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(完整word)泰勒公式在证明不等式中的几个应用
泰勒公式在证明不等式中的几个应用

摘 要：泰勒公式作为一种重要的数学工具,无论对科研还是在证明、计算等方面，它都起着很重要的作用。特别在高等数学范畴内，灵活运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩等是解决不等式证明问题的常用方法与思想。本文主要通过对各类典型不等式证明问题的分析处理，归纳了用泰勒公式来证明有关定积分不等式问题、含有初等函数与幂函数的不等式和一般不等式问题，以及泰勒公式在一元函数、二元函数不等式中的推广、证明与应用.
关键词：泰勒公式；偏导数；不等式

引言
泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。泰勒公式的重点就在于使用一个次多项式,去逼近一个已知的函数，而且这种逼近有很好的性质：与在点具有相同的直到阶的导数.所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓.泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用。文献[3—6]介绍了运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想。本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳,总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法.
1 泰勒公式知识的回顾：
定理1[1] 设函数在点处的某邻域内具有阶导数，则对该邻域内异于的任意点，在与之间至少存在一点，使得：
=++++ +，
其中称为余项，上式称为阶泰勒公式；
若0,则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式,
即= +++++.
2 泰勒公式在证明不等式中的应用
不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一,它反映了各变量之间很重要的一种关系即他们之间的大小关系。不等式的内容也极其丰富，证明方法很多，而泰勒公式在证明不等式问题中起着举足轻重的作用。
2.1 泰勒公式在证明有关定积分不等式问题的应用
对于被积函数具有二阶或二阶以上连续可导，且又知最高阶数符号的命题.通过作辅助函数，将在所需点处（一般根据右边表达式确定展开点)进行泰勒展开或直接写出的泰勒展式，然后根据题意对展开式(余项）作适当处理（一般是利用介值定理或放缩技巧）。
例1[2］ 设在上单调增加，且＞0,
证明 ：＜.
题设条件告知二阶可导且＞0，由于高阶导数的存在，提示我们尝试使用泰勒公式.因为不等式左边被积函数是，右边有、，我们不妨对，将在点x处展开为泰勒公式，再令，进而找出与、的关系。
证明 对，在点处的一阶泰勒展开式为：
=++，其中在与之间，
∵ ＞0， ∴ ＞+ <1〉
将，分别代入〈1〉并相加，得
＞+－ <2〉
对<2〉的两边在上积分，则
＞+ －
＞+—
＞
故＜.
在证明有关定积分不等式问题时，有时还需构造函数，然后通过泰勒公式与介值定理的结合使用，可以在不等式证明问题中达到事半功倍结果明朗化的效果。
例2[3］ 设在上二阶连续可微,其中＜＜，则在该区间上存在一个，使得：
=——［—]+。
题设条件告知二阶可微,且题中含有，提示可用泰勒公式证明。
又因为含有，可构造函数展开为二阶泰勒公式，注意证明过程中与介值定理的结合使用。
证明 令,将在 (≤≤）处展成二阶泰勒公式:
+++,在与之间，即+++ 〈3〉
令，则有<3〉可得:
+（-）++ 〈4〉
〈3〉－<4〉得
-——-
令｛，｝， ｛,｝，
并且＞
则有≤≤ （),因为在上连续,由介值定理知存在，使得
所以=--［—］+。
泰勒公式不但在证明连续函数的不等式问题中起重要作用，同样在证明某一定点的不等式问题中也发挥着很大作用.
例3[4］ 设其中函数[,1]上具有二阶导数，且满足条件≤，≤，其中，都是非负数，是（，1）上任意一点，试证明：≤。
由于在[，1］具有二阶导数，可考虑利用在的一阶泰勒公式.
证明 由于在［0，1]上具有二阶导数,在的一阶泰勒公式:
〈5〉
其中+,0<〈1，
在〈5>中令=，则有： (〈〈〈1）
在<5〉中令=1，则有: (<〈〈1）
将上述两式相减，得
于是≤ ≤,
又因，≤,
故 ≤.
从上述几例可以看出,使用泰勒公式去证明关于定积分不等式问题，我们可以遵循以下几个步骤：
〈1〉高阶(二阶及二阶以上）导数的存在是提示使用泰勒公式最明显的特征之一；
（2）找一个函数，选一个展开点，然后写出在处的泰勒公式；
（3）对 进行放缩或或与介值定理结合使用.
2.2 泰勒公式在证明关于初等函数和幂函数不等式中的应用
对于欲证不等式中含有初等函数、三角函数、超越函数与幂函数结合的证明问题,要充分利用泰勒公式在时的麦克劳林展开式,选取适当的基本函数麦克劳林的的展开式,对题目进行分析、取材、构造利用。
例4[1］ 证明不等式:≤.
不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数,两边无明显的大小关系 .这时我们可用在的二阶麦克劳林公式表示出来，然后进行比较判断两者的大小关系。
证明 ，,,,
，，,
当时，的泰勒展式为：
≥0 (≥0, ≤，0＜＜1)
所以≥0,，有 ≤.
在含有无理函数与幂函数结合的不等式证明问题中，它们之间没有明显的大小关系。如果用常规方法(放缩法、比较法，代换法等），我们很难比较它们之间的大小关系，但这时用泰勒公式却能轻易解答.
例5［1］ 证明不等式：＜，（＞0）.
对于此题,若我们对不等式两边同时平方,虽可以去掉根号，但的次数却提高了次，这还是难以比较他们之间的大小关系，但若用泰勒公式却可以轻易解答。
证明 设,则，,，
,，
代入=0的二阶泰勒公式，有
=1+— + （0＜＜1）
∵ ＞0, ∴ ＞0
所以 ＜(x＞0）。
对于含有超越函数与幂函数结合的不等式证明,由于我们接触很少,看不出它们之间的大小关系,更不知如何去分析比较，但这时泰勒公式将是对付这类题的最有效武器.
例6［5] 证明不等式：＜＜，其中＞0.
证明 令 ,由一阶麦克劳林公式知:
+ + ，(）
所以 ＜x, 再有二阶麦克劳林公式知：
+x++, 其中
从而 ＞,
故 ＜＜，（＞0）。
在不等式的证明问题中，若题目中出现了一阶导数、二阶导数、初等函数、三角函数或超越函数等与幂函数结合时，可优先考虑泰勒公式在=0时的麦克劳林表达式.当然能做好此类题的前提条件是要对一些基本函数的麦克劳林表达式熟悉。
2。3 泰勒公式在证明一般不等式中的应用
对题设条件中函数具有二阶和二阶以上导数,且最高阶导数的大小或上下界可知的命题，我们一般通过以下三个步骤证明：
〔1〕写出比最高阶导数低一阶的泰勒展开式；
〔2〕恰当选择等式两边与（不要认为展开点一定以为最合适,有时以为佳）；
〔3〕根据所给的最高阶导数的大小或边界对展开式进行放大或缩小.
例7[8] 设在上连续,在（ ,）内可导，且有≤M，。
试证：M≥.
题目已经告知连续可导，且最高阶导数有界，故可用泰勒公式证之。
证明 由泰勒公式及，有 － ,
（ ,）. 由于≤M，可得≤M，于是
≤MM≤
故 ≤, 即M≥。
但有些题目却从反方向来考查泰勒公式在证明一般不等式问题时，函数所具备的最高阶导数的有界性，即不给出最高阶导数的边界，让我们通过题目条件去证明最高阶导数的边界.
例8[1] 证明:若函数在上存在二阶导数，且，则在（ ，)内存在一点，使得≥。
题目告知函数二阶导数存在，欲证最高阶导数有界，所以可用泰勒公式证明.
证明 将分别在和处展开一阶泰勒公式,并利用，有：
+， ＜＜， <6>
+ , ＜＜， <7>
由〈6〉－〈7〉，得：

