基于不确定性测度的犹豫模糊决策模型_方冰.pdf

第2卷 第2期V o l.2 N o.2 2 0 2 3年4月 J o u r n a l o f A r m y E n g i n e e r i n g U n i v e r s i t y o f P L A A p r.2 0 2 3基于不确定性测度的犹豫模糊决策模型方 冰,吴从晖,尹 星(陆军指挥学院,江苏 南京 2 1 0 0 4 5)摘要:针对已有犹豫模糊熵测度计算复杂、区分能力弱等问题,在综合衡量犹豫模糊元自身不确定性及其所表达信息不确定性的基础上,以凸组合的形式设计了混合型犹豫模糊熵和交叉熵测度。混合型犹豫模糊交叉熵测度用于度量两个犹豫模糊元之间的区分程度,它和混合型犹豫模糊熵测度一起统一于犹豫模糊元的不确定性测度。与已有的犹豫模糊不确定性测度相比,混合型熵测度具有结构简单、物理意义明确、区分能力强等优势;而混合型交叉熵测度则具有自然的对称性。然后,基于混合型犹豫模糊熵和交叉熵测度构建了属性权重未知条件下的多属性决策模型,并将其应用于无人机作战效能评估。关键词:犹豫模糊集;不确定性;熵;交叉熵;作战效能评估 中图分类号:C 9 3 4D O I:1 0.1 2 0 1 8/j.i s s n.2 0 9 7-0 7 3 0.2 0 2 2 0 3 3 0 0 0 3H e s i t a n t F u z z y D e c i s i o n-M a k i n g M o d e l B a s e d o n U n c e r t a i n t y M e a s u r e s F ANG B i n g,WU C o n g h u i,Y I N X i n g(A r m y C o mm a n d C o l l e g e o f P L A,N a n j i n g 2 1 0 0 4 5,C h i n a)A b s t r a c t:T o a d d r e s s t h e p r o b l e m s o f c o m p l i c a t e d c a l c u l a t i o n s a n d w e a k d i s c r i m i n a t i n g a b i l i t y f o r s o m e e x i s t i n g h e s i t a n t f u z z y e n t r o p y m e a s u r e s,t h e h y b r i d e n t r o p y a n d c r o s s-e n t r o p y m e a s u r e s f o r h e s i t a n t f u z z y e l e m e n t s(H F E s)a r e d e s i g n e d i n t h e f o r m o f c o n v e x c o m b i n a t i o n s o n t h e b a s i s o f c o m p r e h e n s i v e l y e v a l u a-t i n g t h e u n c e r t a i n t y o f H F E s t h e m s e l v e s a n d t h e i n f o r m a t i o n t h e y e x p r e s s.T h e h y b r i d c r o s s-e n t r o p y m e a s u r e s f o r H F E s a r e u s e d t o m e a s u r e t h e d i f f e r e n t i a t e d d e g r e e b e t w e e n t w o H F E s a n d c a n b e u n i f i e d t o-g e t h e r w i t h t h e h y b r i d e n t r o p y m e a s u r e s a s t h e u n c e r t a i n t y m e a s u r e s f o r H F E s.C o m p a r e d w i t h t h e e x i s t-i n g u n c e r t a i n t y