全等三角形经典习题汇集(学而思).pdf

1 全等三角形经典习题汇集全等三角形经典习题汇集 第一讲全等三角形的性质及判定第一讲全等三角形的性质及判定【例例 1】如图，如图，求证：求证：ACDEBCEFACDEAFBD【补充补充】如图所示：如图所示：，求证：求证：ABCDABCDADBC【例例 2】已知：如图，已知：如图，、四点在同一条直线上，四点在同一条直线上，求证：求证：BEFCABDCBECFBC OAOD【补充补充】已知：如图，已知：如图，求证：，求证：ADBCACBDCD 【补充补充】如图，在梯形如图，在梯形中，中，为为中点，连结中点，连结并延长并延长交交的延长线于的延长线于ABCDADBCECDAEAEBC点点求证：求证：FFCADFEDCBA【例例 3】如图，如图，相交于点相交于点，、为为上两点，上两点，求证：求证：ABCD，OOAOBEFCDAEBFCEDFACBDFEDCBADCBAFEODCBAODCBA2OFEDCBA【补充补充】已知，如图，已知，如图，求证：，求证：ABACCEABBFACBFCEFECBA【例例 4】如图，如图，垂足分别为，垂足分别为，试说明，试说明90DCECDCEADAC BEAC，A B，ADABBEEDCBA【例例 10】如图所示，如图所示，已知已知，证明：，证明：ABDCAEDFCEBFAFDE【例例 11】、分别是正方形分别是正方形的的、边上的点，且边上的点，且求证：求证：EFABCDBCCDBECFAEBFPFEDCBA【补充补充】、分别是正方形分别是正方形的的、边上的点，边上的点，求证：求证：EFGABCDBCCDABGEEFGEEFBGCFBCFEDCBA3GABCDEF【例例 12】在凸五边形中，在凸五边形中，为为中点求证：中点求证：BE CD BCDEMCDAMCD【补充补充】如图所示：如图所示：，求证：求证：AFCDBCEFABDEAD BCEFABCDEF【例例 13】（1）如图，）如图，ABC 的边的边 AB、AC 为边分别向外作正方形为边分别向外作正方形 ABDE 和正方形和正方形 ACFG，连结，连结 EG，试，试判判断断ABC 与与AEG 面积之间的关系，并说明理由面积之间的关系，并说明理由.（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知已知中间的所有正方形的面积之和是中间的所有正方形的面积之和是 a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是平方米，内圈的所有三角形的面积之和是 b 平方米，这平方米，这条小路一共占地多少平方米？条小路一共占地多少平方米？GFEDCBA【例例 14】如图，如图，中，中，是是上一点，且上一点，且，ABCABBC90ABCDACCDCBAB交交于于点求证：点求证：DEACABEADDEEBMEDCBA4CBDEA【例例 15】中，中，为为上一点，使得上一点，使得，为为上一点，使得上一点，使得ABC90BMABAMBCNBC，连，连、交于交于点试求点试求的度数，并写出你的推理证明的过程的度数，并写出你的推理证明的过程CNBMANCMPAPM图 3PDMNBCA【例例 16】如图，如图，是是的内心，且的内心，且若若，求，求和和的大小的大小IABCCAAIBC80BACABCAIBABCI【例例 17】已知：已知：是是的高，点的高，点在在的延长线上，的延长线上，点，点在在上，上，BD CE、ABCPBDBPACQCE，求证：，求证：；CQABAPAQAPAQPDQCBEA【例例 18】如左下图，在矩形如左下图，在矩形中，中，为为延长线上一点且延长线上一点且，为为的中点求的中点求ABCDECBACCEFAE证：证：BFFD 如右下图，在如右下图，在中，中，、分别为边分别为边、的高，的高，为为的中点，的中点，于于ABCBECFACABDBCDMEF求证：求证：MFMEM5FEDCBA MFEDCBA 18.补充：如图，已知补充：如图，已知，且，且求证：求证：60ABDACD 1902ADBBDC是等腰三角形是等腰三角形ABC 【例例 19】如图，如图，为边长是为边长是 的等边三角形，的等边三角形，为顶角为顶角是是ABC1BDC()BDC的等腰三角形，以的等腰三角形，以为顶点作一个为顶点作一个角，角的两边分别交角，角的两边分别交于于120D60AB，于于，连接，连接，形成一个，形成一个求求的周长的周长MACNMNAMNAMN【习题习题 1】已知：如图，已知：如图，求证：求证：ABDEACDFBECFABDE家庭作业AMNBCD6FEDCBA【习题习题 2】已知：已知：DEFMNP，且，且 EFNP，FP，D48，E52，MN12cm，求：，求：P的度数及的度数及 DE 的长的长.