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浅谈放缩法在不等式证明中的应用 篇一：放缩法在不等式的应用论文 放缩法在不等式的应用 所谓放缩法确实是利用不等式的传递性，对照证标题的进展合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要留意放和缩的“度”，否那么就不能同向传递了，此法既能够单独用来证明不等式，也能够是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满考虑性和挑战性，能全面而综合地调查学生的潜能与后继学习才能，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类征询题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的构造，深化剖析其特征，抓住其规律进展恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一. “添舍”放缩 通过对不等式的一边进展添项或减项以到达解标题的，这是常规思路。 例1. 设a，b为不相等的两正数，且abab，求证1ab 3 3 2 2 2 2 2 2 2 4。 证明：由题设得aabbab，因而（ab）aabbab，又ab0，得ab1，又 ab 1（ab），而（ab）ababab1（ab），即3（ab）ab，因而ab42 2 2 2 ， 故有1ab 。 例2. 已经明白a、b、c不全为零，求证： a?ab?b?b2?bc?c2?c2?ac?a23（a?b?c） 2 22 a?ab?b?（a?b）?b2（a?b）?a?a?，同理 22 证明：由于 b?bc?c2b?c，c?ac?a2c?。 2 a?ab?b?b?bc?c?c2?ac?a3（a?b?c） 2 因而 二. 分式放缩 一个分式假设分子变大那么分式值变大，假设分母变大那么分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数那么分式值变大，利用这些性质，可到达证标题的。 例3. 已经明白a、b、c为三角形的三边，求证：1 abc2 。 a?ca?b 证明：由于a、b、c为正数，因而 b，因而 abcabc1，又a，b，c为三角形的边，a2aa为真分数， 那么 b?ca?b?c，同理 故b+ca，那么 b2bc2c ， a?ca?b?ca?ba?b?c 故 abc?2. abc2 。 a?ca?b 综合得1 三. 裂项放缩 假设欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采纳数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已经明白nN*，求1? 12 ? 1? 1n 2n。 证明：由于 1n ? 2n?n 2n?n?1 ?2（n?n?1），那么1? 12 ? 13 ? ? ，证毕。 1n 1?2（?1）?2（3?2）?2（n?n?1）?2n?12n n(n?1)(n?1)2 例5. 已经明白n?N且an?2?2?3?n(n?1)，求证：对?an? 22 * 所有正整数n都成立。 证明：由于 n(n?1)?n2?n，因而an?1?2?n? n(n?1)， 2 又 n(n?1)? n(n?1) ， 2 n(n?1)351?22?32n?1(n?1)2 ?因而an?，综合知结论成立。 2222222 例6 设数列an满足a1?2,an?1?an? 1 (n?1,2,?). （）证明an?2n?1对一切正整数an （）令bn?n成立；题） ann (n?1,2,?)，断定bn与bn?1的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22） 简析 此题有多种放缩证明方法，这里我们对（）进展减项放缩，有 法1 用数学归纳法（只考虑第二步）a2k?1 2 ?ak?2? 1 ?2k?1?2?2(k?1)?1； 2ak法2 a 2 n?1 2?an?2? 1222 ?a?a?2,k?1,2,?,n?1. ?a?2k?1kn2 an 那么an 2 2 ?a12?2(n?1)?an?2n?2?2n?1?an?2n?1. 