m e a s u r e s f o r H F E s,t h e h y b r i d e n t r o p y m e a s u r e s s h o w t h e a d v a n t a g e s o f s i m p l e s t r u c t u r e,c l e a r p h y s i c a l m e a n i n g,a n d s t r o n g d i s c r i m i n a t i n g a b i l i t y,w i t h t h e h y b r i d c r o s s-e n t r o p y m e a s u r e b e i n g n a t u r a l l y s y mm e t r i c a l.T h e n,b a s e d o n t h e p r o p o s e d e n t r o p y a n d c r o s s-e n t r o p y m e a s u r e s f o r H F E s,a m u l t i-a t t r i b u t e d e c i s i o n-m a k i n g(MA DM)m o d e l,u n d e r t h e c o n d i t i o n o f u n k n o w n a t t r i b u t e w e i g h t s,i s e s-t a b l i s h e d a n d f u r t h e r a p p l i e d t o t h e e v a l u a t i o n o f UAV s c o m b a t e f f e c t i v e n e s s.K e y w o r d s:h e s i t a n t f u z z y s e t;u n c e r t a i n t y;e n t r o p y;c r o s s-e n t r o p y;c o m b a t e f f e c t i v e n e s s e v a l u a t i o n 收稿日期:2 0 2 2-0 3-3 0第一作者(通信作者):方 冰,博士,讲师,主要研究无线通信、军事运筹、模糊决策,b i n g f a n g_c h1 6 3.c o m。随着经济和社会问题的日益复杂化,以及决策者本身所固有的思维模糊性和认知局限性,决策者越来越难以用精确的数值来表达他们对客观事物的评价信息。为有效描述决策者的不确定性评估信息,Z a d e h教授1于1 9 6 5年 提出了模糊 集(f u z z y s e t,F S)的概念,为处理和解决复杂不确定性决策问题提供了一个很好的途径和方法。2 0 1 0年,西班牙学者T o r r a2针对现实决策问题中,决策者在给出评估信息时常常犹豫不决,以及多个专家互相不能说服、难以达成一致意见的情形,提出了犹豫模糊集(h e s i t a n t f u z z y s e t,H F S)的概念。H F S的基本描述工 具 是 犹 豫 模 糊 元(h e s i t a n t f u z z y e l e m e n t,H F E),它是一个由多个实数值构成的集合,表示评估对象对于指定集合具有几个可能的隶属度。作为F S的重要拓展,H F S能够描述评估对象对于指定集合具有多个可能隶属度的情形,非常适合对不确定性评估信息进行描述,增加了决策者评估赋值的灵活性,在现实决策问题中具有广泛的应用场景。与F S相比,H F S能够更加细腻地刻画决策者对评估对象的不确定性评价信息,是现实管理决策中描述和处理复杂不确定性问题的有效工具,能够使模糊决策过程更为科学合理,是模糊决策理论的重要创新发展。在处理和度量不确定性评价信息的过程中,模糊熵始终是一 个迷人概 念和非 常 重 要 的 决 策 工具3-6。模糊熵的概念最早由Z a d e h教授于1 9 6 9年提出,用于刻画一个F S的不确定性程度。在此基础上,X u等7于2 0 1 2年提出了犹豫模糊熵的公理化定义,并给出了几个犹豫模糊熵测度来度量H F S的不确定性程度;2 0 1 5年,Z h a o等6研究发现,X u等7引入的犹豫模糊熵测度在一些情况下无法对犹豫模糊信息进行有效区分,并提出了二元熵测度的概念。