-5

2
3
-6
-1
2

3
4
3
9
5
1
所以，要求的Newton插值为：

插值余项是：
或：
2.（1）解：时，左，右，左＝右得：
时，左，右，左＝右得：
时，左，右，左＝右得：
联立上述三个方程，解得：

时，左，右，左右
所以，该求积公式的代数精度是2
（2）解：过点0，1构造的Hermite插值，因为该求积公式代数精度为2，所以有：

其求积余项为：

所以，
3.解：改进的Euler公式是：

具体到本题中，求解的公式是：

代入求解得：,

4．解：设则
牛顿迭代公式为：

将代入上式，得
，，,,

所以，方程的近似根

5．解，Jacobi迭代公式是：

Gauss-Seidel迭代公式是：

(2) 设其系数矩阵是，将分解为：，其中
，
Jacobi迭代矩阵是：

Gauss-Seidel迭代矩阵是：

二． 证明
证明：且
所以有：
即：数列有下界；
所以，迭代序列是单调递减的，
由单调递减且有下界的数列极限存在可知序列极限存在。
所以，迭代法是收敛的。