本科毕业论文---拉格朗日中值定理的应用(1).doc

本科毕业论文设计题目： 拉格朗日中值定理的应用 学生姓名： 任雯蕾 学号： 201000820223 专业： 信息与计算科学 指导教师： 范进军 学 院： 数学科学学院 1 2014 年 5 月 8 日毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）题 目拉格朗日中值定理的应用选题时间20131125完成时间201458论文（设计）字数8000关 键 词拉格朗日中值定理、应用、极限、收敛论文（设计）题目的来源、理论和实际意义：以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学地理论基础，而拉格朗日中值定理是这几个中值定理中最重要的一个，具有中值性，在微分中值定理和高等数学中有着承上启下的重要作用。中值定理的主要用于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数取极值、单调性、拐点、凹凸性等多项重要函数性态提供重要理论依据，从而可以把握函数图像的各种几何特征。总之，微分中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要工具。拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，研究其定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，是十分必要的，鉴于课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的特殊应用，并没有进行系统的总结，有鉴于此，本文将对其应用进行了深入的总结。论文（设计）的主要内容及创新：课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的特殊应用，因而本文对拉格朗日中值定理的理解进行了深入的分析，介绍了它的几种证法，并在此基础上就拉格朗日中值定理的应用进行了系统的总结。附：论文（设计）本人签名： 任雯蕾 2014 年 5 月 8 日 目 录中文摘要.1英文摘要.2引言.3一、拉格朗日中值定理及其证明.31.定理内容.3 2.定理意义.3 3.定理证明.4二、拉格朗日中值定理的应用.4 1.利用拉格朗日中值定理证明不等式.5 2.利用拉格朗日中值定理证明等式.6 3.利用拉格朗日中值定理求极限.7 4.利用拉格朗日中值定理判别级数敛散性.8 6.利用拉格朗日中值定理估值.9 7.利用拉格朗日中值定理延吉函数性态.10 8.利用拉格朗日中值定理判断根的存在性.12三、结束语.14参考文献.143 拉格朗日中值定理的应用任雯蕾（山东师范大学 ，数学科学学院， 信息与计算科学， 2010级2班）摘要：以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的重要理论基础，而拉格朗日中值定理因其中值性是几个中值定理中最重要的一个，在微分中值定理和高等数学中有着承上启下的重要作用。中值定理的主要用于理论分析和证明，例如利用导数判断函数单调性、凹凸性、取极值、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，研究其定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，是十分必要的，鉴于课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有进行系统的总结，有鉴于此，本文将对其应用进行了深入的总结。关键词：拉格朗日中值定理；应用；极限；收敛 Applications of Lagranges mean value theoremRen Wenlei(Class 2 Grade 2010 , Information and Computing Science, School of Mathematical Science, Shandong Normal University) Abstract：A group of mean value theorem which includes Rolles mean value theorem , Lagranges mean value theorem and Cauchys mean value theorem is the theoretical basis of the differential calculus. And Lagranges mean value theorem is the most important one of these mean value theorems because of its property median and continuity. Mean