令{，｝，则:
≤≤2
故有 ≥。
从上述几例我们可以看出，若欲证明的不等式或题设中，含有一阶以上的导数时，一般用泰勒公式证明比较方便.
3 泰勒展开式在一元函数、二元函数不等式中的推广应用与证明
泰勒展开式在一元函数、二元函数不等式中也扮演着重要角色,只要在附近二阶可导,那么泰勒展开式可以推广为以下两种类型：
定理1［7］ 设函数在点附近二阶可导,则
<1> 若＞0,具有≥；
〈2> 若＜0，具有≤；
等号在时成立。
对于定理1的证明，利用一元函数的泰勒展开式，结论显然成立。
下面我们利用定理1，对下面两个初等不等式作出证明。
例9［8］ 证明：设，≤，n≥2.
证明 设 ,则，,
有定理1知：≤+，
≤+
两式相加即得结论.
例10［9］ 设，=1，2, ，，，≥2.
求证：+ ++≥
证明 作函数，=()，则，，
注意到，有＞0，利用定理1，取，有
≥+，
≥+，
… … … …
≥+。
以上式相加即得结论。
上述是泰勒公式展开式在一元函数不等式中的应用，当然对于二元函数，我们也有以下类似的定理：
定理2[10] 若函数,在D上具有连续的二阶偏导数，且满足:
≥0，≥0
则： ≥+
证明 二元函数的泰勒公式：

因为≥0，—≥0,
所以 ≥，
故有 ≥+。
在定理2中，若令可以很容易得到如下推论：
推论 如果函数,在D上具有连续的二阶偏倒数，且满足：
≥0，≥0
则对于D中的任意取值， ，， ，,，，有
≤
例11 设， ，， ，为实数，,，,为正数，则有
++≥
证明 设，则
且 >，, 满足条件，所以
++≥≥
推论不但在证明函数不等式问题中可以使用，在一般的含有字母或数字不等式的证明问题中也可以使用,只是在证明的过程要构造一个二元函数,然后再利用推论.
例12 设为正数,且满足,
求证： ++≥
证明 分子变换为1=，右边，构造与是上例相同函数，它满足推论条件，于是有 左边≥3≥=,
故此题得证。
利用上述两个定理和推论，一般要构造合适的一元函数或二元函数，然后观察所构造的函数与题目中条件，是否满足上述定理和推论所具备的条件。
结论
泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它象一根丝线连接着高等数学的许多知识版块和知识点，且在许多方面有着广泛的应用。本文主要通过论述与举例，阐述了如何灵活地运用泰勒公式,去解决一些不等式证明中用其它方法较难解决的问题。但在运用泰勒公式时需要注意一个问题是：将函数展开至多少项才可以呢？ 从上面所给的例题中不难看出，只要展开至比题目所给的函数的导数阶数少一次，然后根据题设条件恰当选择展开点即可.由于本人知识掌握的还不够全面系统，仅能总结归纳出以上几个方面,在今后的学习与探讨研究过程中,还可能会发现利用泰勒公式来解决其他典型不等式的例子。

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致谢

本文在完成过程中得到马晓娜老师的悉心指导和帮助，特此表示感谢.

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