放缩法在不等式证明中的应用毕业设计.doc

存档编号 赣 南 师 范 学 院 学 士 学 位 论 文放缩法在不等式证明中的应用教学学院 数学与计算机科学学院届 别 2014届 专 业 数学与应用数学 作者声明本毕业论文（设计）是在导师的指导下由本人独立撰写完成的，没有剽窃、抄袭、造假等违反道德、学术规范和其他侵权行为。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。因本毕业论文（设计）引起的法律结果完全由本人承担。毕业论文（设计）成果归赣南师范学院所有。特此声明。作者专业：数学与应用数学作者学号：100700039作者签名：2014年 月 日放缩法在不等式证明中的应用The zoom method in the application of the inequality proof 2014年5月 日目 录内容摘要1关键词1Abstract1Key words1序言22放缩法的应用依据-不等式的基本性质22.1 不等式理论依据.22.2 不等式的传递性22.3 利用绝对值不等式的性质22.4 利用均值不等式的性质33放缩法在不等式中的应用43.1放缩的基本类型43.1.1舍添一些恒正或恒负的项43.1.2 适当地将分式的分子（或分母）放大或缩小53.1.3 利用基本不等式53.1.4 利用函数的单调性63.1.5 利用二项式定理进行适度地放缩63.2 放缩的目的63.2.1有利于约分63.2.2 有利于差分73.2.3 有利于消元83.2.4 有利于运用公式84如何进行适当地放缩95总结10参考文献11赣南师范学院2014届本科毕业论文(设计） 2 摘要 ：放缩法是不等式证明中一种很精细、很巧妙的证明方法，但是，如何快速、有效地进行放缩这是我们数学学习者必须要掌握的内容，以及如何灵活、适度地进行这是我们研究学习的重难点.关键词：放缩法;不等式 ;证明 ;方式 ;目标 ;适度 Abstract：Scaling is a very fine, very clever method of proof, proof of inequality but, how to fast, effectively scaling this is our mathematics learners must master the content, as well as how flexible, reasonably this is heavy and difficult we studyKeywords: scaling; inequality; prove; target; moderate11.序言不等式在数学学科中占有重要的地位，特别是不等式的证明，因此，学会灵活地运用其证明不等式是我们学习的重点，在不等式的证明中，我们往往遇到从直接给出的已知条件是很难以证明的，这时如果我们对式子进行放大或缩小，使问题发生相应的变化，这样就使问题得以解决，我们称这种方法为放缩法.清楚地说放缩法就是在证明不等式中，利用不等式的传递性，作相应的放大或缩小，证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明，放缩法的目的性很强，在利用放缩法中，其要求很高，在运用时必须要恰到好处，否则不能达到目的，至于放缩法适用于哪种不等式，这没有明确的规定，这需要我们在学习过程中认真总结、归纳.2. 放缩法应用的依据不等式的基本性质。2.1理论依据：（1）不等式的传递性：如果AC,CB,那么AB；（2）等量加不等量为不等量； （3）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法.2 赣南师范学院2014届本科毕业论文(设计）2.2 不等式的传递性：若则 我们常常说借别人的东西，就是借别人的东西来使用，在不等式的证明中我们也使用到，当我们不能直接证明AC时，我们可以借助B，让它起到连接A和C的作用，我们可以先证存在B，使得证AB,BC,这样我们就得出AC，这就是不等式的传性的运用 例：已知，且，求证： 证明： 2.3 利用绝对值不等式的性质： 在数学证明里，证明两个数（式子）的大小方法很多，如作差法，作商法法，分析法等，当这些方法难以证明时，特别是在绝对值不等式中时，我们可以利用我们学过的绝对值不等式的性质进行证明. 例：已知且，求证： 证明： 所以我们知道任何数的平方都大于或等于0，即，化简得，即任何两个数的平方之和大于或等于他们积的2倍，而在均值不等式中，因为且与同号，所以要满足上述公式，可知，下面我们谈谈其性质2.4 利用均值不等式的性质：若，则. 例：若，且，求证： 证明： 所以 4赣南师范学院2014届本科毕业论文(设计）3.放缩法在不等式中的应用3.1 放缩的基本类型3.1.1 舍添一些恒正或恒负的项 为了往不等式的解靠近，我们在不能直接解题的情况下，我们可以将式子添加（或减去）某些正项或者负项，这样就能使式子放大或缩小.例：证明级数收敛.证明：当时，有而，所以， ，于是，对，只须，当时，根据柯西收敛准则知收敛3.1.2 适当地将分式的分子（或分母）放大或缩小 在分式中，如果分母不变、分子变大（或变小）则值变大（或变小）；反之，如果分子不变、分母变大（或变小）则值变小（或变大），这是我们在放缩过程中应该掌握的结论.45赣南师范学院2014届本科毕业论文(设计）例：已知，求S的整数部分证明：由，知道(1); ,由（1）、（2）知S=1653.1.3 利用基本不等式 放缩是没有固定的方式，这要看情况而选，在选择时重要的还是根据题意所给的条件来决定的，如下是选择利用不等式的性质来进行放缩例：已知，求证：证明：因为，所以 所以 所以 3.1.4 利用函数的单调性 我们已经学习了函数的单调性，知道单调函数具有增减性，而其增减性正相似于放缩法里面的放大或缩小，其实放大就是往右移动，缩小就是往左边移动.