value theorems main function include theory analysis and proof, such as providing theoretical basis for judging function monotonicity, convexity, inflection point， and calculating extreme value by derivative, so that we can grasp the various geometric characteristic function image. All in all, differential mean value theorem is the communication bridge between the derivative value and the function value. And it is even the tool of inferring the whole nature of function by the local nature of derivative. As a structure connecting ecosystem and individuals in differential mean value theorem, it is very important to research Lagranges mean value theorems way to prove, understand and master it correctly, even keep gaining insight into its important applications. There is no special explanation about the applications of Lagranges mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. This article will give the in-depth summary.Keywords：Lagranges mean value theorem; Application; Limit; Convergence 拉格朗日中值定理的应用引言： 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式因其中值性，是微分学的重要的和基本的定理,所以统称微分中值定理，以拉格朗日中值定理作为中心，它们之间的密切关系可用示意图表示如下：罗尔定理拉格朗日定理柯西定理泰勒公式 特例 推广 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，特别是拉格朗日中值定理。因为它建立了导数值与函数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数从而研究出函数的性态。中值定理的主要用于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、凹凸性、拐点、取极值等各项重要函数性态提供重要理论依据，从而可以准确的把握函数图像的各种几何特征。总之，微分中值定理是沟通函数值与导数值之间的重要桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为其中一个承上启下的定理，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，这是十分必要的。一、拉格朗日中值定理及其证明1.定理内容： 若函数满足如下条件：在闭区间上连续；在开区间内可导；则在内至少存在一点，使。2. 几何意义： 函数在区间上的图形是连续光滑曲线弧 上至少有一点，曲线在点的切线平行于弦。如图 3.定理证明：（1）教材证法从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若在闭区间两端点的函数值相等，即，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理（如果函数满足条件：在闭区间上连续；在开区间内可导；（3）,则在内至少存在一点 ,使得）。 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。所以，我们只须对函数作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.证明：作辅助函数 显然，函数满足在闭区间上连续，在开区间内可导，而且于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点，使.即.（2）用作差法引入辅助函数法证明：作辅助函数 ，显然，函数在闭区间上连续，在开区间内可导，。