离散数学试卷及答案(25).doc

(完整word版)离散数学试卷及答案(25)

一、填空题：（每空1分，本大题共15分）
1．给定命题公式A、B，若 ，则称A和B是逻辑相等的。
2．命题公式的主析取范式为 ，主合取范式的编码表示为 。
3．设E为全集， ，称为A的绝对补，记作～A，
且～（～A）= ，～E = ，～= 。
4．设考虑下列子集
，，，
，
则A的覆盖有 ，A的划分有 。
5．设S是非空有限集，代数系统＜P（S），Ç，È＞中，P（S）对Ç的幺元为 ，
零元为 。P（S）对È的幺元为 ，零元为 。
6．若为汉密尔顿图，则对于结点集V的每个非空子集S，均有
W(G-S) 成立，其中W(G-S)是 。

二、单项选择题：（每小题1分，本大题共10分）
1．下面命题公式（ ）不是重言式。
A、； B、；
C、； D、。
2．命题“没有不犯错误的人”符号化为（ ）。
设是人，犯错误。
A、； B、；
C、； D、。
3．设，B = P(P(A))，下列各式中哪个是错误的（ ）。
A、； B、， C、； D、P(A)。

4．对自然数集合N，哪种运算不是可结合的，运算定义为任（ ）。
A、； B、；
C、； D、。
5．设Z为整数集，下面哪个序偶不够成偏序集（ ）。
A、； B、；
C、； D、。
6．任意具有多个等幂元的半群，它（ ）。
A、不能构成群； B、不一定能构成群；
C、不能构成交换群； D、能构成交换群。
7．设是一个有界格，它也是有补格，只要满足（ ）。
A、每个元素都有一个补元； B、每个元素都至少有一个补元；
C、每个元素都无补元； D、每个元素都有多个补元。
8．设为无向图，，则G一定是（ ）。
A、完全图； B、树； C、简单图； D、多重图。
9．给定无向图，如下图所示，下面哪个边集不是其边割集（ ）。
A、；
B、；
C、；
D、。
10．有n个结点，条边的连通简单图是平面图的必要条件（ ）。
A、； B、； C、； D、。

三、判断改正题：（每小题2分，本大题共20分）
1．设A，B为任意集合，不能。 （ ）
2．设R是集合A上的关系，若是对称的，则也是对称的。（ ）
3．群中可以有零元（对阶数大于1的群）。 （ ）
4．循环群一定是Abel群。 （ ）
5．每一个链都是分配格。 （ ）
6．不可能有偶数个结点，奇数条边的欧拉图。 （ ）
7．图G中的每条边都是割边，则G必是树。 （ ）
9．公式中的辖域为。 （ ）
10．公式的前束范式为
。 （ ）

四、简答题（共20分）
1．用等值演算法求下面公式的主析取范式，并求其成真赋值。

2．集合上的关系
，写出关系矩阵，画出关系图并讨论R的性质。

3．有个药箱，若每两个药箱里有一种相同的药，而每种药恰好在两个药箱中，问共有多少种
药品？

4．一棵树T中，有3个2度结点，一个3度结点，其余结点都是树叶。
（1）T中有几个结点；
（2）画出具有上述度数的所有非同构的无向图。

五、证明题：（35分）
1．符号化下列各题，并说明结论是否有效（用推理规则）。
凡15的倍数都是3的倍数，凡15的倍数都是5的倍数，所以有些5的倍数是3的倍数。
2．用推理规则证明：
├ A
3．设函数，，若是满射的，则是满射的。
4．当且仅当G的一条边不包含在G的闭迹中时，才是G的割边。
5．设是一个分配格，，令，对任意，证明：是到自身的格同态映射。

一、填空题
1．对于A，B中原子变元任意一组真值指派，A和B的真值相同。
2． 。
3．集A关于E的补集E – A ；A ；Φ；E 。
4．。
5．。
6．的连通分支数。

二、单项选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
B
A
A
B
D
B
D

三、判断改正题
1．× 可能，如。
2．× 是对称的，则不一定是对称的。
3．× 阶数大于1的群不可能有零元。
4．√。 5．√ 。
6．× 可以有偶数个结点、奇数条边的欧拉图。如图
7．× 连通图，若每条边都是割边，则G必是树。
8．× 每一个自然数不都是偶数。
9．× 的辖域为。
10．× 的前束范式为。

四、简答题
1．解：原式

∴ 使其成真赋值为：
， ， ， ， ，。
2．解：
R的关系图为
R是自反、对称的。
3．解：用个结点表示个药箱，当两种药箱放一种相同药时，则对应的两点连一条边，则得到一个无向完全图，因而所求药品数即为该图边数=。
4．解：（1）设该树树叶数为t，则树T的结点数为，又边数 = 结点数 － 1，
，∴
即 ，∵ ，∴ T中7个结点。
（2）具有3个两度结点，一个3度结点，3片树叶的树（非同构的）共有以下三种：

五、证明题
1．解：设个体域为整数集，。则命题符号化为：
，，
├
证明：（1） P
（2） ES（1）
（3） P
（4） US（3）
（5） T（2）（4）I
（6） P
（7） US（6）
（8） T（2）（7）I
（9） T（5）（8）I
（10） EG（9）
∴结论有效。

2．证明：（1）A P（附加前提）
（2） P
（3）C T（1）（2）I
（4） P
（5） T（4）I
（6）D T（3）（5）I
（7） P
（8） T（7）E
（9） T（8）I
（10）F T（6）（9）I
（11） T（4）I
（12）B T（1）（11）I
（13） T（8）I
（14）E T（12）（13）I
（15） T（10）（14）I
（16） P
（17） T（15）（16）I
∴结论有效。

3．证明：，，∵是满射，∴，使
，令 ，则 ，
∴是满射。

4．证明：必要性：设为割边，若包含在G的一个闭迹中，则从G中删去仍连通，此与是割边矛盾。
充分性：设，不包含G的任一闭迹中。假设不为割边，则仍连通，间存在一条基本回路C，于是则为一条闭迹与已知矛盾，∴为割边。

5．证明： ，
，
∴ 是到自身的格同态映射。

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