【习题习题 3】如图，矩形如图，矩形中，中，是是上一点，上一点，交交于于点，若点，若，矩形周长为，矩形周长为，ABCDEADCEEFABF2DE 16且且，求，求的长的长CEEFAEEDCBFA【习题习题 4】在四边形在四边形中，中，的平分线的平分线交交于于求证：当求证：当是是的角平分的角平分ABCDADBCAAEDCEBEB线时，有线时，有ADBCAB【备选备选 1】如图所示：如图所示：，、相交于点相交于点求证：求证：平分平分ABACADAECDBEOOADAE【备选备选 2】如图所示，在如图所示，在中，中，于点于点，求证：求证：ABCADBCD2BC ABBDCD月测备选ABCDEOCDBA7【备选备选 3】如图，如图，ABC 中，中，D 是是 BC 的中点，过的中点，过 D 点的直线点的直线 GF 交交 AC 于于 F，交，交 AC 的平行线的平行线 BG 于于 G 点，点，DEDF，交，交 AB 于点于点 E，连结，连结 EG、EF.（1）求证：）求证：BGCF.（2）请你判断）请你判断 BE+CF 与与 EF 的大小关系，并说明理由的大小关系，并说明理由.FEDCBAG第二讲第二讲 全等三角形与中点问题全等三角形与中点问题版块一 倍长中线【例例 1】在在中，中，则，则边上的中线边上的中线的长的取的长的取ABC9,5ACABBCAD值范围是什么？值范围是什么？【补充补充】已知：已知：中，中，是中线是中线求证：求证：ABCAD1()2ADABAC【例例 2】已知：如图，梯形已知：如图，梯形中，中，点，点是是的中点，的中点，的延长线与的延长线与的延长线相交的延长线相交ABCDADBCECDBEAD于点于点求证：求证：FBCEFDEDFECBA【例例 3】如图，在如图，在中，中，是是边的中点，边的中点，分别是分别是及及ABCDBCFEADDABCDABCFEDCBA8其延长线上的点，其延长线上的点，求证：求证：CFBEBDECDF【例例 4】如图，如图，中，中，是中线求证：是中线求证：ABCAB ACADDACDAB【例例 5】如图，已知在如图，已知在中，中，是是边上的中线，边上的中线，是是上一点，延上一点，延ABCADBCEAD长长交交于于，求证：，求证：BEACFAFEFACBE【例例 6】如图所示，在如图所示，在和和中，中，、分别是分别是、上的中线，且上的中线，且，ABCA B C ADA D BCB C ABA B，求证，求证ACA C ADA D ABCA B C 【例例 7】如图，在如图，在中，中，交交于点于点，点，点是是中点，中点，交交的延长线于点的延长线于点，交，交ABCADBCDEBCEFADCAF于点于点，若，若，求证：，求证：为为的角平分的角平分EFGBGCFADABC线线DABCFEDCBADABCDABCFGEDCBA9【例例 8】已知已知为为的中线，的中线，的平分线分别交的平分线分别交于于、交、交于于求证：求证：ADABCADBADCABEACFBECFEF【例例 9】在在中，中，点，点为为的中点，点的中点，点、分别为分别为、上的点，且上的点，且Rt ABC90ADBCEFABAC以线段以线段、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、EDFDBEEFFC直角三角形或钝角三角形？直角三角形或钝角三角形？【例例 10】已知已知ABC，B=C，D，E 分别是分别是 AB 及及 AC 延长线上的一点，且延长线上的一点，且 BD=CE，连接，连接 DE 交底交底 BC于于 G，求证，求证 GD=GE GEDCBA【例例 11】如图所示，在如图所示，在中，中，是是的中点，的中点，垂直于垂直于，如果，如果ABCDBCDMDN，求证，求证(勾股定理勾股定理2222BMCNDMDN22214ADABAC的内容，选做的内容，选做)FEABDCFEDCBANMDCBA10【例例 10】在在中，中，是斜边是斜边的中点，的中点，、分别在边分别在边、上，满足上，满足若若Rt ABCFABDECACB90DFE，则线段，则线段的长度为的长度为_3AD 4BE DE【习题习题 1】如图，在等腰如图，在等腰中，中，是是的中点，过的中点，过作作，且，且ABCABACDBCAAEDEAFDFAEAF求证：求证：EDBFDC 【习题习题 2】如图，已知在如图，已知在中，中，是是边上的中线，边上的中线，是是上一点，且上一点，且ABCADBCEAD，延长，延长交交于于，与与相等吗？