正如犹豫模糊二元熵测度所揭示的那样,犹豫模糊信息具有两方面的不确定性 犹豫性和模糊性;作为对犹豫模糊元不确定性的测度,犹豫模糊熵必须全面考虑这两方面的不确定性。犹豫模糊二元熵测度虽然能够全面刻画犹豫模糊信息的不确定性,然而结构过于复杂,物理意义并不明显,且无法对犹豫模糊元的不确定性进行综合衡量。在已有研究成果的基础上8-1 4,从全新视角出发,在综合衡量犹豫模糊元自身不确定性及其所表达信息不确定性的基础上,以凸组合的形式设计了混合型犹豫模糊熵测度。在实际决策运用中,模糊熵和交叉熵的概念通常是成对出现,互相配合使用7,1 5。然而,在设计两个犹豫模糊元的交叉熵测度时,通常需要两个相关的犹豫模糊元具有相同的基数。受文献1 6,1 7 的启发,根据“最小公倍数扩展规则”对犹豫模糊元进行规范化处理。在此基础上,全面衡量犹豫模糊元两方面的不确定性,以凸组合的形式设计了犹豫模糊元的混合型交叉熵测度。最后,基于混合型犹豫模糊熵测度和交叉熵测度设计了多属性群体决策模型,并将其应用于无人机作战效能评估。数值实验验证了所提不确定性测度及模型的合理性和有效性。1 理论基础1.1 犹豫模糊元及其比较规则定义13,1 8 设X=x1,x2,xn是一个给定的非空集合,则从X映射到0,1 的一个子集的函数被称为F S。为便于理解,X i a等首次给出F S的数学表达式为A=|xX(1)式中:hA(x)为0,1 中一些数值的集合,表示元素xX关于集合A的几个可能的隶属度。X i a等进一步称h=hA(x)为犹豫模糊元,h中所包含的隶属度通常按增序进行排列。定义23,1 8-1 9 设h=,=1,2,lh 为犹豫模糊元,X i a等进一步将h的得分函数定义为s(h)=1lhlh=1(2)式中:lh为h中元素的个数,也称h的基数。在得分函数定义的基础上,h的偏差度可定义为(h)=1lhlh=1-s(h)2(3)在式(2)中,得分值s(h)为统计学意义上的均值,表示h所代表的整体偏好;式(3)中,偏差度(h)为统计学意义上的标准差,反映h中所有隶属度与其均值之间的偏差程度,表示对整体偏好的确信程度。基于犹豫模糊元h的s(h)和(h),C h e n等提出了一种比较和排序犹豫模糊元的基本方法。定义33,1 9 任意给定两个犹豫模糊元h1和h2,s(h1)和s(h2)是其得分值,(h1)和(h2)是其偏差度。则h1和h2可做如下比较:(1)如果s(h1)s(h2),则称h1优于h2,记为h1h2。(2)如果s(h1)s(h2),则称h1劣于h2,记为h1h2。(3)如果s(h1)=s(h2),则需进一步比较其偏差度。(a)若(h1)(h2),则称h1劣于h2,记为h1h2;(c)若(h1)=(h2),则称h1和h2无差别,记为h1h2。1.2 犹豫模糊元的规范化方法在现实决策问题中,不同决策者给出的犹豫模糊元的基数通常是不同的。为便于处理,需要按照一定的规则对这两个犹豫模糊元进行规范化,以使它们具有相同的基数。按照“最小公倍数扩展规则”对不同的犹豫模糊元进行规范化拓展。定义41 6-1 7 设h=1,2,lh为任意一个犹豫模糊元,定义h的r倍拓展为hr=1,1|r,2,2|r,lh,lh|r(4)在式(4)中,犹豫模糊元h的所有隶属度都被96第2期 方 冰,等:基于不确定性测度的犹豫模糊决策模型重复了r次。显然,拓展后的犹豫模糊元hr的基数为r lh。例1 根据定义4,按照“最小公倍数扩展规则”对犹豫模糊元h1=0.4,0.6进行3倍拓展,对犹豫模糊元h2=0.3,0.5,0.8进行2倍拓展,可以得到如下两个规范化的犹豫模糊元:h31=0.4,0.4,0.4,0.6,0.6,0.6,h22=0.3,0.3,0.5,0.5,0.8,0.8。显然,按照“最小公倍数扩展规则”规范化拓展后的犹豫模糊元h31和h22具有相同的基数。定义5 设h=,=1,2,lh 为任意一个犹豫模糊元,hr是其r倍拓展。根据定义2,拓展后的犹豫模糊元hr的得分函数为s(hr)=1r lhlh=1r()=s(h)(5)在得分函数定义的基础上,犹豫模糊元hr的偏差度(hr)可进一步计算为(hr)=1r lhlh=1r-s(h)2=(h)(6)由定义5可知:在进行r倍拓展后,犹豫模糊元h的得分值和偏差度并没有任何改变,也就是说犹豫模糊元h所表达的信息没有任何损伤。后续关注的对象是规范化处理后的犹豫模糊元,为方便记,后文仍称r倍拓展后的犹豫模糊元hr为h。