几何证明常用辅助线.doc

(word完整版)几何证明常用辅助线
几何证明-常用辅助线
(一）中线倍长法:
例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
已知：如图，△ABC中,AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤ (AB+AC）
分析：要证明AD ﹤(AB+AC），就是证明AB+AC〉2AD，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”,但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC〉2AD中，出现了2AD，即中线AD应该加倍.
证明：延长AD至E，使DE=AD,连CE，则AE=2AD。
在△ADB和△EDC中，
∴△ADB≌△EDC(SAS) ∴AB=CE
又 在△ACE中, AC+CE＞AE
∴AC+AB＞2AD,即AD ﹤ （AB+AC)
小结：（1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。

课题练习：中，AD是的平分线，且BD=CD,求证AB=AC

例2： 中线一倍辅助线作法

△ABC中 方式1： 延长AD到E，
AD是BC边中线 使DE=AD,
连接BE
方式2：间接倍长

作CF⊥AD于F, 延长MD到N，
作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD,
连接BE 连接CD
例3:△ABC中,AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围

例4：已知在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF，求证:BD=CE

课堂练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F,求证：AF=EF

例5：已知：如图，在中，，D、E在BC上,且DE=EC，过D作交AE于点F,DF=AC。
求证：AE平分

课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线,求证：∠C=∠BAE

作业：
1、在四边形ABCD中，AB∥DC,E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

2、已知:如图,DABC中，ÐC=90°，CM^AB于M，AT平分ÐBAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证:CT=BE。

3:已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于F，求证：AF=EF

4：已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE

5、在四边形ABCD中,AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

（二）截长补短法
例1. 已知,如图1-1,在四边形ABCD中,BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.
求证：∠BAD+∠BCD=180°.
图1-1
分析:因为平角等于180°,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明:过点D作DE垂直BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F，如图1—2
图1-2
∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，
在Rt△ADE与Rt△CDF中，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),∴∠DAE=∠DCF。
图2-1
又∠BAD+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠DCF=180°，
即∠BAD+∠BCD=180°
如图2-1，AD∥BC,点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求证:CD=AD+BC.

图3-1
例3。已知，如图3—1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD。
求证：∠BAP+∠BCP=180°。

图4-1
例4.已知:如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。
求证：AB=AC+CD。

作业：
1、已知：如图，ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE. 求证:BE+DF=AE.

2、五边形ABCDE中,AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE

(三）其它几种常见的形式:
1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。
例：如图1：已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF.

2、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段，构造全等三角形。
例:：如图2：AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证:BE＋CF＞EF

练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如图4， 求证EF＝2AD。

3、延长已知边构造三角形：
例如:如图6:已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B，
求证：AD＝BC

4、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。
例如：如图7:AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD.

5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图8：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE

6连接已知点，构造全等三角形。
例如：已知：如图9；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD,求证：∠A＝∠D.

九、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图10：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。

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