函数图象关于点对称性.doc

(完整版)函数图象关于点对称性函数图象关于点对称性函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。对称性，在几何中研究的较多,在代数中研究的较少.本文只探讨函数的关于点对称性。I.函数自身关于点对称性命题1：函数的图像关于点对称的充要条件是(或者）证明：(必要性）设是图像上任一点，点关于点 的对称点也在图像上，即故，必要性得证.（充分性）设点是图像上任一点，则,，即，故点也在图像上，而点与点关于点对称，充分性得证.推论1：奇函数的图像关于原点对称。证明：设函数是奇函数，则奇函数定义有,由命题1可得函数 图像关于源点对称.推论2：如果函数满足,则函数图象关于点对称。(证明略）推论3:函数的图像关于点 。证明：， 由命题1有函数的图像关于点对称.例1 已知定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增,如果且，则的值（ ）A. 恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能为零 D。 可正可负分析：先代替，使变形为,它的特征就是推论2，因此函数的图像关于点对称。在区间上单调递增，在区间上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位.解：且在区间上单调递增，函数的图像关于点对称， .所以选A例2 如果函数满足，求该函数的对称中心。（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6,所以中点固定为（3。5，3），这就是它的对称中心） 如果为奇函数，并且，求该函数的所有对称中心和对称轴。（由周期性定义知周期为4，又，从而,按上例知x=1为对称轴，所以为对称轴，为对称中心其中kZ）例3 定义在上的函数满足，则解：由命题1可得函数关于点对称，所以点关于点的对称点也在函数图象上,所以，即；同理可得,，；于是。例4 已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且、，则的值为（ ）.A. 2 B. -1 C. 0 D。 1解:由函数的图象关于点成中心对称，得，又，；令则,于是是偶函数，且，即是以3为周期的函数,则， =1。例4 函数的图象关于点成中心对称，则实数.解：由推论3可知图象关于点成中心对称,所以，即。例5函数的反函数的图象关于点成中心对称，则实数.A. 2 B. 3 C。 -2 D。 4由推论3可知图象关于点成中心对称,又的反函数的图象关于点成中心对称，所以点点关于直线，即。II.不同函数关于点对称性命题1: 函数与的图像关于点成中心对称。证明：设是函数图象上的任意一点，则点关于的对称点是，因为点在函数的图象上,所以函数与的图像关于点成中心对称。命题2：设均为常数，函数)与函数的定义域均为，那么函数的图象与函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是：对一切，均有b。 证明:（1）充分性：设是函数图象上的任意一点，则点关于的对称点是,且。所以，即点是函数图象上的一点，也即函数图象上任意一关于点的对称点都在函数的图象上；同理可证，函数图象上任意一关于点的对称点也都在函数的图象上。(2） 必要性：设点是函数图象上的任意一点，则点关于点的对称点在函数图象上， ，即，也即对一切,均有。 由（1）（2)证明可知：命题2成立.推论1 ：设均为常数,则函数的图象与函数的图象关于点成中心对称.证明：令,则，对均成立。对均成立.由命题2，函数与函数的图象，即函数的图象与函数的图象关于点成中心对称。例1 已知函数是定义在上的函数，那么与的图象 ( )A。关于直线对称。 B。关于直线对称. C.关于点对称. D.关于点对称。简解：令,则对均成立。，由:命题2可知选D。5