1.3 犹豫模糊距离测度及距离型熵测度定义63 假设犹豫模糊元h1=1,=1,2,lh和h2=2,=1,2,lh的基数相同,且按增序进行排列。则这两个犹豫模糊元之间的海明距离测度可定义为d1(h1,h2)=1lhlh=11-2(7)其广义距离测度可定义为d2(h1,h2)=1lhlh=11-2()1(8)在式(8)中,常量0。显然,当=1时,广义距离测度就是海明距离测度;当=2时,广义距离测度就退化为两个犹豫模糊元之间的欧几里得距离测度。例2 根据式(7)所示的犹豫模糊海明距离测度,结合“最小公倍数扩展规则”,任意犹豫模糊元h=,=1,2,lh与单元素犹豫模糊元0.5之间的海明距离可表示为d1(h,0.5)=1lhlh=1-0.5(9)基于式(9),F a r h a d i n i a等1 2-1 3提出了如下的距离型熵测度Ed(h)=1lhlh=11-2|-0.5|()(1 0)如果采用以下基本熵函数作为生成函数2 0f1(x)=1-2|x-0.5|f2(x)=s i n(x)f3(x)=-xl g(x)-(1-x)l g(1-x)f4(x)=xe1-x-(1-x)ex-1e-1f5(x)=l gxa+(1-x)a(1-a)a0,a1f6(x)=4bxb(1-x)b b(0,1|(1 1)则式(1 0)所示的犹豫模糊距离型熵测度进一步表示为Ed(h)=1lhlh=1f1()(1 2)在式(1 2)中,熵生成函数可以是式(1 1)所示的任意一个基本熵函数。2 混合型犹豫模糊不确定性测度2.1 混合型犹豫模糊熵测度作为一种信息结构,犹豫模糊元的不确定性来自两个方面,一方面是其结构上的不确定性,也即模糊性;另一方面是来自于其所表达信息的不确定性,也即犹豫性。参考文献2 1 中的理论推导,混合型犹豫模糊熵的公理化定义可表述如下。定义7 假设h=,=1,2,lh 是基数为lh的犹豫模糊元。如果函数E(h)是犹豫模糊元h的混合型熵测度,则实值函数E(h)应满足以下5个公理化条件:(1)规范性。0E(h)1。(2)最小性。E(h)=0当且仅当h=0 或1。(3)最大性。E(h)=1当且仅当h=0.5。(4)对称性。E(h)=E(hc)。(5)相关性。E(h)既与犹豫模糊元的模糊熵因子正相关,也与其犹豫熵因子正相关。在定义7的公理化条件(5)中:第一个正相关是对犹豫模糊元的模糊性进行刻画;第二个正相关是对犹豫模糊元的犹豫性进行刻画。因此,定义7所给出的混合型熵测度是综合的,能够完整反映犹豫模糊元所表达的两方面的不确定性。根据定义7,混合型犹豫模糊熵测度可设计为07 第2卷犹豫模糊元的模糊熵因子和犹豫熵因子的凸组合,如式(1 3)所示。E(h)=(h)+(1-)(h)(1 3)式中:(0,1)为权衡系数,表示混合型熵测度是对犹豫 模 糊 元 的 模 糊 性 和 犹 豫 性 的 权 衡 结 果。在式(1 1)的基础上,模糊熵因子和犹豫熵因子可表述为(h)=1lhlh=1f()(h)=fs(h)|(1 4)显然,当=0.5时,式(1 3)就退化为犹豫模糊元的模糊熵因子和犹豫熵因子的算术均值。一般情况下,参数取0.5即可。然而,式(1 3)所示的混合型熵测度既是一个具体的熵测度公式,也是一种犹豫模糊熵测度的构造理念,或者说是构造方法。在这种构造方法的指引下,基于不同的熵生成函数,可以构造近乎无穷多个混合型犹豫模糊熵测度。如果选用式(1 1)所示的基本熵函数作为生成函数,则式(1 3)事实上有3 6种不同的组合形式。2.2 与已有犹豫模糊熵测度的比较为对混合型犹豫模糊熵测度的合理性和有效性进行必要说明,现将其用于1 0个犹豫模糊元的熵测度计算,并根据不同的熵测度对这些犹豫模糊元进行排序,分别如表1和表2所示。表1和表2中,混合型犹豫模糊熵测度Ei(i=1,2,6)仅由式(1 1)所示的模糊熵函数fi(i=1,2,6)分别生成。在模糊熵函数f5(x)中,参数a=2;在模糊熵函数f6(x)中,参数b=0.5。根据表1和表2,可对不同的犹豫模糊熵测度进行如下比较分析。