利用已经明白的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。 2 n(n?1)(n?1)例7 设Sn?2?2?3?n(n?1).求证?Sn?. 22 解析此数列的通项为ak ?k(k?1),k?1,2,?,n. n 1k?k?11，n ?k?(k?1)?k?k?Sn?(k?)， 222k?1k?1 2 n(n?1)n(n?1)n(n?1)即?Sn?. 2222 注：应留意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式?a?b，假设放成 2 2 (n?1)(n?3)(n?1)，就放过“度”了！ (k?1)?k?1那么得Sn?(k?1)? 22k?1 n 按照所证不等式的构造特征来选取所需要的重要不等式，这里 a?an ?a1?an?1? 11n?a1an n 2 a12?an n 其中，n?2,3等的各式及其变式公式均可供选用。 例8已经明白a,b为正数，且（88年全国联赛题） 简析 由 1111ab ?1得ab?a?b，又(a?b)(?)?2?4，故ababba 0n1n?1rn?rrnn ab?a?b?4，而(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab?Cnb， 1n?1rn?rrn?1 f(n)?(a?b)n?an?bn，那么f(n)=Cnab?Cnab?Cnabn?1，i n?i ，倒序相加得?Cn 令 由于Cn 1rn?1 2f(n)=Cn(an?1b?abn?1)?Cn(an?rbr?arbn?r)?Cn(abn?1?an?1b)， n 2 而a n?1 b?ab n?1 ?a n?r b?ab rrn?r ?ab n?1 ?ab?2ab?2?4?2n?1，那么 n?1nn 1rn?1 2f(n)=(Cn?Cn?Cn)(arbn?r?an?rbr)?(2n?2)(arbn?r?an?rbr)?(2n?2)?2n?1，因而f(n)?(2n?2)?2n，即对每一个n?N?，(a?b)n?an?bn?22n?2n?1. 2利用有用结论 例9 求证(1?1)(1?)(1?)?(1? 13151 )?2n?1. 2n?1 简析 此题能够利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质b?b?m(b?a?0,m?0)可得 aa?m 2462n3572n?11352n?1?(2n?1) 1352n?12462n2462n 2n?1 ?(2?4?6?2n)2?2n?1即(1?1)(1?1)(1?1)?(1? 135 35 1 )?2n?1. 2n?1 法2 利用贝努利不等式 (1?x)n?1?nx(n?N?,n?2,x?1,x?0)的一个特例 (1? 1)得 121(此处 n?2,x?)?1?2? 2k?12k?12k?1 1? nn12k?112k?1 ?(1?)?2n?1. k?12k?12k?12k?1k?12k?1 注：例9是1985年上海高题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科；进展升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是： 证明(1?1)(1? 111 )(1?)?(1?)?3n?1.(可考虑用贝努利不等式n?3的特例) 473n?2 1?2x?3x?(n?1)x?a?nx 例10 已经明白函数f(x)?lg,0?a?1,给定n?N?,n?2. n 求证： f(2x)?2f(x)(x?0)对任意n?N?且n?2恒成立。（90年全国卷压轴题） 简析 此题可用数学归纳法证明，详参评分标准；这里给出运用柯西（Cauchy）不等式 n n n ?(aibi)?a 2 i?1 i?1 2 i ?b i?1 2i 的简捷证法： f(2x)?2f(x)?lg 1?22x?32x?(n?1)2x?a?n2x1?2x?3x?(n?1)x?a?nx ?2lg nn ?1?2x?3x?(n?1)x?a?nx2?n?1?22x?32x?(n?1)2x?a?n2x 而由Cauchy不等式得(1?1?1?2 x ?1?3x?1?(n?1)x?a?nx)2 ?(12?12)?1?22x?32x?(n?1)2x?a2?n2x(x?0时取等号) ? n?1?22x?32x?