凸显角本质的学习路径研究：体验、认识角本质.pdf

2024年第4期总第93期【课堂研究】凸显角本质的学习路径研究：体验、认识角本质许佳敏1，2，林卓然2，张芳铭1，黄旭冉3，巩子坤1，4（1.杭州师范大学经亨颐教育学院，浙江杭州311121；2.浙江省杭州市第十五中学教育集团（总校），浙江杭州310013；3.永嘉县瓯北第一小学，浙江温州325102；4.杭州师范大学中国教育现代化研究院，浙江杭州311121）【摘要】凸显角本质的“角的初步认识”单元整体教学路径分为三个课时。本文研究第二课时，即体验、认识角本质的学习路径。文章通过教学实践与研讨，得到完善的学习路径：认识动态角并初识角的大小变化，感受角的大小与转动的多少之间的关系，单因素变化的动态角大小比较，多因素变化的静态角大小比较。由此，提出教学建议：借助停车杆的转动，引导学生体验、认识角本质；动静结合，层层递进设计角的大小比较任务，将角的大小比较贯彻始终。【关键词】角；角的本质；学习路径；动态角；静态角【作者简介】许佳敏，中学数学教师，主要研究方向为数学课堂教学；林卓然，中学数学教师，主要研究方向为数学课堂教学；张芳铭，在读硕士研究生，主要研究方向为数学教育；黄旭冉，小学数学教师，主要研究方向为数学教育；巩子坤（通讯作者），教授，博士生导师，主要研究方向为基础教育数学课程改革的理论与实践。【基金项目】2023 年度浙江省哲学社会科学规划课题“基于认知发展模型的义务教育教科书编写质量提升研究”（23NDJC265YB）；20212022年度浙江省高校重大人文社科攻关计划项目“建设高质量教育体系背景下义务教育教科书编写质量提升路径研究”（2023GH005）一、研究缘起为解决当前“角的初步认识”教学中未凸显角本质的问题，本研究提出了凸显角本质的“角的初步认识”单元整体教学，共分为“初识角的概念”“体验、认识角本质”“巩固、运用角本质”三个课时。在第一课时“初识角的概念”中，学生通过观察、分类和总结，初步认识了角的特征，又通过动手操作，加深了对角概念与角特征的理解（第一课时的研究文章刊载于本刊2024 年第 3 期）。基于第一课时“初识角的概念”，本文进一步提出研究问题：能帮助学生体验、认识角本质的重点教学任务是什么？围绕重点教学任务，如何构建学习路径？二、研究设计我们继续在YH小学二年级的甲、乙两个班中开展教学实践，由教师W按照本研究设计的学习路径进行备课、授课。研究方法与研究流程同“初识角的概念”，不再赘述。本文主要介绍后测问卷及数据处理。后测题目一共有4道小题（如图1），学生需要在“转动的多少”“边长的长短”“开口的方向”不同的情况下，对角的大小进行比较。图1后测题目教师对学生的作答情况进行赋分，正确记1分，错误记0分，最后统计总分。三、研究结果与分析（一）学习路径的设计与实施为探究得到完善的学习路径，本研究经历了72024年第4期总第93期多次教学设计、两次教学实践及多次教学研讨。限于篇幅，本文只呈现在乙班开展的优化的学习路径B2，如图2所示。其中，任务1包含2个子任务。子任务1.1：观察车辆进出时停车杆的变化，找出其中的角。采用生活中常见的停车杆模型，引导学生初识动态角。在学生的认知中，角往往是静态的。实际上，角的本质需要通过“转动的多少”来体现，这就需要学生先认识动态的角。在停车杆转动的过程中，恰恰能够形成学生能够发现的、动态的角。子任务 1.2：给出停车杆转动过程中形成的角，请学生说一说角大小变化的情况。子任务1.1中呈现动态角的根本目的是让学生在角动态变化的过程中初步感知“转动的多少”与“角的大小”的关系，从而感知角本质。但如果只有动态角，学生对角本质的理解就会停留在感知层面上。因此，教师需要结合静态角，才能帮助学生找到认识角本质的固着点。子任务 1.2 是优化的学习路径 B2 新增的任务。