表1 不同犹豫模糊熵测度的计算结果(=0.5)犹豫模糊元En e w5Ex17Ex27Ex37E1E2E3E4E5E6h1=0.51111111111h2=0.3,0.70.4 7 8 51110.80.9 0 4 5 0.9 4 0 6 0.9 2 3 2 0.8 9 2 9 0.9 5 8 3h3=0.4,0.60.7 1 3 21110.90.9 7 5 5 0.9 8 5 5 0.9 8 0 9 0.9 7 1 7 0.9 8 9 9h4=0.4,0.5,0.60.8 0 8 51110.9 3 3 3 0.9 8 3 7 0.9 9 0 3 0.9 8 7 3 0.9 8 1 1 0.9 9 3 3h5=0.3,0.5,0.70.6 2 9 71110.8 6 6 7 0.9 3 6 3 0.9 6 0 4 0.9 4 8 8 0.9 2 8 6 0.9 7 2 2h6=0.7,0.8,0.90.2 8 6 2 0.6 2 7 9 0.6 2 7 9 0.7 2 1 90.40.5 7 8 2 0.7 0 6 3 0.6 3 6 8 0.5 4 9 6 0.7 8 6 1h7=0.7,0.9,0.9 50.2 0 3 6 0.4 9 2 4 0.4 9 2 4 0.6 0 2 30.30.4 3 9 4 0.5 7 7 7 0.4 9 6 7 0.4 1 5 0 0.6 8 2 5h8=0.30.4 7 8 5 0.8 3 2 9 0.8 3 2 9 0.8 8 1 30.60.8 0 9 0 0.8 8 1 3 0.8 4 6 3 0.7 8 5 9 0.9 1 6 5h9=0.40.7 1 3 2 0.9 5 8 0 0.9 5 8 0 0.9 7 1 00.80.9 5 1 1 0.9 7 1 0 0.9 6 1 8 0.9 4 3 4 0.9 7 9 8h1 0=0,101110.50.50.50.50.50.5表2 不同犹豫模糊熵测度的计算排序情况(=0.5)不同的熵测度犹豫模糊元的排序情况En e w5h1 0h7h6h8=h2h5h9=h3h4h1Ex1,Ex2,Ex37h7h6h8h9h1 0=h2=h5=h3=h4=h1E1h7h6h1 0h8h2=h9h5h3h4h1E2,E4,E5h7h1 0h6h8h2h5h9h3h4h1E3,E6h1 0h7h6h8h2h5h9h3h4h1 (1)所有犹豫模糊熵测度的计算结果均表明:犹豫模糊元h1=0.5的熵是1;犹豫模糊元h6、h7、h8和h9的排序结果为h7h6h8h9。此为基本共识。(2)争议最大的是犹豫模糊元h1 0=0,1的熵:文献7 所提的犹豫模糊熵测度Ex1、Ex2和Ex3计算结果为1;但En e w的计算结果为0。事实上,这两种计算结果都是不合理的。对于犹豫模糊元h1 0=0,1所代表意义的直观解释是:一个专家组内刚好有一半的人认为某个观点是正确的,而另一半的人则认为这个观点是错误的。所以,从熵是犹豫模糊元不确定性的测度这一观点出发,可以认为:犹豫模糊元h1 0=0,1的熵既不可能是0,也不可能是1。正是出于这样的考虑提出了混合型犹豫模糊熵测度:当=0.5时,所有混合型熵测度的计算结果都为0.5。(3)表1中 文 献5 所 提 的 犹 豫 模 糊 熵 测 度En e w在犹豫模糊元h2和h8、h3和h9的熵是一样的。理论分析可以得到一个更为一般的结论:熵测度En e w对隶属度和隶属度的补无法进行有效区分。其计算结果甚至表明:犹豫模糊元0.0 0 1 和0.0 0 1,0.9 9 9 的熵也是一样的。不仅如此,所提犹豫模糊元的模糊熵因子也具有同样的缺点,这也是为什么要提出混合型犹豫模糊熵测度的基本考虑。(4)文献5 中所提的犹豫模糊熵测度En e w事实上仅能表达犹豫模糊元的模糊熵因子。现对文献5 中的熵测度En e w推导如下17第2期 方 冰,等:基于不确定性测度的犹豫模糊决策模型 En e w(h)=e-2lhlh=1|-0.5|-e-11-e-1=e1(h)-1-e-11-e-1=e1(h)-1e-1(1 5)式中:1(h)=1lhlh=1f1()为 模 糊 熵 因 子。由式(5)可知,熵测度En e w(h)仅仅是对模糊熵因子1(h)做了非线性变换,其本质上还是犹豫模糊元的模糊熵因子。(5)文献7 中所提的犹豫模糊熵测度Ex1、Ex2和Ex3的计算结果表明:这1 0个犹豫模糊元在这3个熵测度下具有同样的排序结果。不仅如此,熵测度Ex1和Ex2的数值计算结果也是一样的,这说明熵测度Ex1和Ex2在事实上是同一个测度。按照文献7 所述的方法,可以重新构造一个犹豫模糊元?h=?,=1,2,lh,其 中?=0.5(+lh-+1),=1,2,lh。于是,文献7 所提的熵测度Ex1、Ex2和Ex3可分别重新表述为Ex1(h)=1lh(2-1)lh=1s i n?2()+s i n2-?2()-1|Ex2(h)=1lh(2-1)lh=1c o s?2()+c o s2-?2()-1|Ex3(h)=1lhl n 2lh=1g(?)