为什么？相等吗？为什么？BEACBEACFAFEF家庭作业图 6GEFDBCAFEDCBADFECBA11【习题习题 3】如右下图，在如右下图，在中，若中，若，为为边的中点求证：边的中点求证：ABC2BC ADBCEBC2ABDEEDCBA【备选备选 1】如图，已知如图，已知 AB=DC，AD=BC，O 是是 BD 中点，过中点，过 O 点的直线分别交点的直线分别交 DA、BC 的延长线于的延长线于 E，F求证：求证：E=F【备选备选 2】如图，如图，中，中，是是中点，中点，与与交于交于，ABCABAC90BACDBCEDFDEDABE与与 交于交于求证：求证：，FDACFBEAFAECF第三讲第三讲 全等三角形与角平分线问题全等三角形与角平分线问题【例例 1】在在中，中，为为边上的点，已知边上的点，已知，求证：，求证：ABCDBCBADCAD BDCDABACDCBA【例例 2】已知已知中，中，、分别是分别是及及平分线求证：平分线求证：ABCABACBECDABCACBCDBEEDCBAABCDEF12【例例 3】如图，在如图，在中，中，、分别平分分别平分、，且，且与与的交点的交点ABC60BADCEBACBCAADCE为为求证：求证：FFEFDFBEDCA【例例 4】如图，已知如图，已知的周长是的周长是，分别平分分别平分和和，于于，且，且ABC21OBOCABCACBODBCD，求，求的面积的面积3OD ABC【补充补充】如图所示：如图所示：，、相交于点相交于点求证：求证：平分平分ABACADAECDBEOOADAE【例例 5】已知已知中，中，、分别平分分别平分和和，ABC60AoBDCEABCACB、交于点交于点，试判断，试判断、的数量关系，并加以证明的数量关系，并加以证明BDCEOBECDBCADOCBABCDEO13OEDCBA【例例 6】如图，已知如图，已知是是上的一点，又上的一点，又，求证：求证：EAC12 34 EDEBEDCBA4321【例例 7】如图所示，如图所示，是是和和的平分线，的平分线，求证：求证：OPAOCBODOAOCOBODABCDPDBOCA【例例 8】如图所示，已知如图所示，已知中，中，平分平分，、分别在分别在、上上，ABCADBACEFBDADDECD求证：求证：EFACEFABFACDEB【例例 10】如图，在四边形如图，在四边形中，中，平分平分，过，过作作ABCDACBADC，并且，并且，则，则等于多少？等于多少？CEABE于1()2AEABADABCADC EDCBA【补充补充】长方形长方形 ABCD 中，中，AB=4，BC=7，BAD 的角平分线交的角平分线交 BC 于点于点 E，EFED 交交 AB 于于 F，则，则EF=_14FEDCBA【补充补充】在在中，中，是是的平分线的平分线是是上任意一点上任意一点求证：求证：ABCABACADBACPADABACPBPCCDBPA 【例例 11】如图，在如图，在中，中，的平分线的平分线交交与与求证：求证：ABC2BC BACADBCDABBDACDCBA【例例 12】如图，如图，中，中，平分平分交交于于点求证：点求证：ABCABAC108ABDABCACDBCACCDABCD【巩固巩固】已知等腰已知等腰，的平分线交的平分线交于于，则，则ABC100AABCACDBDADBCDCBA15 【例例 13】如图所示，在如图所示，在中，中，平分平分，于于，求证，求证ABCADBACADABCMADM2ABACAMMDCBA 【例例 14】如图，如图，中，中，、分别为两底角的外角平分线，分别为两底角的外角平分线，于于，ABCABACBDCEADBDD于于求证：求证：AECEEADAEHGDABCE 【例例 15】如如图图，平平分分，平平分分180AD BEABCCE，点点在在上上BCDEAD 探探讨讨线线段段、和和之之间间的的等等量量关关系系ABCDBC 探探讨讨线线段段与与之之间间的的位位置置关关系系BECEEDCBA16 【习题习题 2】2】如图，在如图，在中，中，的平分线的平分线交交与与求证：求证：ABCABBDACBACADBCD2BC DCBA【习题习题 3】3】是是的角平分线，的角平分线，交交的延长线于的延长线于，交交于于求证：求证：ADABCBEADADEEFACABFAFFBD E CF BA 【习题习题 4】4】如图所示，如图所示，AD 平行于平行于 BC，AD=4，BC=2，那么，那么DAE=EABABE=EBCAB=_【习题习题 5】5】中，中，为为中点，中点，交交的平分线于点的平分线于点，于于 于于ABCDBCDEBCBACEEFABFEGAC求证：求证：GBFCGEGFDCBA 