复数的三角形式.doc

(word完整版)复数的三角形式复数的三角形式1、复数的三角形式（1）复数的幅角：设复数Z=abi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O）为终边的角,叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合02的辐角的值，叫做辐角的主值，记作argZ说明:不等于零的复数Z的辐角有无限多个值,这些值中的任意两个相差2的整数倍(2)复数的三角形式:r（cosisin)叫做复数Z=abi的三角形式，其中说明:任何一个复数Z=abi均可表示成r（cosisin）的形式其中r为Z的模,为Z的一个辐角2、复数的三角形式的运算：设Z=r（cosisin)，Z1=r1(cos1isin1)，Z2=r2(cos2isin2)则3、应用例1求下列复数的模和辐角主值（1) （2）解：（1） 又=1，点（1，1）在第一象限。所以（2）有,点（)在第四象限，所以想一想：怎样求复数的辐角？想一想:复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？（1） （2)（3）例2 把下列复数转化为三角形式（1）-1；(2）; （3) 解：（1)=1,辐角主值为=,所以1=（2) 辐角主值为=,所以=（3）,由和点在第四象限，得，所以=总结:复数的代数形式化为复数的三角形式一般方法步骤是：求复数的模:；由及点所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）;写出复数的三角形式。例3求复数Z=1+cos+isin（2）的模与辐角主值. 分析:式子中多个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”. 解:Z=1+cos+isin=1+（2cos21)+2isincos=2cos(cos+isin).。.。.（1) 2 ，cos0（1)式右端=-2cos(cosisin）=2coscos（+）+isin（+） r=2cos， ArgZ=+2k（kZ） +2，argZ=+。 例4将Z=（3)化为三角形式，并求其辐角主值。 分析:三角形中只有正余弦,因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化。 解：=cos2+isin2 3， 26, 242， argZ=24 例5若Zc，Z-21，求|的最大，最小值和argZ范围. 解:法一，数形结合 由Z-21,知的轨迹为复平面上以（2,0）为圆心,1为半径的圆面（包括圆周),Z表示圆面上任一点到原点的距离. 显然1Z|3， Zmax=3, |Zmin=1, 另设圆的两条切线为OA,OB，A,B为切点，由|CA|=1，OC|=2知 AOC=BOC=，argZ0,，2） 法二:用代数形式求解|Z的最大，最小值,设Z=x+yi(x,yR） 则由|Z21得（x-2)2+y21, Z=, (x-2）2+y21, (x-2）21, 1x21， 1x3， 14x-39, 1|Z|3。 例6求3-4i的平方根 解法一利用复数代数形式设34i的平方根为x+yi(x，yR）,则有 （x+yi)2=34i,即（x2-y2）+2xyi=-34i，由复数相等条件，得 -34i的平方根是(1-2i） 法二利用复数的三角形式 练习：求1的立方根例7已知zC,|z=1且z2-1,则复数（ ） A、必为纯虚数B、是虚数但不一定是纯虚数C、必为实数D、可能是实数也可能是虚数 思路分析：选择题，从结论的一般性考虑，若z=1，显然A、B选项不成立，分析C、D选项，显然穷举验证不能得出一般结论只能推演 解：法1设z=a+bi, a,bR, a2+b2=1,a0。 则=R，故，应选C。 法2设z=cos+isin （R，且k+)，则=R。 法3z=|z|2， 当|z=1时有z=1， =R。 法4当z|=1时有z=1， =R。 法5复数z为实数的充要条件是z=， 而(）=， 又z=1时,=, =， R。 例8设x，yR, z1=2-x+xi， z2=y-1+(y）i, 已知z1=z2，arg=， (1)求（)100=？ (2)设z=， 求集合A=xx=z2k+z-2k, kZ中元素的个数。 (1)解：|z1|=z2， |=1,又arg=, =|（cos+isin)=i， 即z1=z2i, 2x+xi=y-1+（y)ii即，解得 x=y=+， ()100=（+i）100=（+i)50=-i. （2） 思路分析：由(1）知 z=+i，z的特性：z3=1=3, |z|=1, =; z=cos+isin， z2=w， ,z2k+z2k 可怎么理解呢？ （z2)k+(z2）k， z2k+2k， 解法1：令w=-+i，则z2k+z-2k=wk+w-k，w3=1,而kz, k= 当k=3m时，z2k+z2k=(w3）m+(w3）-m=2，当k=3m+1时，z2k+z-2k=w3mw+w-3mw1=w+w1=w+=1, 当k=3m+2时，z2k+z2k=w3mw2+w3mw2=w2+w2=w3w-1+w3w=w1+w=1,综上可知，集合A中有2个元素。 法2：|z|=1, =,z2k+z2k=z2k+2k=cos+isin+cos-isin=2cos = 由此可判定集合A中有2个元素。 例9设复数z=cos+isin(0）, w=, 并且w=, argw,求。（93年全国理） 解：w= =tg2(sin4+icos4） |w|=tg2| 由|w|=得 tg2=。 0, 故有(i)当tg2=时，得=或=. 此时 w=(cos+isin),argw=，适合题意. (ii）当 tg2=-时，得=或=，此时,w=（cos+isin)。 argw=, 不合题意,舍去，故综合(i)， （ii)知，=或=. 例10：三角级数求和 解:令那么对任何自然数k，有 于是另一方面即所以思考与练习1、利用复数推导三倍角公式2、若复数z满足，当复数z的辐角为300时，求复数z的模.3、已知复数, 求复数的辐角的主值.4、设z满足,求z.