因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点，使得，即 二、拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，有着广泛的应用，主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式、利用拉格朗日中值定理求极限、证明级数收敛、研究函数在区间上的性质、估值等问题。1.利用拉格朗日中值定理证明不等式例1当x0时，证明。证明：做辅助函数。 函数在定义域上可导，故对于0,有在闭区间 上连续，在开区间上可导。 则至少存在一点，使得=, 而，。 当0时，有，即， 又当时，有， 所以得证。 对于证明不等式， 关键怎样构造函数， 其后巧用拉格朗日中值定理， 画龙点睛恰到好处。例2已知0，证明。证明：做辅助函数。 由于函数在上连续可导，且， 于是当0时，在闭区间内可导， 即满足拉格朗日中值定理的条件。 所以，使得。 有（1）。 又在上单调递减， 所以当0时，有0， 即转化成(2)。 综合（1）、（2）可得成立。 综上所得当0，。 拉格朗日定理的应用使本题简化了计算量，对于构造函数也比较简单，其优势表现的淋漓尽致。2. 利用拉格朗日中值定理证明等式（包含恒等式和等式）例 3证明 恒等。证明：令， 则在时有意义，且 。 在时，（为常数）。 又取内任一点，如，有， 且，所以端点值也成立， 有推论恒等。 由拉格朗日中值定理知，函数在定义域内取两点，（不妨设）有。那么若恒为0，则有，所以，由的任意性可知，在定义域内函数值恒等。例4 设在上连续，在内可导，且，试求，使得.证明：令， 则在上满足拉格朗日中值定理条件， 故存在，使得。 由条件，可得。 再令， 则在上满足拉格朗日中值定理条件。 故存在，使得， 综合上述两式可得即。用拉格朗日中值定理证明等式也是它的应用中很重要的一项，证明的目标在于凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子，寻找机会应用。3.利用拉格朗日中值定理求极限例5 求极限 。解：分母是两式相减的情形，可构造， 易知函数在区间上是符合定理条件的。 所以，其中，当时，。 所以。在有些求极限问题当中，用常规方法很难入手，但是运用拉格朗日中值定理却可以迎刃而解，尤其是一些比较复杂的分式的极限计算问题。例6证明如果函数在R上可导，极限。证明：运用拉格朗日中值定理 于是有。 0）收敛。证明：做辅助函数，则有， 当时在闭区间上用拉格朗日中值定理得到 ， 。 由，所以原题得证。5. 利用拉格朗日中值定理估值 对于证明估值问题，尤其是二级或者二级以上的导函数估值， 一般情况下通常选用泰勒公式证明比较简便。 但是对于某些积分上的估值，可以采用拉格朗日中值定理中值定理来证明。 例9 设导函数在上连续，且有，记M=max设设导函数f(x)在a,c上连续且f(a) = f(b) = 0, 记M = 。求证：。 证明: 对任意的b a,c, 由拉格朗日中值定理可知: = = =。 令，则有， 所以，原题得证，即。例10设在上连续，且，试证。 证明：若，不等式显然成立。 若不恒等于零，使，在及 上分别用拉氏中值定理，有从而得： 。 再利用， 即得所证。6.利用拉格朗日中值定理研究函数性态 若在上连续，在内可导，则在上（若在与之间），这可视为函数的一种变形，它建立了函数与导数的关系，我们可以用它来研究有关函数性态，如函数的一致连续、单调性等.（1）一致连续例11 证明如果在上可导，且，有, 其中为常数，则在上一致连续.证明 ：，在以为端点的区间上， 有 ，且介于之间。 再利用已知条件，有 即 在 上满足Lipschitz条件， 则在上一致连续。（2） 单调性例12 试证：若函数在 上可导，单调递增，且，则函数在上单调递增。证明：对任意的，且 ，则在和上均满足 拉格朗日中值定理，于是分别存在， 使 。 由于 单调递增，且 ，所以 ， 即： ，通分移项整理得 ， 即函数在上单调递增。（3） 有界性例13设在内可导且有界，试证在有界证明：任取，有拉格朗日中值定理知： （在之间）， 可得： +， 式中是在内的界，有， 即在内有界。7. 利用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性 运用拉格朗日中值定理证明根的存在性的关键在于：构造辅助函数，运用拉格朗日中值定理或者它的特殊形式罗尔中值定理与连续函数的介值性等证明根的存在性。例14设在上可导，且对于内的所有点，有证明方程在内有唯一实根。证明：存在性：令则在上可导，又 因，且， 故由介值定理得在内至少有一个零点， 即方程在（0,1）内至少有一实根。 唯一性：设方程在内有两个实根，不妨设 则有因在上满足拉格朗日中值定理，所以至少存在一点使 。 即在内是少存在一点，使得这与题设矛盾。 所以 ， 假设不成立，即方程在内有唯一实根。例15设在可导，且对任何，都有 ，又，试证明在内，方程有唯一实根。 