例：已知各项为正数的数列满足，求证：证明：（1）当时，由已知有，于是，所以，因为，所以，即当时不等式成立 （2）假设时不等式成立，即，由已知有，因为，所以在上单调递增，所以，即当时不等式成立，综合（1）、（2）知，对时不等式都成立3.1.5 利用二项式定理进行适度地放缩 在不等式的证明中，如果正面不能进行的话，我们要想到作一些相应的变形，使题目变成我们熟悉的公式或恒等式.如二项式定理在不等式证明中的应用例：设，且，求证：证明：令，则，即证，因，故，所以结论得证，即3.2 放缩的目的 在运用放缩法证明不等式时，我们一定要认真审题，我们应该明白我们应该怎么放缩，这样放的目的是什么，这就是放缩过程中的重要性，如：3.2.1 有利于约分 我们知道放缩法就是放与缩的过程，重要的是我们如何放和缩，使它达到我们要证明的问题，像在分式中，如果式子不能直接化简，我们可以给式子放或缩，使它能够含有公因式这样就可以约去公因式达到化简，明白的说就是让分母不变、分子变大（或变小）使其值变大或变小；反之，让分子不变、分母变大（或变小）使值变小（或变大，）. 如下题 就是利用分母变小，使值变大的放缩. 例：证明： 证明：因为 因此，对，只要，即，取，当时，有，即所以3.2.2 有利于差分 数学是很讲究技巧的，表面上有些式子是无法求出来的，但是，如果我们7赣南师范学院2014届本科毕业论文(设计）认真审题，找出题意的本质，我们就会发现它里面蕴含着很大的秘密或技巧，例如，的结果我们可以通分很快就可以算出来，但是，甚至时我们该怎么求呢？我们知道他们他们各子分数都是可以拆开的，当他们拆开时我们发现中间两项之和刚好等于0，最后只剩下首尾两项.下面我们再看一题 例：证明数列收敛，其中 证明：对，取，当时， 所以 3.2.3 有利于消元 我们知道解题的过程就是化简，使问题由繁化简，由难化易，当由已知8赣南师范学院2014届本科毕业论文(设计）件无法化简时，我们可以给问题进行适度地放缩，使得问题能够化简消元，使问题得以解决. 例:证明级数的敛散性 证明：取，则不论取多大，若令，则有，根据柯西收敛准则之知级数发散3.2.4 有利于运用公式 数学里面我们学习了很多数学公式，但是我们应该如何运用这些公式呢，这要具体问题具体分析，我们要认真地审题，题目的意思跟哪个公式比较接近，然后把我们所要求的问题向所需要的公式靠拢，使问题得以解决. 例：证明： 证明：对任意的实数，有，即，这就等价于求一元二次方程的解的问题，要满足上述条件，我们知道判别式要小于或等于零，即，化简得，所以结论得证.84.如何进行适当地放缩- 1 -9赣南师范学院2014届本科毕业论文(设计）运用放缩法证明不等式的确是一种很巧妙的证明方法，但是才能如何做到快速、有效地放缩，即应该放多大，缩多小，这是我们在利用放缩法选择证明不等式时要认真考虑的事情，需要我们在学习过程中进一步地探讨. 例1： 求证：分析：由通项，知，可这样放缩显然达不到目的，这里无疑是放得太大了，若由通项，经检验可以达到证明的目的.证明：由通项，所以 （无穷等比数列），即.例2:：求证： 分析：由通项（1） （2）（A）由（1）有 ，显然放缩过大.（B）若适当地保留某一项（这里保留一项），得，放缩正确（C）由（2）有，显然放缩过小（D）若适当地保留某一项（这里保留一项），得，知放缩正确.综合上述，联合（B）、（C）得证，即5.总结放缩法是一种有意识地对相关的数或者式子的取值进行放大或缩小的方法。如果能够灵活掌握运用这种方法,对比较大小、不等式的证明等部分数学试题的解题能起到拔云见雾的效果,在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段. 尤其针对竞赛问题,是一种解决问题的很好方法,所谓放缩法就是利用不等式的传递性,对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程,在使用放缩法证题时要注意放和缩的度,否则就不能同向传递了,此法既可以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重要骤 。注意事项：1）放缩的方向要一致；2）放与缩要适度； 3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）；4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不须深入。参考文献101 普通高中课程标准实验教科书.数学5（必修）M.人民教育出版社,2004.2 马华祥.“放缩法”的基本策略J.数学教学通讯，2003(176):48-49.3 华东师范大学数学系编.数学分析.下册M.第三版,2001:1-5.4 罗春宗.巧用放缩法证明不等式J.南平师专学报,1996(2),自然科学报:47-50.5 田庆梅.用放缩法证明不等式J.太原科技，2001(3):42-43.6 程涛,曹建莉.高等函授学报（自然科学版）,2010, 23(6)7 谢湘莲.湖南教育：(下旬),2011(7)8 高军 . 数学教学通讯,2013,(18)9 余文状.中学教学参考,2012, (29)10 李忠.语数外学习（数学教育）,2013, (8)11