家庭作业17【备选备选 1】1】在在中，中，平分平分，求求的值的值ABCADBACABBDAC:BCCDBA 【备选备选 2】2】如图，已知在如图，已知在中，中，求证：求证：ABC3ABCC 12 BEAE2ACABBE21ECBA 【备选备选 3】3】如图所示，在四边形如图所示，在四边形中，中，的平分线的平分线交交于于，求证：当，求证：当是是ABCDADBCAAEDCEBE的平分线时，有的平分线时，有BADBCABEBCDA第四讲第四讲 全等三角形与旋转问题全等三角形与旋转问题月测备选18【例例 1】已知：如图，点已知：如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形是等边三角形（1 1）求证：）求证：CABACMCBNANBM（2 2）求证：）求证：CD=CECD=CE(3)(3)求证：求证：CFCF 平分平分MCNMCN（4）求证：求证：DEAB【例例 2】如图，四边形如图，四边形、都是正方形，连接都是正方形，连接、求证：求证：ABCDDEFGAECGAECGNMACBEDNMACBFEDNMACBFEDNMACB19GFEDCBA【例例 3】如图，等边三角形如图，等边三角形与等边与等边共顶点于共顶点于点求证：点求证：ABCDECCAEBDDECBA 【例例 4】如图，如图，是等边是等边内的一点，且内的一点，且，问，问的度数的度数DABCBDADBPABDBPDBC BPD是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由PDCBA 【例例 5】如图，等腰直角三角形如图，等腰直角三角形中，中，为为中点，中点，求证：求证：ABC90B ABaOACEOOF为定值为定值BEBFOBECFA 【补充补充】如图，正方形如图，正方形绕正方形绕正方形中点中点旋转，其交点为旋转，其交点为、，求证：，求证：OGHKABCDOEFAECFAB2054321OHBEDKGCFA【例例 6】(2004 河北河北)如图，已知点如图，已知点是正方形是正方形的边的边上一点，点上一点，点是是的延长线上一点，且的延长线上一点，且EABCDCDFCB 求证：求证：EAAFDEBFFEDCBA【补充补充】如图所示，在四边形如图所示，在四边形中，中，于于，若四边形，若四边形ABCD90ADCABC ADCDDPABP 的面积是的面积是 16，求，求的长的长ABCDDPPDCBA【例例 7】、分别是正方形分别是正方形的边的边、上的点，且上的点，且，为垂足，求为垂足，求EFABCDBCCD45EAF AHEFH证：证：AHAB 【巩固巩固】如图，正方形如图，正方形的边长为的边长为，点，点在线段在线段上运动，上运动，平分平分ABCD1FCDAE交交边于点边于点BAFBCECHFEDBA21求证：求证：AFDFBE设设()，与与的面积和的面积和是否存在最大值？若存在，求出此时是否存在最大值？若存在，求出此时的的DFx01xADFABESx值及值及若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由SFEDCBA 【补充补充】(1)如图，在四边形如图，在四边形 ABCD 中，中，ABAD，BD，E、F 分别是边分别是边 BC、CD 上的点，且上的点，且90EAF=BAD求证：求证：EFBEFD;12FEDCBA(2)如图如图，在四边形在四边形 ABCD 中，中，ABAD，B+D，E、F 分别是边分别是边 BC、CD 上的点，且上的点，且180EAF=BAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明中的结论是否仍然成立？不用证明 12FEDCBA 22【习题习题 1】如图，已知如图，已知和和都是等边三角形，都是等边三角形，、在一条直线上，试说明在一条直线上，试说明与与ABCADEBCDCE相等的理由相等的理由ACCDEDCBA【习题习题 2】(湖北省黄冈市湖北省黄冈市 2008 年初中毕业生升学考试年初中毕业生升学考试)已知：如图，点已知：如图，点是正方形是正方形的边的边上任上任EABCDAB意一点，过点意一点，过点作作交交的延长线于点的延长线于点求证：求证：DDFDEBCFDEDFFEDCBA【习题习题 3】在梯形在梯形中，中，是是中点，试判断中点，试判断ABCDABCD90A2AB 3BC 1CD EAD与与的位置关系，并写出推理过程的位置关系，并写出推理过程ECEB【习题习题 