|(1 6)式(1 6)中基本熵生成函数为g(x)=-xl n(x)-(1-x)l n(1-x)。经比较可知,熵测度Ex1和Ex2确实是同一个计算公式。根据表1中的计算结果可知:熵测度Ex1、Ex2和Ex3对犹豫模糊元h1、h2、h3、h4、h5和h1 0均无法进行有效区分。理论分析和数值计算均表明:混合型犹豫模糊熵测度,不论从区分能力上,还是从合理性上都是非常优秀的;更为重要的是,混合型犹豫模糊熵测度结构简单,物理意义清晰,能够从整体上衡量犹豫模糊元的不确定性,易于拓展应用。2.3 混合型犹豫模糊交叉熵测度犹豫模糊交叉熵测度主要用于度量两个犹豫模糊元之间的相异性,用以刻画它们之间的区分程度。混合型犹豫模糊交叉熵测度的公理化定义可以表述如下。定义8 设犹豫模糊元h1=?1,=1,2,lh和h2=?2,=1,2,lh具有相同的基数。则h1和h2的混合型交叉熵测度C(h1,h2)应满足以下5个公理化条件:(1)规范性。0C(h1,h2)1。(2)最小性。C(h1,h2)=0当且仅当h1=h2。(3)最大性。C(h1,hc1)=1当且仅当h1=0 或1。(4)对称性。C(h1,h2)=C(h2,h1),C(h1,h2)=C(hc1,hc2)。(5)相关性。C(h1,h2)同时与h1和h2之间的模糊交叉熵因子和犹豫交叉熵因子正相关。如果采用基本熵函数作为生成函数,两个犹豫模糊元之间的模糊交叉熵因子可以表述为u(h1,h2)=1-1lhlh=1f0.51-0.52+0.5()(1 7)式(1 7)中生成函数f(x)可以是式(1 1)中的任意一个基本熵函数。犹豫交叉熵因子可以表述为v(h1,h2)=1-f0.5s(h1)-0.5s(h2)+0.5(1 8)根据定义8,混合型犹豫模糊交叉熵测度可以设计成两个犹豫模糊元之间的模糊交叉熵因子和犹豫交叉熵因子的凸组合,其表达式为C(h1,h2)=u(h1,h2)+(1-)v(h1,h2)(1 9)式中:(0,1)为权衡系数,表示混合型犹豫模糊交叉熵测度是对两个犹豫模糊元之间的模糊区分度和犹豫区分度的权衡结果。当=0.5时,式(1 9)就简化为模糊交叉熵因子和犹豫交叉熵因子的算术均值。一般情况下,参数取0.5即可。3 基于混合型犹豫模糊熵和交叉熵测度的决策模型3.1 问题及算法描述3在实际多属性决策过程中,由于时间任务紧,决策团队知识数据匮乏等原因,属性权重信息有时是完全未知的。同时,由于决策团队成员往往来自不同领域,他们具有不同的专业背景,考虑问题的角度和思路也不尽相同,因此他们之间通常不能互相说服,做出判断时也常常犹豫不决。犹豫模糊集就是27 第2卷处理此类模糊决策问题的有效工具,自问世以来,其相关理论和方法已经成为决策科学的重要研究对象,在供应链管理、模式识别、医疗诊断等领域得到了广泛应用。一个典型的犹豫模糊多属性决策问题具有m个备选方案和n个评价属性。令集合X=x1,x2,xm为备选方案集,集合A=a1,a2,an为评价属性集。进一步令向量w=w1,w2,wnT为属性权重,虽然未知,但满足非负性条件wj0,j=1,2,n和归一化条件nj=1wj=1。假设一个决策团队经过深入考察给出备选方案xi,i=1,2,m满足评价属性aj,j=1,2,n的评估值为犹豫模糊元,用hi j表示,所有评估信息就构成了犹豫模糊决策矩阵H=(hi j)mn。在犹豫模糊决策矩阵H的基础上,基于经典的TO P S I S算法,可以给出如下多属性决策方法:S t e p 1 根据犹豫模糊决策矩阵,使用熵权法确定多属性决策问题的属性权重向量,其求解模型为wj=1-Ejnj=1(1-Ej)j=1,n(2 0)其中,关于各属性评价信息的平均熵为Ej=1mmi=1E(hi j)j=1,n(2 1)在式(2 1)中,函数E()可以为任意一个混合型犹豫模糊熵测度。S t e p 2 设Jb和Jc分别为效益型属性和成本型属性。假设犹豫模糊决策矩阵H的正理想解为h+=h+1,h+2,h+n,犹豫模糊决策矩阵H的负理想解为h-=h-1,h-2,h-n,其中h+j=1,h-j=0,jJb且h+j=0,h-j=1,jJc。