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复数的三角形式
1、复数的三角形式
　　（1）复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O）为终边的角θ,叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．
　　说明:不等于零的复数Z的辐角有无限多个值,这些值中的任意两个相差2π的整数倍．
　　(2)复数的三角形式:r（cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．
　　说明:任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r（cosθ＋isinθ）的形式．其中r为Z的模,θ为Z的一个辐角．
　2、复数的三角形式的运算：
　　设Z=r（cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则

3、应用
例1求下列复数的模和辐角主值
（1) （2）
解：（1）
又=1，点（1，1）在第一象限。所以
（2）
有,点（)在第四象限，所以
想一想：怎样求复数的辐角？
想一想:复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？
（1） （2)
（3）
例2 把下列复数转化为三角形式
（1）-1；(2）; （3)
解：（1)=1,辐角主值为=,所以
—1=
（2) 辐角主值为=,所以
=
（3）,由和点在第四象限，得
，
所以=
总结:复数的代数形式化为复数的三角形式一般方法步骤是：
①求复数的模:；②由及点所在象限求出复数的一个辐角（一般情况下，只须求出复数的辐角主值即可）;③写出复数的三角形式。
例3．求复数Z=1+cosθ+isinθ（π<θ<2π）的模与辐角主值.
　　分析:式子中多个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.
　　解:Z=1+cosθ+isinθ=1+（2cos2—1)+2i·sincos=2cos(cos+isin).。.。....（1)
　　∵ π<θ<2π　∴ 〈〈π，　∴cos〈0

　　∴（1)式右端=-2cos(—cos—isin）=—2cos[cos（π+）］+isin（π+）］
∴ r=—2cos， ArgZ=π++2kπ（k∈Z）
　　∵ 〈〈π　 ∴ π<π+〈2π，　∴argZ=π+。

　例4．将Z=（π<θ<3π)化为三角形式，并求其辐角主值。
　　分析:三角形中只有正余弦,因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化。
　　解：====cos2θ+isin2θ
　　∵π<θ<3π， ∴〈2θ<6π,

　　∴π〈2θ—4π<2π，∴ argZ=2θ—4π
　例5．若Z∈c，｜Z-2｜≤1求|Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围.
　　解:法一，数形结合
　　由｜Z-2｜≤1,知Ｚ的轨迹为复平面上以（2,0）为圆心,1为半径的圆面（包括圆周),｜Z｜表示圆面上任一点到原点的距离.
　　显然1≤｜Z|≤3， ∴｜Z｜max=3, |Z｜min=1,
　　另设圆的两条切线为OA,OB，A,B为切点，由|CA|=1，｜OC|=2知
　　∠AOC=∠BOC=，∴argZ∈［0,]∪[π，2π）
　　法二:用代数形式求解|Z｜的最大，最小值,设Z=x+yi(x,y∈R）
　　则由|Z—2｜≤1得（x-2)2+y2≤1,
　　∴ ｜Z｜=≤=,
　　∵ (x-2）2+y2≤1, ∴(x-2）2≤1, ∴—1≤x—2≤1， ∴1≤x≤3，
　　∴ 1≤4x-3≤9, ∴1≤|Z|≤3。
例6．求—3-4i的平方根．
　　解法一　利用复数代数形式．设—3—4i的平方根为x+yi(x，y∈R）,则有
　　（x+yi)2=—3—4i,　即（x2-y2）+2xyi=-3—4i，　由复数相等条件，得

　　∴-3—4i的平方根是±(1-2i）．
　　法二　利用复数的三角形式．

练习：求1的立方根
例7．已知z∈C,|z｜=1且z2≠-1,则复数（　 ）
　　A、必为纯虚数　　B、是虚数但不一定是纯虚数　　C必为实数　　D、可能是实数也可能是虚数
　　［思路分析］：选择题，从结论的一般性考虑，若z=±1，显然A、B选项不成立，分析C、D选项，显然穷举验证不能得出一般结论只能推演
　　解：[法1]　设z=a+bi, a,b∈R, a2+b2=1,a≠0。
　　则===∈R，故，应选C。
　　［法2]　设z=cosθ+isinθ （θ∈R，且θ≠kπ+)，

　　则===∈R。
　　［法3］　∵z·=|z|2， ∴当|z｜=1时有z·=1，
　　∴===∈R。
　　［法4]　∵当｜z|=1时有z·=1，
　　∴ ==∈R。
　　［法5］　∵复数z为实数的充要条件是z=，
　　而(）=， 又∵｜z｜=1时,=,
　　∴ ==， ∴∈R。
例8．设x，y∈R, z1=2-x+xi， z2=y-1+(—y）i,
　　已知｜z1｜=｜z2｜，arg=， (1)求（)100=？ 　(2)设z=， 求集合A={x｜x=z2k+z-2k, k∈Z}中元素的个数。
　 (1)解：∵|z1|=｜z2｜， ∴|｜=1,

　　又arg=,　∴ =|｜（cos+isin)=i， 即z1=z2i,
　　∴ 2—x+xi=[y-1+（—y)i]i

　　即，解得 x=y=+，
　　∴ ()100=（+i）100=（—+i)50==—-i.
（2） [思路分析］：由(1）知 z=+i，z的特性：z3=—1=3, |z|=1, =; z=cos+isin， z2=w， ……,z2k+z—2k 可怎么理解呢？ （z2)k+(z2）—k， z2k+2k， ……
　　解［法1］：令w=-+i，则z2k+z-2k=wk+w-k，

　　∵w3=1,而k∈z, ∴k=
　　当k=3m时，z2k+z—2k=(w3）m+(w3）-m=2，

　　当k=3m+1时，z2k+z-2k=w3m·w+w-3m·w—1=w+w—1=w+=—1,
　　当k=3m+2时，z2k+z—2k=w3m·w2+w—3m·w—2=w2+w—2=w3·w-1+w—3·w=w—1+w=—1,

　　综上可知，集合A中有2个元素。
　　［法2]：∵|z|=1, ∴ =,

　　∴z2k+z—2k=z2k+2k=cos+isin+cos-isin=2cos
　　　 　 　　=
　　由此可判定集合A中有2个元素。
例9．设复数z=cosθ+isinθ(0<θ<π）, w=, 并且｜w｜=, argw<,求θ。（93年全国理）

　　解：w===
　　　　 =tg2θ(sin4θ+icos4θ）
　　∴ |w|=｜tg2θ| 　由|w|=得 tg2θ=±。

　　∵ 0〈θ〈π, 故有(i)当tg2θ=时，得θ=或θ=.
　　此时 w=(cos+isin),∴argw=<，适合题意.
　　(ii）当 tg2θ=-时，得θ=π或θ=π，此时,w=（cosπ+isinπ)。

　　∴argw=π〉, 不合题意,舍去，

　　故综合(i)， （ii)知，θ=或θ=.
例10：三角级数求和

解:令那么对任何自然数k，有 于是

另一方面

即
所以

思考与练习
1、利用复数推导三倍角公式
2、若复数z满足，当复数z的辐角为300时，求复数z的模.
3、已知复数, 求复数的辐角的主值.
4、设z满足,求z.