4】已知：如图，点已知：如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形是等边三角形、分别是分别是CABACMCBNCGCH、的高求证：的高求证：ACNMCBCGCHHGNMCBA家庭作业ABCDE23【备选备选 1】在等腰直角在等腰直角中，中，是是的中点，点的中点，点从从出发向出发向运动，运动，ABC90ACBoACBCMABPBC 交交于点于点，试说明，试说明的形状和面积将如何变化的形状和面积将如何变化MQMPACQMPQ 【备选备选 2】如图，正方形如图，正方形中，中，求证：求证：ABCDFADFAE BEDFAEFEDCBA 【备选备选 3】等边等边和等边和等边的边长均为的边长均为 1，是是上异于上异于的任意一点，的任意一点，是是上上ABDCBDEBEADAD、FCD一点，满足一点，满足，当，当移动时，试判断移动时，试判断的形状的形状1AECFEF、BEFD FECBA月测备选APMCQB24第五讲第五讲 轴对称和等腰三角形轴对称和等腰三角形【例例 1】在在中，中，求求ABCABACBCBDEDEAA【补充补充】在在中，中，求求ABCABACBCBDADEDEBA【例例 2】的两边的两边和和的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交于于、，若，若，求，求ABCABACBCDE150BACDAE BAC【例例 3】如图，点如图，点是等边是等边内一点，内一点，将将绕点绕点按顺时针方按顺时针方OAOAD110AOBoBOCBOCC向旋转向旋转得得，连接，连接，则，则是等边三角形；当是等边三角形；当为多少度时，为多少度时，19060ADCODCOD是等腰三角形？是等腰三角形？AODEDCBAEDCBAEDCBAODCBA25【例例 4】如图，在如图，在中，中，在在上，上，在，在上取一点上取一点，使得，使得ABCBC DBC50BADoACE，求，求的度数的度数ADEAED EDC【例例 5】如图，如图，为等边三角形，延长为等边三角形，延长到到，又延长，又延长到到，使，使，连接，连接，求，求ABCBCDBAEAEBD,CE DE证：证：为等腰三角形为等腰三角形CDE【例例 6】如图，在如图，在中，中，为锐角，为锐角，分别为边分别为边、上的点，满足上的点，满足ABCBC,MNDABACBC，且，且求证：求证：AMANBDDCBDMCDN ABAC 板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例例 7】已知点已知点在直线在直线 外，点外，点为直线为直线 上的一个动点，探究是否存上的一个动点，探究是否存AlPl在一个定点在一个定点，当点，当点在直线在直线 上运动时，点上运动时，点与与、两点两点BPlPAB的距离总相等，如果存在，请作出定点的距离总相等，如果存在，请作出定点；若不存在，请说明；若不存在，请说明B理由理由【例例 8】如图，在公路如图，在公路的同旁有两个仓库的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到，现需要建一货物中转站，要求到aAB、两仓库的距离和最短，这个中转站两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？应建在公路旁的哪个位置比较合理？ABMaBAABCDEEDCBAABCDMNPAl26【例例 9】如图，如图，角内有点，角内有点，在角的两边有两点，在角的两边有两点、45AOBPQ(均不同于均不同于点点)，求作，求作、，使得，使得的周长的最小的周长的最小ROQRPQR 【补充补充】如图，如图，、为为的边的边、上的两个定点，在上的两个定点，在上求上求MNABCACBCAB一点一点，使，使的周长最短的周长最短PPMN 【例例 10】已知如图，点已知如图，点在锐角在锐角的内部，在的内部，在边上求边上求MAOBOB作一点作一点，使点，使点到点到点的距离与点的距离与点到到的边的距离的边的距离PPMPOA和最小和最小 【补充补充】已知：已知：、两点在直线两点在直线 的同侧，的同侧，在在 上求作一点上求作一点，使，使ABllM得得最小最小|AMBM 【补充补充】已知：已知：、两点在直线两点在直线 的同侧，在的同侧，在 上求作一点上求作一点ABll，使得，使得最大最大M|BMAM PBANMCBAMBOAlBA27【例例 11】如图，正方形如图，正方形中，中，是是上的一点，且上的一点，且，是是上的一动点，上的一动点，ABCD8AB MDC2DM NAC求求的最小值与最大值的最小值与最大值DNMN 