x-asinx-b型函数在构造反例中的应用_娄兆伟.pdf

收稿日期 ；修改日期 基金项目国家自然科学基金（）；江苏省自然科学基金（）作者简介娄兆伟（），男，博士，讲师，从事微分方程与动力系统研究 ：第 卷第期大学数学 ，年月 型函数在构造反例中的应用娄兆伟，袁文轩（南京航空航天大学 数学学院，南京 ）摘要利用一类由幂函数与正弦函数构成的初等函数，构造了数学分析中的许多反例，包括函数的有界性问题、单调性问题、连续性问题（含一致连续性）、可微性问题、极值问题及可积性问题（含原函数、可积性、反常积分）等问题中的反例 关键词幂函数；正弦函数；反例 中图分类号 文献标识码 文章编号 （）引言考察形如 （，均为整数）的初等函数，显然幂函数和正弦函数是其中最特殊的两种当，时，得到函数 它在处的极限是微积分与数学分析中最基本、最重要的极限之一当，时，得到函数 它有限区间内无限振荡并以为聚点鉴于这一特性，很多微积分与数学分析教材都将其作为理解函数极限不存在的典型例子文献 在函数极限及导数这两节中，研究了函数 和 的相关性质在经典习题课教材 中，有几道要求画出时函数图象的练习题特别地，在微积分与数学教材中，常把这类函数作为学习反常积分敛散性的经典例子此外，在关于数学分析中的反例的经典著作 中，也有涉及这类函数的问题众所周知，举反例是理解掌握数学分析中各种概念和结论的一种重要方式关于函数反例的研究文献很多，如由于幂函数在或附近的无界性与正弦函数的有界性、周期性及无限振荡性，使得其组合 呈现出多种奇特的性质，故其应用范围具有相当广泛性在涉及函数的有界性、单调性、连续性、一致连续性、可微性、原函数的存在性、可积性、反常积分的敛散性等问题中，很多的反例都可以用这类函数构造但目前文献并未对这类函数进行系统的论述，它们只是零散地出现在一些例题或课后题中本文将系统地给出这类函数在各种反例问题中的应用利用 型函数构造反例 有界性问题中的反例例举出一个函数例子（）使得它在的任意邻域内均无界，但当时，函数（）并不趋向于无穷大分析取 文献 给出的例子为（）.类似地，也可用正弦函数代替余弦函数，代替基本思想都是利用在处的无界性与正、余弦函数的周期性构造两个具有不同极限的数列解取 考虑函数（）（）.首先，取点列，则当 时，且（）.这表明函数（）在的任意邻域内均无界其次，令，则当 时，但（）.则（）在处极限不存在，（）不一定趋于无穷大 单调性问题中的反例例，构造一个可微函数（），使得它在某点处的导数值大于零，但它在的任何领域内都不是单调的分析利用 ，在 型函数（包括在处进行适当的连续延拓后的函数）中，在处可导且在附近导数变号的情形有，或，.这两种情形的函数在处的导数均为进一步分析计算可得如下例子解取构造函数（），.在的导数为（）（）（）.当时（）.取点列，显然，但（）（）.不难看到，在含有点的任意邻域中，导函数可以取到不同符号的值，即函数（）在这个邻域内不单调 连续性问题中的反例这里的连续性包括函数的连续性和一致连续性例（）构造仅在所有整数点连续的函数（）；（）构造仅在所有非整数有理点间断的函数（）分析利用 函数、函数的连续性质，结合正弦函数对其进行改进解（）考虑函数（），为有理数，为无理数.对整数点，由不等式 .不难得到 （）（）.所以整数点是函数的连续点对非整数点，取有理点列，（或），使得 ，则 （）.取无理点列，（或），使得 ，则 （）.由此可知，单侧极限 （）与 （）都不存在，故非整数点为不连续点第期娄兆伟，等：型函数在构造反例中的应用（）考虑函数（），（，互素且），为无理数.类似数学分析教材中对 函数情形的证明，可以得到对一切点，（），由于在非整数有理点，（），故非整数有理点为不连续点例构造有界集上的有界连续函数，但它不能连续延拓到整个实数轴上分析有界闭区间上的连续函数可以连续延拓到整个实数轴上从而这里要考虑有界开区间上的有界连续函数 受极限 不存在这一结论的启发，可构造如下例子解设，构造开区间（，）上的有界连续函数（），（，）.因极限 不存在，故函数（）无法连续延拓到整个实数轴上例构造，）上的有界连续函数，但它，）上非一致连续分析在 型函数（若为可去间断点是指连续延拓后的函数）中，一致连续的函数只有 （）和 （）两种情况 再考虑到函数在，）上的有界连续性，从而有如下例子解设正整数，考虑，）上的有界连续函数（）.下证它在，）上非一致连续取两组点列 和（，）.于是 （），但 （）（）.故（）在，）上非一致连续例举例说明两个函数一致连续，但它们的乘积未必一致连续分析首先注意函数 只有当时才是一致连续的再利用正弦函数的周期性，取两组充分靠近的有不同极限的子列，使得其对应的函数值无法充分靠近解构造（，）上的两个一致连续函数（），（），（，）.它们的乘积（）（）.下证它在（，）上非一致连续取两组点列 和 （，）.于是 （），但 （）（）（）（）.故（）（）在（，）上非一致连续 可微性问题中的反例例设函数（）在（，）上可微，举例说明由极限 （）存在未必推出它的导函数极限 （）存在分析利用余弦函数在无穷远处极限不存在选取适当的参数，使得导数中含有 .解取（），它在（，）上可微，且 （）.