然后,可以计算各个备选方案与决策矩阵正、负理想解之间的综合偏差度分别为C+i=nj=1wjC(hi j,h+j)i=1,2,m(2 2)C-i=nj=1wjC(hi j,h-j)i=1,2,m(2 3)S t e p 3 计算各个备选方案与正、负理想解之间的关联度为C I(xi)=C-iC+i+C-i i=1,2,m(2 4)S t e p 4 根据关联度C I(xi)的大小即可对备选方案进行优劣排序,C I(xi)的值越大,xi越优秀。上述计算过程基于混合型犹豫模糊熵和交叉熵测度,其主要环节有两个:一是在混合型犹豫模糊熵测度的基础上采用熵权法确定属性权重向量;二是借助于混合型犹豫模糊交叉熵测度比较具体备选方案与正、负理想解之间的区分程度得到备选方案的排序,进而获取最优方案。3.2 实例计算无人机(u n m a n n e d a e r i a l v e h i c l e,UAV)拥有制造成本低、机动性能好、使用方便、操作简单等特点,在侦查、航摄、监控、物品投送等方面具有较大的应用优势。随着无人机技术的不断提高,无人机作战效能评估技术也在迅速发展,并逐渐成为无人机设计论证和作战应用领域的一项重要研究内容。无人机作战效能评估能够在一定程度上促进无人机技战术水平的提高,促进指挥员提高战术素养和指挥水平,为规则制定者和方案决策者提供参考数据,为无人机的合理使用提供基本依据。总之,无人机作战效能评估,对于充分发挥无人机作战效能,对航空工业和国防事业的发展,有着不可替代的重要意义,是推进军事现代化建设的有效手段。某部门经过预先评估,选定4种对地攻击型无人机 x1,x2,x3,x4作为备选机型进一步评估。对地攻击型无人机作战效能评估,主要考察其战场生存能力(a1)、战术攻击能力(a2)、指挥控制能力(a3)和造价(a4)等4个方面的因素。显然,在这4个属性中,前3个属性为效益型属性,第4个属性为成本型属性。为确定对地攻击型无人机的最终型号,某战略规划部门专门成立了由1 0个专家组成的评估委员会。该评估委员会经过细致考察,提供如表3所示的犹豫模糊决策矩阵。表3 犹豫模糊决策矩阵因素a1a2a3a4x10.2,0.4,0.70.1,0.2,0.5,0.70.2,0.3,0.5,0.7,0.80.1,0.4,0.6x20.4,0.6,0.70.1,0.2,0.4,0.60.3,0.4,0.6,0.8,0.90.1,0.2,0.4x30.2,0.3,0.60.3,0.4,0.5,0.90.2,0.4,0.6,0.7,0.80.3,0.4,0.8x40.2,0.3,0.50.2,0.3,0.5,0.70.4,0.6,0.7,0.8,0.90.1,0.2,0.7 为进行必要比对,表3所用原始数据改编自文献7。目标是根据表3犹豫模糊决策矩阵对4种对地攻击型无人机进行优劣排序,并选定最优型号。具体的决策步骤为:S t e p 1 根据式(2 0)确定属性权重向量,其结果如表4所示。表4中,混合型犹豫模糊熵测度Ei(i=1,2,6)分别由式(1 1)所示的基本熵函数fi(i=1,2,6)生成。37第2期 方 冰,等:基于不确定性测度的犹豫模糊决策模型S t e p 2 将犹豫模糊决策矩阵的正、负理想解分别确定为h+=1,1,1,0 ,h-=0,0,0,1 。S t e p 3 根据表4,通过算术平均的方式,将属性权重向量确定为w=0.1 8 7 2,0.2 4 4 3,0.2 2 8 7,0.3 3 9 8T;根据式(2 4)确定4种对地攻击型无人机的排序如表5所示。表4 不同熵测度得到的属性权重权重w1w2w3w4E10.2 2 5 50.2 3 8 70.2 3 0 80.3 0 5 0E20.1 8 5 00.2 4 3 10.2 2 9 00.3 4 2 9E30.1 7 4 20.2 4 7 50.2 2 7 60.3 5 0 6E40.1 7 8 80.2 4 5 50.2 2 8 30.3 4 7 5E50.1 8 9 10.2 4 1 80.2 2 9 30.3 3 9 8E60.1 7 0 70.2 4 9 10.2 2 7 10.3 5 3 1表5 不同交叉熵测度得到的方案排序值测度x1x2x3x4C10.5 0 2 30.5 8 3 20.4 9 0 30.5 4 8 3C20.5 0 3 50.6 3 3 00.4 8 3 20.5 7 6 9C30.5 0 4 90.6 4 5 70.4 8 2 00.5 8 8 9C40.5 0 4 10.6 4 0 40.4 8 2 20.5 8 3 1C50.5 0 3 30.6 2 8 00.4 8 4 00.5 7 3 4C60.5 0 5 80.6 4 9 90.4 8 2 10.5 9 3 9 在表5中,混合型犹豫模糊交叉熵测度Ci(i=1,2,6)分别由式(1 1)所示的基本熵函数fi(i=1,2,6)生成。