【补充补充】例题例题中的条件不变，求中的条件不变，求的最小值与最大值的最小值与最大值DNMN【补充补充】如图，已知正方形如图，已知正方形的边长为的边长为 8，在在上，且上，且，是是上的一个动点，则上的一个动点，则ABCDMDC2DM NAC的最小值是的最小值是 DNMNMDCBA【习题习题 1】(2007 双柏中考双柏中考)等腰三角形的两边长分别为等腰三角形的两边长分别为 4 和和 9，则第三边长为，则第三边长为 【习题习题 2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和和两部分，则这个等腰三角形的两部分，则这个等腰三角形的12cm21cm底边的长为底边的长为()A A B B C C或或 D D无法确定无法确定17cm5cm17cm5cm【习题习题 3】已知等腰三角形的周长为已知等腰三角形的周长为 20，腰长为，腰长为，求，求的取值范围的取值范围xx【习题习题 4】(2004 天津天津)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()【习题习题 5】判断下列图形判断下列图形(图图)是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴 家庭作业NMDCBA28 【备选备选 1】的一个内角的大小是的一个内角的大小是，且，且，那么，那么的外角的大小是的外角的大小是()ABC040AB CA A B B或或 C C 或或 D D 或或1408010010014080140【备选备选 2】已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为 12 和和 15 两部分，求腰长和底长两部分，求腰长和底长【备选备选 3】(四川省竞赛题四川省竞赛题)如图，在等腰如图，在等腰中，中，的的上一点，满足上一点，满足，在，在Rt ABC3CACBEBC2BE 斜边斜边 上求作一点上求作一点使得使得长度之和最小长度之和最小ABPPCPEPECBA 【备选备选 4】在正方形在正方形中，中，在在上，上，在在上，求上，求和和的长度之和的的长度之和的ABCDEBC2BE 1CE PBDPEPC最小值最小值EPDCBA EEPDCBA月测备选29第六讲第六讲 全等三角形中的截长补短全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例例 1】已知已知中，中，、分别平分分别平分和和，、交于点交于点，试判断，试判断ABC60AoBDCEABC.ACBBDCEO、的数量关系，并加以证明的数量关系，并加以证明BECDBC 【例例 2】如图，点如图，点为正三角形为正三角形的边的边所在直线上的任意一点所在直线上的任意一点(点点除外除外)，作，作，射，射MABDABB60DMN线线与与外角的平分线交于点外角的平分线交于点，与与有怎样的数量关系有怎样的数量关系?MNDBANDMMN【例例 3】ADAB，CBAB，DM=CM=，AD=，CB=，AMD=75，BMC=45，则，则 AB 的长为的长为 ()ahkA.B.C.D.ak2khhMDCBA【例例 4】已知：如图，已知：如图，ABCD 是正方形，是正方形，FAD=FAE.求证：求证：BE+DF=AE.DOECBANEBMADFEDCBA30【例例 5】以以的的、为边向三角形外作等边为边向三角形外作等边、，连结，连结、相交于点相交于点求证：求证：ABCABACABDACECDBEO平分平分OADOE FABCDEOOEDCBA【例例 6】(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，如图所示，是边长为是边长为 的正三角形，的正三角形，ABC1是顶角为是顶角为的等腰三角形，以的等腰三角形，以为顶点作一个为顶点作一个的的，点，点、分别在分别在、BDC120D60MDNMNAB上，求上，求的周长的周长ACAMN 【例例 7】五边形五边形 ABCDE 中，中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：，求证：AD 平分平分 CDE板块二、全等与角度NMDCBACEDBA31【例例 10】如图，在如图，在中，中，是是的平分线，且的平分线，且，求，求的的ABC60BACADBACACABBDABC度数度数.【例例 11】在正在正内取一点内取一点，使，使，在，在外取一点外取一点，使，使，且，且ABCDDADBABCEDBEDBC，求，求.BEBABED DCBADECBA