其导函数（）.因极限 不存在且 .故导函数极限 （）不存在.下面的例子来自 年中科院数学分析考研试题例设函数（）在，）内有界可微，试问下列命题中哪个必定成立（要说明理由），哪个不成立（举反例说明）？（）极限 （）蕴涵极限 （）；（）极限 （）存在蕴涵极限 （）大学数学第 卷分析（）利用余弦函数在无穷远处极限不存在解（）不成立 取，）上的函数（），.则 （）.显然（）在，）上有界其导函数（），.与例类似，极限 （）不存在（）成立证明略例设函数（）在开区间上可微，分别举例说明（）它的导函数（）未必连续；（）它的导函数（）未必有界分析思路与例、例类似，利用正、余弦函数的周期性及在无穷远处极限不存在解（）取（，）上可微函数（），.其导函数（），.则导函数（）在处极限不存在，从而不连续（）取（，）上可微函数（），.其导函数（），.取点列，则当 时，但 ，.故导函数（）在附近无界例 举例说明若函数（）的二阶差商的极限 （）（）（）存在，未必有二阶导数（）存在分析注意函数的不连续性蕴涵其不可微性利用（）在的不连续性导出（）的非存在性在 型函数中选择适当的，使得（）中含有 且（）为奇函数解构造闭区间，上的函数（），.其导函数第期娄兆伟，等：型函数在构造反例中的应用（），.函数（）在处的二阶差商的极限 （）（）（），但（）在处不连续，故二阶导数（）不存在 极值问题中的反例例 构造一个函数（），使得它在处取到极值，但它在处并不满足极值的第一充分条件和第二充分条件分析利用正、余弦函数的周期性及无限振荡性，在附近取两组有不同极限的子列，使得相应的函数值符号相反解取考虑函数（），.对任意，（）（），显然是极小值点函数（）在的导数为（）（）（）.当时，函数（）的导数（）（）.取点列，显然，但当充分大时，（），（）（）（）.不难看到，在的任意右邻域（）中，导函数可以取到不同符号的值，从而函数（）不满足极值的第一充分条件函数（）在的二阶导数为（）（）（）.从而函数（）也不满足极值的第二充分条件例 能否断定：若函数（）在处取到极大值，则在此点的某充分小邻域内，此函数在点的左侧递增，而在其右侧递减？分析与例 的分析类似，利用 的无限振荡性解答案是否定的，反例如下取考虑函数（）（），.对任意，（）（），显然是极大值点当时，函数（）的导数（）（）.大学数学第 卷同上述例子的分析类似，当充分小时，导数（）的符号完全由 所决定，因此，（）的图象在点（，）的两侧无限多次振荡，从而不可能单调 可积性问题中的反例这里的可积性包括原函数的存在性，函数的黎曼可积性及反常积分的敛散性例 举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数也可能没有原函数分析第二类间断点是指函数至少有一侧极限不存在的点 这启发笔者考虑 或 解（）有原函数的例子构造函数（），.其导函数（）（），.显然为（）的第二类间断点，但它有原函数（）（）没有原函数的例子 函数 利用导函数的介值性可证之例 在闭区间上有原函数但不可积的函数分析注意 可积函数必是有界函数在 型函数的导数中可出现无界函数解构造闭区间，上的函数（），.其导函数（）（），.显然（）有原函数（）但由例（）的证明过程可知（）在，上无界，故不可积例 举例说明（）在，）上连续且反常积分（）收敛时，不一定有 （）分析 型函数是反常积分中常遇到的一类函数 对于不同的参数，各种敛散性结果都可能出现对这类反常积分通常将其换化为 形式后再判定解取（）.则反常积分（）=.根据 判别法，上述反常积分收敛，但（）在，）上是无界的连续函数，且 （）不存在例 举例说明反常积分不再成立乘积可积性，即反常积分（）和（）均收敛时，不一定有（）（）收敛分析熟悉掌握 型函数的反常积分的敛散性判定，不难给出例子解取（）（）.反常积分（）与（）均收敛，但反常积分（）（）（）并不收敛第期娄兆伟，等：型函数在构造反例中的应用例 对无穷区间上的反常积分，举例说明平方可积推不出绝对收敛，即反常积分（）收敛不能保证（）绝对收敛解取（）.反 常 积 分（）收 敛，但 反 常 积 分（）不绝对收敛结论通过分析 型函数的性质，本文构造了数学分析中涉及函数各种性质的反例这类函数的构造方法具有一定的普遍性致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见 参考文献华东师范大学数学系数学分析：上册 版北京：高等教育出版社，：陈纪修，於崇华，金路数学分析：上册 版北京：高等教育出版社，：菲赫金哥尔茨微积分学教程：第一卷杨弢亮，叶彦谦，译 版北京：高等教育出版社，：谢惠民，恽自求，易法槐，等数学分析习题课讲义：上册北京：高等教育出版社，：沐定夷，谢惠民吉米多维奇数学分析习题集学习指引：第一册北京：高等教育出版社，：汪林数学分析中的问题和反例北京：高等教育出版社，：韩仲豪，孙继涛，陈兴荣二元函数极限、连续、微分之间的关系与反例工科数学，（增刊）：束立生，宋寿柏由 函数引出的微积分中若干反例工科数学，（）：高凌云从一反例谈起大学数学，（）：，（，）：，（），（，）：；大学数学第 卷