三个正数的算数几何平均不等式省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

1.3 1.3 三个正数算术三个正数算术-几几何平均数何平均数第1页定理定理1.假如假如，那么，那么（当且当且仅仅当当时时取取“=”号）号）1指出定理适用范围：指出定理适用范围：2强调取强调取“=”条件：条件：定理定理2.假如假如 那么那么 是正数，是正数，（当且（当且仅仅当当时时取取“=”号）号）注意：注意：1这个定理适用范围这个定理适用范围：2语言表述语言表述：两个正数算术平均数大于它们两个正数算术平均数大于它们几何平均数。几何平均数。第2页 利用算术平均数和集合平均数定理时一利用算术平均数和集合平均数定理时一定要注意定理条件定要注意定理条件:一正一正;二定二定;三相等三相等.有一个条件达不到就不能取得最值有一个条件达不到就不能取得最值.第3页第4页v基本不等式给出了两个整数算术平均数与几何平均数基本不等式给出了两个整数算术平均数与几何平均数关系，这个不等式能否推广呢？比如，对于关系，这个不等式能否推广呢？比如，对于3个正数，个正数，会有怎样不等式成立呢？会有怎样不等式成立呢？第5页第6页语言表述：三个正数算术平均大于它们 几何平均。第7页推论推论:第8页关于关于“平均数平均数”概念：概念：1假如 则：叫做这叫做这n个正数个正数算术平均数。算术平均数。叫做这叫做这n个正数个正数几何平均数几何平均数。2.基本不等式：基本不等式：语言表述：n个正数算术平均数大于它们几何平均数，当且仅当1a2=an时，等号成立第9页【归纳总结归纳总结】1.1.定理定理3 3变形及结论变形及结论(1)abc .(1)abc .(2)a(2)a3 3+b+b3 3+c+c3 33abc.3abc.(3)(3)上式中上式中a,b,ca,b,c均为正数均为正数,等号成立条件均为等号成立条件均为a=b=c.a=b=c.第10页【即时小测即时小测】1.1.函数函数y=2xy=2x2 2+(xR+(xR+)最小值为最小值为()A.6A.6B.7B.7C.8C.8D.9D.9【解析解析】选选A.A.因为因为xRxR+,所以所以当且仅当当且仅当x=1x=1时等号成立时等号成立.第11页2.2.若若n0,n0,则则 最小值为最小值为()A.2A.2B.4B.4C.6C.6D.8D.8【解析解析】选选C.C.因为因为 所以所以 当且仅当当且仅当n=4n=4时等号成立时等号成立.第12页3.3.若若ab0,ab0,则则a+a+最小值为最小值为_._.【解析解析】因为因为ab0,ab0,所以所以a-b0,a-b0,所以所以 当且仅当当且仅当(a-b)=b=(a-b)=b=时等号成立时等号成立.答案答案:3 3第13页类型一类型一利用三个正数算术利用三个正数算术-几何平均不等式求最值几何平均不等式求最值【典例典例】1.1.求函数求函数y=(1-3x)y=(1-3x)2 2x x 最大值最大值.2.2.求函数求函数y=x+(x1)y=x+(x1)最小值最小值.第14页【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中怎样结构式子中怎样结构式子,使其和为定值使其和为定值?提醒提醒:可将式子可将式子(1-3x)(1-3x)2 2xx化为化为 (1-3x)(1-3x)6x(1-3x)(1-3x)6x形式形式.2.2.典例典例2 2中怎样结构式子中怎样结构式子,使其积为定值使其积为定值?提醒提醒:可将式子可将式子x+x+化为化为 则其积则其积 为常数为常数.第15页【解析解析】1.1.因为因为0 x ,0 x0,1-3x0,所以所以y=(1-3x)y=(1-3x)2 2x=(1-3x)x=(1-3x)(1-3x)(1-3x)6x6x 当且仅当当且仅当1-3x=1-3x=6x,1-3x=1-3x=6x,即即x=x=时等号成立时等号成立,此时此时y ymaxmax=.=.第16页2.2.因为因为x1,x1,所以所以x-10,x-10,当且仅当当且仅当 即即x=3x=3时等号成立时等号成立,即即y yminmin=4.=4.第17页2.2.若将典例若将典例1 1条件变为条件变为“x,yRx,yR+且且x x2 2y=4”,y=4”,怎样求怎样求x+yx+y最小值最小值?【解析解析】因为因为x,yRx,yR+且且x x2 2y=4,y=4,所以所以x+y=x+y=当且仅当当且仅当 =y=y时等号成立时等号成立,又又x x2 2y=4,y=4,所以当所以当x=2,y=1x=2,y=1时时,x+y,x+y取最小值取最小值3.3.第18页第19页2.(2.(哈尔滨高二检测哈尔滨高二检测)已知实数已知实数a,b,c,da,b,c,d满足满足abcd,abcd,求证求证:第20页【证实证实】因为因为abcd,abcd,所以所以a-b0,b-c0,a-b0,b-c0,c-d0,a-d0,c-d0,a-d0,所以所以 =(a-b)+(b-c)+(c-d)=(a-b)+(b-c)+(c-d)当且仅当当且仅当a-b=b-c=c-da-b=b-c=c-d时取等号时取等号,即即 第21页例:解解:结构三个数相结构三个数相加等于定值加等于定值.第22页解解:结构三个结构三个数相加等数相加等于定值于定值.第23页解解:(错解错解:原因是取不到等号原因是取不到等号)正解正解:第24页第25页第26页第27页第28页第29页