教师借助多媒体的拍照功能，在停车杆转动的过程中拍下不同时刻角的状态，将转动的过程“静态化”。接着，将拍下的静态角一一呈现，让学生说一说角的大小变化。学生通过静态角能够直观地感知角的大小变化，同时与角的动态转动过程关联，初步认识角大小变化的原因。任务2也包含2个子任务。子任务2.1：用语言描述停车杆模型中的角是如何形成的。子任务2.1的目的是让学生清楚认识到角是通过转动形成的，为子任务2.2由转动的多少体现角的大小做铺垫。子任务2.1的课堂实录如下。师：停车杆模型中停车杆是怎么变化的？生：把一条边抬起来。师：“抬起来”这个词不合适，我会以为是这样的如图3（2）。还有更好的词吗？生：竖起来。师：“竖起来”能不能像这样竖起来 如图3（3）？到底是怎么竖起来的？生：这里（指着顶点）是固定的。图3“转动”的反例教师通过给出多种反例，逐步规范学生对“转动”的认识。子任务2.2：观察停车杆从车辆不能通过到车辆刚好能通过时转动的多少，说一说转动的多少与角的大小之间的关系。子任务2.2的具体情境为停车杆转动太少导致车辆无法通行，当停车杆再往上转动一点时车辆刚好可以通过。教师引导学生将此情境中停车杆转动的多少和转动形成的角的大小对应起来（如图 4）。由此，学生在动态变化的过程中感受到角有大小，并且转动多的角大，转动少的角小。图2优化的学习路径B282024年第4期总第93期图4停车杆转动的多少与角的大小对应图任务 3：判断角的大小变化，并说明理由。（其中的角是单因素变化的动态角）如图5所示，教师通过每次改变一种影响学生判断角大小的因素，让学生观察角的变化过程，并说一说角大小变化的情况。这里，每次只改变一种因素，因此是单因素变化；角的变化过程可视，因此是动态角。由此，教师引导学生认识到只有“转动的多少”发生变化时，角的大小才会发生改变，以此排除边长、覆盖面积等不影响角大小的非本质因素。图5单因素变化的动态角此外，教师引入小弧线做标记（如图6）。小弧线可在静态角上记录动态的转动过程，以此表示角的大小。借助小弧线，学生能够透过角静态呈现的表层，感受角动态形成的过程，达到对角本质更深刻的理解。图6小弧线做标记任务4：利用小棒制作角，并比较角的大小。（其中的角是多因素变化的静态角）任务4是优化的学习路径B2新增的内容。此前，本节课更多的是教师演绎式的教学，如通过停车杆转动的情境，教师归纳出角的大小与转动的多少有关的结论。但这样的教学只是告知学生结论，淡化了学生的感知体验，学生缺乏活动经验，对角本质的认识始终“飘在空中”，无法“落地生根”。因此，教师结合第一课时“初识角的概念”的经验，新增任务4。学生首先通过用小棒摆出若干个转动大小不同、边长不同的角，感受多因素变化下角的形成与变化；其次进行角大小的比较，并验证比较结果是否正确。在这个过程中，学生会用两角重合比大小、比较哪个角转得多等方法进行比较。由此，学生积累了活动经验，加深了对角本质的认识。同时，任务3中每次仅改变一种影响角大小的因素。这是通过控制变量法引导学生一目了然地发现“转动的多少”才是本质因素。然而，一目了然也意味着这种大小比较的方法相对简单，每次干扰因素不多，对角本质的认知要求较低。这对于学生而言远远不够。因此，新增的任务4包含了在多种因素同时变化的复杂情况下比较角的大小的挑战。具体而言，学生选取小棒摆出的转动程度和边长皆不同的若干对角并固定（如图7），比较角的大小并说明理由。其中，转动程度和边长皆不同（边长不同可以是两个角之间的边长不同，也可以是一个角内的两条边的长度不同），因此是多因素变化；角是被固定的，因此是静态角。另外，之所以没有将“开口的方向”这一因素考虑其中，是因为根据第一次上课后测T4的正确率（如图8），学生已能基本排除“开口的方向”这一非本质因素。