证明：（存在性）令在 利用零点定理易证。 （唯一性）反证法，假设有两个实根，使得。 不妨设 在 上对应用拉格朗日中值定理，有 。 这与矛盾， 故结论得证。三、结束语本文从数学分析中几个比较常用的方法出发，总结了拉格朗日中值定理的证明方法，又从高等数学中比较常用的几个方面，概述了拉格朗日中值定理的一些重要应用，以便使读者能够更好的理解和掌握拉格朗日中值定理。鉴于拉格朗日中值定理的应用是一个非常庞大的、复杂的研究课题，并且因为我自身理论、能力等诸多方面的不足，造成本文当中还有很多不足和无法涉及到的方面和内容。对于本文对拉格朗日中值定理的应用的某些相关论述所产生的不可避免的诸多不足、漏洞，恳请各位老师予以批评和改正，以使学生能够更好的进步。参考文献：1 华东师范大学数学系数学分析（第三版）（上册）M北京：高等教育出版社，2001，119-1212 华东师范大学.数学分析习题解析M陕西：陕西师范大学出版社，2004，87-913 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M. 北京: 高等教育出版社, l993.4 韩应华，姚贵平等. 微分中值定理的应用及推广J.内蒙古农业大学学报，2009,95 朱智和.微分中值定理在解题中的若干应用J. 绍兴文理学院学报，2009,126 刘坤林，谭泽光.大学数学概念、方法与技巧M.北京：清华大学出版社,2006, 67-707 沈树民微积分解题分析上M.南京：江苏科学技术出版社，2008，140.8 余庆红.中值定理的应用探讨D.西安航空技术高等专科学校学报，2007（25）：34-36.9 钱吉林.数学分析题解精粹M武汉：崇文书局，2003，61-8310 G.A.BeauchampCurriculum Theory（2nd）JPeacock Press，1986，6-611 G波利砸，涂泓译怎样解题数学M上海：上海科技教育出版社，2002，6-6.12 周焕芹.浅谈中值定理在解题中的应用J.高等数学研究，1999,2(3),30-32.13 Pullman N.J, Positive definite matrices, AmerMath MonthlyJOxford University Press, Aug 2000, 259 264 山东师范大学本科毕业论文（设计）题目审批表学院：数学科学学院(章) 系别/教研室：信息与计算 时间： 2013 年 11月 25 日课题情况题目名称拉格朗日中值定理的应用课题性质A基础研究 B基础应用研究 () C应用研究教师姓名范进军职称教授学位硕士课题来源A.科研 B.生产 C.教学 D. 学生自拟() E. 其它成果类别A.论文() B.设计主要研究内容与研究目标在文章中我首先介绍了拉格朗日中值定理及其证明，并在此基础上深入研究并系统总结了其应用，包括利用拉格朗日中值定理证明等式、不等式、求极限、证明级数收敛、证明根的存在性、估值、研究函数性态等等 指导教师（签名）： 年 月 日 选题学生（签名）： 年 月 日系所或教研室审题意见负责人（签名）: 年 月 日学院审批意见学院学位分委员会主任（签名）: 年 月 日表4（学生用）山东师范大学本科毕业论文（设计）开题报告 论文题目： 拉格朗日中值定理的应用 学院名称： 数学科学学院 专 业： 信息与计算科学 学生姓名： 任雯蕾 学 号： 201000820223 指导教师： 范进军 2013年 12 月 16 日一、 选题的性质 基础应用的性质二、选题的目的和意义 拉格朗日中值定理是微分学上的重要、基础定理之一，是沟通导数及其函数之间关系的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具，从拉格朗日中值定理的思想出发，学习构造辅助函数的方法，对于进一步学习数学有深远意义。三、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所创新的方面 研究现状：课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多学者也只是研究了某一方面的应用，并没有进行深入、系统的总结。 有所创新的方面：先给出拉格朗日中值定理的本质，深入了解拉格朗日中值定理及其证明过程，并在此基础上总结它的广泛应用及其重要作用。四、 课题研究的可行性分析 大学期间，我们学习了数学分析、数学学分析方法等课程，并在论文准备期间阅读了很多关于这方面的资料，为我在这个课题上能够获得成绩打下了坚实的基础，而且我们的这两门课程的老师都十分注重教授给同学们关于数学分析一些基础应用方面的东西，授课时给我们补充了大量的关于应用的内容，耳濡目染，使得我能对拉格朗日中值定理的应用做出十分系统的总结。五、课题研究的策略、方法和步骤 思路：首先叙述拉格朗日中值定理内容和该定理的证明，在此基础上再使用拉格朗日中值定理来求极限、证明恒等式、证明不等式、研究函数在区间上的性质、估值、证明方程根的存在性，深入理解该定理 方法：打算采用文献研究法、演绎推理、逻辑推理、反证法等多种方法步骤。 