圆锥曲线光学性质的证明及应用初探.doc

圆锥曲线光学性质及生活中的应用撰稿人：崔敬 殷雅雯学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有几条未证明的性质引起了我们的兴趣，在反复查找资料，推理演算下，总算是确定了三条待证命题，大致地完成了其证明，并且找到了一些圆锥曲线在实际中的神奇应用。一、 圆锥曲线的光学性质首先说明一下我们要证明的东西，总共有三样：1椭圆的光学性质： 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1)椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热2双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)双曲线这种性质，在天文望远镜的设计等方面，有重大的贡献3 抛物线的光学性质 ：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3） 抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的图1.3F2F1图1.2AF1F2DO图1.1B当然，在证明之前，需要把这个物理问题转化为数学问题才行。二、 问题转化及证明 在证明前，如果不知道这三点，是很麻烦的 因为其光学性质的证明都与圆锥曲线上某一点的切线方程有关，所以这三个公式先提前列出1若点是椭圆上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：。2若点是双曲线上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：3若点是抛物线上任一点，则抛物线过该点的切线方程是1. 椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分（图2.1）已知：如图，设椭圆的方程为，分别是其左、右焦点，是过椭圆上一点的切线，为垂直于且过点的椭圆的法线，交轴于设，求证：.xy2L图2.1解：在上，L则过点的切线方程为：是通过点且与切线垂直的法线，则法线与轴交于又由焦半径公式得：是的平分线，故可得2.双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图2.2）；已知：如图，双曲线的方程为，分别是其左、右焦点，是过双曲线上的一点的切线，交轴于点，设，xy图2.2求证：解：两焦点为， 在双曲线上则过点的切线切线与轴交于。由双曲线的焦半径公式得双曲线的两焦点坐标为，故故 ，切线为之角分线。yx图2.3定理3 抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分（图2.3）。已知：如图，抛物线的方程为为，直线是过抛物线上一点的切线，交轴于，反射线与所成角记为，求证：证明： 如图 ，抛物线的方程为，点在该抛物线上，则过点的切线为切线与轴交于焦点为，(同位角)通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的(very difficult)。那么它在生活中有何应用呢？三圆锥曲线的应用圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。虽然我不知道为什么，天体分别按照椭圆，双曲线，抛物线运行时，其总能量与离心率有很奇妙的关系，天体总能量椭圆0,抛物线=0，（椭圆e1,抛物线e=1）。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。 由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。由双曲线的一支绕其虚轴旋转，可以得到双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固（比如教材当中的冷却塔） 由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高。 圆锥曲线的光学性质是奇妙的，奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系。我们只有善于观察，勤于钻研，及时总结，才能闪现更多的灵感，才能在奥妙的数学世界畅游。7