(n?1)2x?a?n2x（?0?a?1），得证！例11 已经明白a1?1,an?1?(1? 11 )a?.(I)用数学归纳法证明an?2(n?2)；(II)对n2n n?n2 （05年辽宁卷第22题） ln(1?x)?x对x?0都成立，证明an?e2（无理数e?2.71828?）解析 (II)结合第(I)征询结论及所给题设条件ln(1?x)?x（x ?0）的构造特征，可得放缩思路： an?1?(1? 1111 ?)a?lna?ln(1?)?lnan? nn?1 n2?n2nn2?n2n 1111 ?lnan?2?n。因而lnan?1?lnan?2?n， n?n2n?n2 n?1i?1 ? 即lnan (lnai?1?lnai)? i?1 n?1 1 1?()n?1 111112(2?i)?lnan?lna1?1?2?n?2. nn2i?i2 1?2 ?lna1?2?an?e2. ?0）为一有用结论，能够起到提示思路与探究放缩方向的 注：标题所给条件ln(1?x)?x（x作用；因而，此题还可用结论2n ?n(n?1)(n?2)来放缩： 111 )(an?1)? )an?an?1?1?(1? n(n?1)n(n?1)n(n?1) 11 ln(an?1?1)?ln(an?1)?ln(1?)?. n(n?1)n(n?1)an?1?(1? ?ln(ai?1?1)?ln(ai?1)? i?2 i?2 n?1 n?1 11 ?ln(an?1)?ln(a2?1)?1?1， i(i?1)n 即ln(an ?1)?1?ln3?an?3e?1?e2. 1111 ?log2n,n?N?,n?2.log2n表示不超过log2n 的最23n2 例12 已经明白不等式 大整数。设正数数列an满足：a1 ?b(b?0),an? nan?1 ,n?2. n?an?1 求证an? 2b ,n?3.（05年湖北卷第（22）题） 2?blog2n 简析 当n ?2时an?nan?1?1?n?an?1?1?1，即 n?an?1anan?1an?1n nn 111111 )?. ?(? akak?1anan?1nk?2k?2k 因而当n ?3时有1?1?1log2n?an? an a1 2 2b . 2?blog2n篇二：放缩法在不等式证明中的应用 放 缩 法 在 不 等 式 证 明 中 的 应 用摘要 放缩法是不等式证明中一种特别精细、特别巧妙的证明方法，但是，如何快速、有效地进展放缩这是我们数学学习者必需要掌握的内容，以及如何灵敏、适度地进展这是我们研究学习的重难点. 关键词：放缩法;不等式 ;证明 ;方式 ;目的 ;适度 Abstract Scaling law is the inequalities in a very sophisticated and very clever that way, but how quickly, efficiently scaling this is our mathematics learners have to master the content, and how flexible, appropriate manner that is The weight of learning difficulties. Key words: Scaling law;Inequality;Prove;Manner;Target;Moderation 目 录 第一章 引言1页 第二章 不等式的根本性质及其应用2页 2.1 不等式的传递性 2页 2.2 利用绝对值不等式的性质 2页 2.3 利用均值不等式的性质 3页 第三章 放缩法在不等式中的应用4页 3.1放缩的根本类型 4页 3.1.1舍添一些恒正或恒负的项 4页 3.1.2 适当地将分式的分子（或分母）放大或缩小4页 3.1.3 利用根本不等式5页 3.1.4 利用函数的单调性5页 3.1.5 利用二项式定理进展适度地放缩6页 3.2 放缩的目的 6页 3.2.1有利于约分 6页 3.2.2 有利于差分7页 3.2.3 有利于消元7页 3.2.4 有利于运用公式8页 第四章 如何进展适当地放缩9页 第五章 11页 参考文献 12页 致谢 ; 第一章 引言 不等式在数学学科中占有重要的地位，特别是不等式的证明，因而，学会灵敏地运用其证明不等式是我们学习的重点，在不等式的证明中，我们往往遇到从直截了当给出的已经明白条件是特别难以证明的，这时假设我们对式子进展放大或缩小，使征询题发生相应的变化，如此就使征询题得以处理，我们称这种方法为放缩法.