六、预期成果形式描述 预计形成8000字左右的论文七、 指导教师意见指导教师（签名）：年 月 日八、 学院学位分委员会意见 学院学位分委员会主任（签名）： 年 月 日表5（学生教师合用）山东师范大学本科毕业论文（设计）教师指导记录表学院： 数学科学学院 系别： 信息与计算 专业： 信息与计算科学 论文（设计）题目：拉格朗日中值定理的应用学生姓名任雯蕾学号201000820223指导教师范进军职称教授计划完成时间：2014-5-6指导情况纪录（含指导时间、指导内容） 范进军导师在先后几次见面中都对我提出了许多宝贵和有价值的建议，我对他的建议非常重视，并且都有仔细记录并且认真思考，我总结了一下几点：1.主要指导内容： 与学生进行初步谈话，确定论文写作的大致方向，包括涉及到的主要结构等，经过分析、帅选，确定最终的选题。 2014年1月6号2. 主要指导内容： 下达任务，知道学生根据任务书，查阅、收集、整理文献，开展调研，确定思路，并指导学生完成开题报告，同时指导学生将毕业设计（论文）题目汇总表（初选）报教务处。 2014年1月9号3. 主要指导内容： 导 学 生 论 文 初 稿 的 撰 写 和 批 改 。主 要 是 对 论 文 结 构 的 指 导，还 包 括 ：内 容 是 否 与 论 点 和 论 题 相 关，论 点 的 阐 述 是 否 完 整 ， 指 导 学 生 文 章 中 逻 辑 混 乱 的 地 方 ，并 指 导 修 改 常 见 的 语 法 错 误 和 表 述 错 误 。另 外 指 出 学 生 抄 袭 的 地 方 ，指 导 其 改 正 、重 写 。 2014年3月7号4. 主要指导内容：组织学生进行毕业设计（论文）中期检查，并完成论文第二稿的批阅和修改。主要指导学生第一稿中尚未修改的遗留问题，还包括论文中存在的其他新的问题。进一步完善论文的写作，指导学生删减和添加的部分，使其文章更加具体，完整。 2014年4月18号5. 主要指导内容： 完成论文三稿的修改和定稿工作，指导学生论文中遗留的问题，进一步审查了论文中的细节部分，包括字体大小，文章编排，指导学生仔细阅读毕业论文的格式要求，并完全按照标准完成论文。完成毕业设计（论文）的批阅、评阅，答辩资格审查和答辩安排，并将答辩安排报教务处。 2014年5月4号 指导教师（签名）： 学生（签名）：学院学位分委员会主任（签名）： 年 月 日注：本科论文（设计）的指导应不少于5次，如表格空间不足可另附页。指导教师意见（包括选题的意义，资料收集或实验方法、数据处理等方面的能力，论证或实验是否合理，主要观点或结果是否正确，有何独到的见解或新的方法，基础理论、专业知识的掌握程度及写作水平等，并就该论文是否达到本科毕业论文水平做出评价）成绩： 指导教师（签名）： 年 月 日注：成绩按优、良、中、合格、不合格五级分制计。评阅人意见（包括选题的意义，资料收集或实验方法、数据处理等方面的能力，论证或实验是否合理，主要观点或结果是否正确，有何独到的见解或新的方法，基础理论、专业知识的掌握程度及写作水平等，并就该论文是否达到本科毕业论文水平做出评价） 成绩： 评阅人（签名）： 年 月 日注：成绩按优、良、中、合格、不合格五级分制计。 答辩委员会意见（应根据论文内容和答辩情况，并参考指导教师意见、评阅人意见对论文的综合水平做出具体评价）成绩： 答辩委员会主任（签名）： 年 月 日学院学位分委员会意见 成绩： 学位分委员会主任（签名）： （公章） 年 月 日注：成绩按优、良、中、合格、不合格五级分制计。表6（学院用）山东师范大学本科毕业论文（设计）答辩记录表学院： 数学科学学院 （章）系别： 信息与计算 专业： 信息与计算科学 论文（设计）题目：拉格朗日中值定理的应用学生姓名任雯蕾学 号201000820223指导教师范进军职 称教授答辩时间2014年5月16日答辩地点答辩委员会名单姓 名性别职 称职 务其它刘茜女副教授主任肖新玲女讲师委员宋丽叶女讲师秘书范进军男教授委员答辩记录： 记录人（签名）： 答辩委员会主任（签名）： 年 月 日 年 月 日山东师范大学本科毕业论文（设计）摘要学院： 数学科学学院 专业： 信息与计算科学 班级：2班姓名任雯蕾学号201000820223指导教师范进军论文（设计）题 目拉格朗日中值定理的应用关键词拉氏中值定理、应用、极限、收敛论文（设计）字数8000内容摘要：以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一整组中值定理是整个微分学重要的和基本的理论基础，而拉格朗日中值定理因其中值性是这几个中值定理中最重要的一个，在微分中值定理和高等数学中具有承上启下的重要作用。中值定理的主要用于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、凹凸性、取极值、拐点等项重要函数性态提供了重要的理论依据，从而可以准确把握函数图像的各种几