图7多因素变化的静态角由此，学生在从简单、单因素变化的动态比较逐步过渡到复杂、多因素变化的静态比较的过程中，巩固并加深对角本质的认识，并在多因素变化的比较中，深刻认识到只有转动的多少才是判断角大小变化的本质因素。（二）学习路径的教学效果与分析如前文所述，本研究首先在甲班开展了假想的学习路径B1的教学，结合专家建议与甲班后测情况，继而在乙班开展了优化的学习路径B2的教92024年第4期总第93期学。以下对甲、乙两个班的后测情况进行定量分析，并结合访谈，验证学习路径得到了改进。甲、乙两个班的得分情况如图8所示。100806040200%T1T3T4T2?图8甲、乙两个班后测得分率比较比较甲、乙两个班的成绩，发现乙班学生各题的正确率均高于甲班，尤其是T2和T3。对甲、乙两个班学生的后测得分进行独立样本t检验。通过分析整体得分可以发现，乙班学生比较角大小的正确率显著提高，对角本质的认识更加深刻。通过分析T1得分与T4得分可以发现，甲、乙两个班的学生均能意识到“转动的多少”是影响角大小的本质因素，以及排除“开口的方向”这一非本质因素，两个班在这方面的认知水平不存在显著性差异。通过分析T2得分与T3得分可以发现，乙班学生更能排除“边长的长短”这一非本质因素，并且在复杂情况（多因素变化）下比较角大小的正确率显著提高。结合以下访谈结果（F表示访谈者，S表示学生），发现大部分学生能够正确认识角本质。F：你用什么方法比较两个角的大小？S1：我是看这个小弧线。S2：是这样的，角的开口就像鳄鱼的嘴巴，谁张得大就是谁大，谁张得小就是谁小。S3：比较两个角的“斜度”。我把两个角的一边对齐，比较另一边的“斜度”。结合后测得分率与学生访谈结果，发现优化的学习路径B2能有效帮助学生突破角的非本质因素，推进对角本质的认识。另外，尽管在增加比较角大小的任务4后，学生的正确率有显著性提高，但仍有少部分学生对角本质的认识有失偏颇。例如，有学生认为角占的空间大角就大。因此，为加强学生对角本质的感受，排除角的非本质因素，推进对角本质的认识，教师应当在教学中增加多个比较任务。其中，比较的角仍然可以取自学生用小棒转动形成的角。据此修改得到完善的学习路径B3。由于实施优化后的学习路径B2在很大程度上满足了预期的学习目标，且最终完善的学习路径B3与B2相差不大，故不再详述。四、结论与建议（一）结论本研究通过多次教学设计、两次教学实践及多次教学研讨，最终得到了较为完善的“体验、认识角本质”学习路径。即首先从认识动态角出发，初识角的大小变化是由边转动的多少产生的，其次感受角的大小与转动的多少之间的关系，再进行单因素变化的动态角大小比较，最后是多因素变化的静态角大小比较。其中，关键任务是比较多因素变化的静态角，这是帮助学生将角本质的认识落实到位的过程。研究表明，本研究设计的学习路径能有效帮助学生排除角的非本质因素，推进对角本质的认识。（二）建议1.借助停车杆的转动，引导学生体验、认识角本质对学生而言，“转动的多少”比“倾斜度”“张开度”1更加直观、更易理解，且停车杆的转动是常见的生活情境。因此，教师可以引导学生观察停车杆的转动，从中抽象出角，并感受角是通过转动形成的。进而引导学生通过观察停车杆转动使车辆从不能进入到刚好能够进入的过程，体会转动多的角大，转动少的角小。由此，学生体验并认识到角的本质。2.动静结合，层层递进设计角的大小比较任务，将角的大小比较贯彻始终无动态的过程，无法认识角本质；无静态的呈现，认识无法固着。因此，教师应首先引导学生通过动态角认识角的本质是转动的多少，然后结合动态角与静态角，设置层层递进的、包含单因素变化与多因素变化的角的大小比较任务，帮助学生排除影响角大小的非本质因素，深刻认识角本质。此外，在比较的过程中也可以利用小弧线记录转动的多少。参考文献1巩子坤，江春莲，张奠宙.把握线、角的本质，沟通线、角的联系J.教育视界，2018（12）：4-7.（责任编辑：罗小荧）10