明晰地说放缩法确实是在证明不等式中，利用不等式的传递性，作相应的放大或缩小，证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明，放缩法的目的性特别强，在利用放缩法中，其要求特别高，在运用时必需要恰到好处，否那么不能到达目的，至于放缩法适用于哪种不等式，这没有明确的规定，这需要我们在学习过程中认真、归纳. 第二章 不等式的根本性质及其应用 2.1 不等式的传递性：假设A?B,B?C那么A?C 我们常常说借别人的东西，确实是借别人的东西来使用，在不等式的证明中我们也使用到，当我们不能直截了当证明Alt;C时，我们能够借助B，让它起到连接A和C的作用，我们能够先证存在B，使得证Alt;B,Blt;C,如此我们就得出Alt;C，这确实是不等式的传性的运用 1?x?nx 例：已经明白x?0，n?N?且n?2，求证：?1 001nn1?xxc?x?cx证明：? ?cnnnnn 001?cnx?cx n ?1?nx ?1?x1?nx ?n 2.2 利用绝对值不等式的性质： ba?a 在数学证明里，证明两个数（式子）的大小方法特别多，如作差法，作商法法，分析法等，当这些方法难以证明时，特别是在绝对值不等式中时，我们能够利用我们学过的绝对值不等式的性质进展证明. 2xx?x?10例：已经明白f?且x?a?1，求证：f x?f?1? 22证明：f xf?x?10?a?a? x?ax?a? x?x?a? x?a?1? x?a?1? x?1?1?篇三：浅谈用放缩法证明不等式 浅谈用放缩法证明不等式 山东省 许 晔 不等式的证明是中学数学教学的重点，也是学生接受时感到头痛的难点。不等式的证明方法特别多。如：比拟法（比差商法）、分析法、综合法、数学归纳法、反证法和放缩法等。限于篇幅，下面仅就用放缩法证明不等式的征询题加以证明。 所谓放缩法，确实是针对不等式的构造特征，运用不等式及有关的性质，对所证明的不等式的一边进展放大或缩小或两边放大缩小同时兼而进展，似到达证明结果的方法。但不管是放大仍然缩小都要遵照不等式传递性法那么，保证放大仍然缩小的连续性，不能牵强附会，须做到步步有据。比方：证ab，可先证ah1，成立，而h1b又是可证的，故命题得证。 利用放缩法证明不等式，既要掌握放缩法的根本方法和技巧，又须纯熟不等式的性质和其他证法。做到放大或缩小恰到好处，才有利于征询题的处理。现举例说明用放缩法证明不等式的几种常用方法。 一、运用根本不等式来证明 求证：lg8lg121 证明：lg80，lg120， 而 lg96lg100=2 lg8lg121. 说明：此题应用对数函数的单调性利用不等式平均值，不等式两次放大，使不等式获证。说明：此题采纳了与根本不等式结合进展放缩的有关解题技巧。解： a2b22ab（当且仅当a=b时，等号成立） 同理a2+c22ac（当且仅当a=c时，等号成立） b2c22bc（当且仅当b=c时，等号成立） a2b2c2abbcac（当且仅当a=b=c时，等号成立） 由已经明白可得a2+b2c2=abbcac， 说明：此题完全使用了不等式的根本性质便可解此题。 二、运用放大、缩小分母或分子的方法来到达放缩的目的 证明： 说明：此题观察数列的构成规律，采纳通项放缩的技巧把一般数列转化成特别数列，从而到达简化证题的目的。 证明：此题说明采纳了分别把各项的分母换成最大的2m或最小的m1的技巧。 求证： 证明： 此题说明：此题采纳了从第三项开场拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开场，须按照详细题型分别对待，即放不能太宽、缩不能太窄，真正做到恰到好处。 求证： 证明：此题说明，此题采纳了通项放缩，使放缩后能拆项相消的技巧。 假设a、b、c为不全相等的非实数 求证： 证明： a、c、b不全为零，上述三式不能全取等号， 相加得 说明：此题考虑到是齐次对称式，应用不舍弃非负项缩小的技巧。 求证： 证明：当ab=0时，不等式显然成立。 当ab0时，0aba+b， 即：左边右边. 说明：此题是运用了放大分母而缩小一个正分数的技巧。 三、放缩法在数学归纳法和数列中的应用 证明：当n=k+1时，那么得 此题采纳放缩法和数学归纳法相结合的解题方法。