圆锥曲线的小题专项训练.doc

圆锥曲线的小题
椭圆的离心率
1.【2017浙江，2】椭圆的离心率是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：，选B．

2.【2017课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2
为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，
直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：，
整理可得，即，
从而，椭圆的离心率，
故选A.
【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系

【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式e＝；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m<n且e1e2>1 D．m<n且e1e2<1
【答案】A
【解析】

则很容易出现错误。
4.【2016高考新课标3理数】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由，得，即，整理，得，所以椭圆离心率为，故选A．
考点：椭圆方程与几何性质．
【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．
5.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是.

【答案】
【解析】由题意得，因此
考点：椭圆离心率
【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值.
双曲线的离心率
1.【2017课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】

即：，整理可得：,
双曲线的离心率。故选A。
【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式
【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)。
2..【2016高考新课标2理数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）
（A）（B）（C）（D）2
【答案】A
【解析】
试题分析：因为垂直于轴，所以，因为，即，化简得，故双曲线离心率.选A.
考点：双曲线的性质.离心率.
【名师点睛】区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．
3.【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）
A． B． C． D．
【答案】D

【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质．
【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题．
4.【2017课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.
【答案】
【解析】试题分析：

如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，
而，所以，
点到直线的距离
在中，
代入计算得，即
由得
所以.
【考点】双曲线的简单性质.

5.【2017北京，理9】若双曲线的离心率为，则实数m=_________.
【答案】2

6.【2016高考山东理数】已知双曲线E：（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.
【答案】2
【解析】
试题分析：假设点A在第一象限，点B在第二象限，则，，所以，，由，得离心率或（舍去），所以E的离心率为2.
考点：双曲线的几何性质
【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.
7.【2015高考山东，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为.
【答案】
【解析】设所在的直线方程为 ,则所在的直线方程为,
解方程组得：，所以点的坐标为 ,
抛物线的焦点的坐标为: .因为是的垂心，所以 ,
所以， .
所以， .

8.【2015湖南理13】设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为.
【答案】.
【解析】
试题分析：根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上，
∴.
【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.
【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行
等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用，焦点坐标，渐近线方程等性质，
也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.
抛物线
1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【解析】试题分析：设，直线方程为
联立方程得∴
同理直线与抛物线的交点满足
由抛物线定义可知

当且仅当（或）时，取得等号.
【考点】抛物线的简单性质

2.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )
（A）（B）（C）（D）1
【答案】C
【解析】
试题分析：设（不妨设），则由已知得，，，，，故选C.
考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．

3.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )
（A）（B）（C）（D）1
【答案】C
【解析】
试题分析：设（不妨设），则由已知得，，，，，故选C.
考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．
【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点的坐标，利用向量法求出点的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率用参数表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．
4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
【答案】B
【解析】

考点：抛物线的性质。

【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.
5.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】
显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设，则，相减得.由于，所以，即.圆心为，由得，所以，即点M必在直线上.将代入得.因为点M在圆上，所以.又（由于斜率不存在，故，所以不取等号），所以.选D.

利用这个范围即可得到r的取值范围。
6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】，故选A.
【考点定位】抛物线的标准方程及其性质
【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.
7.【2017课标II，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则。
【答案】6
【解析】
试题分析：

点A，

【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。
【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。
8.【2016高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点
A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p
的值为_________.
【答案】
【解析】
试题分析：抛物线的普通方程为，，，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以，，所以，．
考点：抛物线定义
【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
9.【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．
【答案】
【解析】
试题分析：
考点：抛物线的定义．
【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离．