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(完整版)函数图象关于点对称性
函数图象关于点对称性
函数是中学数学教学的主线,是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点,函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。对称性，在几何中研究的较多,在代数中研究的较少.本文只探讨函数的关于点对称性。
I.函数自身关于点对称性
命题1：函数的图像关于点对称的充要条件是(或者）
证明：(必要性）设是图像上任一点，∵点关于点 的对称点也在图像上，∴，即故，必要性得证.
（充分性）设点是图像上任一点，则,∵,∴，即，故点也在图像上，而点与点关于点对称，充分性得证.
推论1：奇函数的图像关于原点对称。
证明：设函数是奇函数，则奇函数定义有,由命题1可得函数 图像关于源点对称.
推论2：如果函数满足,则函数图象关于点对称。(证明略）
推论3:函数的图像关于点 。
证明：∵，，
∴

由命题1有函数的图像关于点对称.
例1 已知定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增,如果且，则的值（ ）
A. 恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能为零 D。 可正可负
分析：先代替，使变形为,它的特征就是推论2，因此函数的图像关于点对称。在区间上单调递增，在区间上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位.
解：∵且在区间上单调递增，
∴，∵∴函数的图像关于点对称，∴ ∴.所以选A
例2 如果函数满足，求该函数的对称中心。（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6,所以中点固定为（3。5，3），这就是它的对称中心）
如果为奇函数，并且，求该函数的所有对称中心和对称轴。（由周期性定义知周期为4，又，从而,按上例知x=—1为对称轴，所以为对称轴，为对称中心其中k∈Z）
例3 定义在上的函数满足，
则
解：由命题1可得函数关于点对称，所以点关于点的对称点也在函数图象上,所以，即；同理可得,，；于是。
例4 已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且、，
则的值为（ ）.
A. 2 B. -1 C. 0 D。 1
解:由函数的图象关于点成中心对称，得，又，∴；令则,于是是偶函数，且，即是以3为周期的函数,则，，∴
==1。
例4 函数的图象关于点成中心对称，则实数.
解：由推论3可知图象关于点成中心对称,所以，即。
例5函数的反函数的图象关于点成中心对称，则实数.
A. 2 B. 3 C。 -2 D。 —4
由推论3可知图象关于点成中心对称,又的反函数的图象关于点成中心对称，
所以点点关于直线，即。
II.不同函数关于点对称性
命题1: 函数与的图像关于点成中心对称。
证明：设是函数图象上的任意一点，则点关于的对称点是，因为点在函数的图象上,所以函数与的图像关于点成中心对称。
命题2：设均为常数，函数)与函数的定义域均为，那么函数的图象与函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是：对一切，均有b。
证明:（1）充分性：设是函数图象上的任意一点，则点关于的对称点是,且。所以，即点是函数图象上的一点，也即函数图象上任意一关于点的对称点都在函数的图象上；同理可证，函数图象上任意一关于点的对称点也都在函数的图象上。
(2） 必要性：设点是函数图象上的任意一点，则点关于点的对称点在函数图象上，
∴ ，即，也即对一切,均有。
由（1）（2)证明可知：命题2成立.
推论1 ：设均为常数,则函数的图象与函数的图象关于点成中心对称.
证明：令,
则，对均成立。
∴对均成立.
∴由命题2，函数与函数的图象，即函数的图象与函数的图象关于点成中心对称。
例1 已知函数是定义在上的函数，那么与的图象 ( )
A。关于直线对称。 B。关于直线对称.
C.关于点对称. D.关于点对称。
简解：令,则对均成立。
∴，由:命题2可知选D。
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