S t e p 4 根据表5所示的排序值可将4种对地攻击型无人机排序为x2x4x1x3。显然,对地攻击型无人机x2为最优选择。3.3 比较分析前文所述的多属性决策方法有两个关键环节:一是属性权重向量求解,根据表4中的数据,可以进一步得到如图1所示的曲线图。由图1可知:在6种混合型犹豫模糊熵测度下,得到的4个属性的重要性排序都为w4w2w3w1,这个排序结果与文献7 的排序结果是基本一致的。特别地,本文和文献7 都认为属性a4最重要,属性a2次重要。图1 不同熵测度得到的属性权重二是备选方案的排序,根据表5中的数据,可进一步得到如图2所示的曲线图,由图2可知:在6种不同的混合型犹豫模糊交叉熵测度下,可以得到相同的排序结果x2x4x1x3,而且这个排序结果与文献7 的排序结果完全一致,它们都认为对地攻击型无人机x2最合适。图2 不同熵测度得到的属性权重在实际决策运用中,前文所述决策方法可以采用任意一个混合型犹豫模糊熵测度或交叉熵测度进行运算,也可以同时使用全部的混合型犹豫模糊熵测度或交叉熵测度,然后以算术平均的方式求得最终的排序结果。比如,根据表5中的数据,可通过算术 平 均 的 方 式 将 最 终 排 序 值 确 定 为 0.5 0 4 0,0.6 3 0 0,0.4 8 4 0,0.5 7 7 4T;备选方案的最终排序结果为x2x4x1x3;显然,x2为最合适的对地攻击型无人机。4 结论综合考虑了犹豫模糊信息所具有的犹豫性和模糊性,提出了混合型犹豫模糊熵和交叉熵的公理化定义,并以凸组合的形式设计了混合型犹豫模糊熵和交叉熵测度。与已有的犹豫模糊不确定测度相比,混合型熵测度能够全面考虑犹豫模糊元的犹豫性和模糊性,同时具有结构简单、物理意义明确、区分能力强等优势;而混合型交叉熵测度具有自然的对称性,且能够与混合型熵测度成对设计。数值计算结果表明,混合型熵和交叉熵测度能够充分反映犹豫模糊信息犹豫性和模糊性,广泛应用于犹豫模糊决策实践,是重要的理论工具。参考文献:1 Z A D EH L A.F u z z y s e t sJ.I n f o r m a t i o n a n d C o n-t r o l,1 9 6 5,8(3):3 3 8-3 5 3.47 第2卷2 T O R R A V.H e s i t a n t f u z z y s e t sJ.I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f I n t e l l i g e n t S y s t e m s,2 0 1 0,2 5(6):5 2 9-5 3 9.3 徐泽水,赵华.犹豫模糊集理论及应用M.北京:科学出版社,2 0 1 8:1 5 6-1 9 7.X U Z e s h u i,Z HAO H u a.H e s i t a n t f u z z y s e t s t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n sM.B e i j i n g:S c i e n c e p r e s s,2 0 1 8:1 5 6-1 9 7.4 黄林,袁修久,赵学军,等.犹豫模糊熵生成算法及在后勤补给基地选址评估中的应用J.空军工程大学学报(自然科学版),2 0 2 0,2 1(2):9 7-1 0 5.HUAN G L i n,YUAN X i u j i u,Z HAO X u e j u n,e t a l.H e s i t a n t f u z z y e n t r o p y g e n e r a t i o n a l g o r i t h m s a n d t h e i r a p p l i c a t i o n i n l o c a t i o n e v a l u a t i o n o f l o g i s t i c s s u p p l y b a s eJ.J o u r n a l o f A i r F o r c e E n g i n e e r i n g U n i v e r s i t y(N a t u r a l S