导数在不等式证明中的应用(毕业论文).doc

河南师范大学本科毕业论文 学号： 0901114152导数在不等式证明中的应用学院名称： 数学与信息科学学院 专业名称： 数学与应用数学 年级班别： 09级应数一班 姓 名： 张亚宾 指导教师： 李静 2013年4月导数在不等式证明中的应用摘 要 不等式的证明是数学学习中的重要内容之一，其常用方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、特殊不等式法等。导数作为微积分学的基本内容，利用其证明不等式是一种行之有效的好方法，它能将某些不等式的证明化难为易，迎刃而解，本文探讨了利用拉格朗日中值定理，函数的单调性，极值，幂级数展开式，凹凸性等进行不等式证明的具体方法，给出了各种方法的适用范围和证明步骤，总结了应用各种方法进行证明的基本思路.使用这些方法可以简洁、快速地解决一些不等式的证明问题，寻找一些规律，这对以后的教学研究会有很大的帮助。关键词 导数; 不等式; 证明; 函数;单调性；拉格朗日中值定理The application of derivate in the inequality provingAbstract The proof of inequality is one of the important contents of the mathematics learning. The commonly used methods are comparison, analysis, synthesis method, inductive method and special inequality method. As the basic content of derivative of calculus, use it to prove inequality is a kind of effective method. It make the proof of inequalities is more easier.，This paper discusses the use of Lagrange mean value theorem, the monotonicity of functions, extremum, power series expansion, concave and convex inequality proof of specific methods, such as, the applicability of various methods is given and proved steps, summarizes the application of various methods to prove the basic train of thought.By using those methods, some inequality proof questions can be proved quickly and compactly and find some skills.It is of great help to future teaching research.Keywords derivate ; inequality; proof; function; Monotonicity; Lagrange mean value theorem 前 言导数最早是由法国数学家费马为研究极值问题而提出的，无论在初等数学还是在高等数学中，导数都处于重要的地位。导数是微积分的初步基础知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具。它包括微分中值定理和导数应用。微分中值定理有：Rolle定理、lagrange中值定理、Cauchy中值定理。导数的应用包括：利用导数判断函数的单调性、极值和凹凸性。不等式的证明在数学课题中也是一个很重要的问题，此类问题能够培养我们理解问题、分析问题的能力。在不等式的证明中不同的类型有不同的解法，如果题目给出的函数可导时，利用导数去证明不等式是一种行之有效的办法。用导数证明不等式最主要的是要先构建一个函数。本文针对微分中值定理、函数的单调性、函数的极值、函数的凹凸性、泰勒公式、两导数的不等性在不等式证明中的应用进行了举例。1 利用函数单调性证明不等式该方法使用于某区间上成立的函数不等式,一般地,证明区间上的不等式时,可以选择作为辅助函数.对求导，判断是大于或小于,判定的单调性,从而证明不等式.定理 1.1 设函数在区间上可导,则在上递增（递减）的充要条件是,1.2 若在上单调增加，则，反之亦然1.3 若在上单调递减，则，反之亦然.例1. 已知，求证.证： 构造函数，容易看出在区间上可导，且，由于可得 当时， 所以在上是增函数， 所以， 所以 所以当，求证.例2. 设,证明不等式成立.证明 令,显然当时,有从而在内严格递增,又在处连续,所以,当时,即 （1）设,则时,所以在内递减,又在处连续,故时,有即 （2）由（1）、（2）可知,当时,有.注 当要证明的不等式两端是给定的两个表达式，或者不等式一端或两端含，且知道（或）时，构造适当的辅助函数,使得证明简洁些是很有必要的，为此,往往对待证的不等式作适当的恒等变形，则需要用函数的单调性区证明。利用函数的单调性证明不等式最主要的是构造辅助函数，构造辅助函数有以下几种方法： （1）用不等式的两边“求差”构造辅助函数. （2）用不等式两边适当“求商”构造辅助函数. （3）根据不等式两边结构，构造“形似”辅助函数. （4）如果不等式中涉及到幂指函数形式，则可通过取对数将其化为易证明的形式再根据具体情况由以上所列方法构造辅助函数.2 利用微分中值定理证明不等式若函数含有一二阶导数，而要证的不等式的两端含有的函数值，特别是的表达式不知道时，或不等式中含有的导数时，常用lagrange中值定理去证明。定理2（拉格朗日中值定理） 若函数满足以下条件：在闭区间上连续；在闭区间内可导；则在内至少存在一点，使.在拉格朗日公式中由于是内的一个点，故可以表示成的形式，于是定理的结论就可以改为在中至少存在一个值，使.例3. 证明对一切 成立不等式 证 设，则 ，当时，由可推知 ，.当时，由可推得 ，从而得到所要证明的不等式.例4. 设为非线性函数,在上连续,在内可导,证明:使.证明 引入辅助函数由于非线性,故,使得,而.设,（类似可证）,在与上分别使用拉格朗日中值定理,得即 所以 .令 故 .由上可知：当所要证明的不等式与朗格朗日公式在形式上相似、但不完全相同时，则可以利用朗格朗日定理证明。其一般步骤如下：(1) 分析不等式的具体特点，构造一个函数， 。这是证明的关键一步。(2) 判断函数在区间上是否符合拉格朗日定理的两个条件；若满足，得出结果：。(3) 根据欲证不等式的特点，利用及的性质，将上式进行适当变形，使不等式得以证明。 注意 一般地,若函数满足拉格朗日中值定理的条件,则有不等式,它是利用拉格朗日中值定理证明许多具体函数的不等式的主要思想. 定理3 柯西中值定理：函数，在闭区间上连续；在开区间内可导；在内每一点处，则在内至少存在一点，使得.例5. 设都是可导函数，且，证明：当时，证：因为故单调增加，所以当时，即.又在上满足柯西中值定理的条件.故由柯西中值定理知从而故原不等式成立.当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时可用柯西中值定理证明。证明步骤有：（1）、构造两个函数和，并确定它们的区间；（2）、对与在上用柯西中值定理；（3）、利用与a，b的关系，对柯西公式进行加强不等式。3 利用函数的极值证明不等式 此法使用范围也是在某区间上成立的不等式,这里所作的辅助函数比较的不是函数的端点,而是极值和最值. 由待证不等式建立函数，通过导数求出极值并判断极大值还是极小值，再求出最大值或最小值，从而证明不等式，这就是利用函数的最值（或极值）证明不等式的思路.定理4 设函数在点连续,在某邻域内可导, 若当时,当时,则在点取得极小值. 若当时,当时,则在点取得极大值.例6. 证明：.提示：由待证不等式建立辅助函数,当在定义域内可导时,只须解方程得出稳定点,再对每个稳定点应用定理3或定理4判定是否为极值点,求出极大（小）值,再借助函数的单调性证明不等式成立，具体视情况而论。证明 引入辅助函数=,则有,求得稳定点,又故是在的唯一极值点,且有极小值,而为在上最大值,于是有 .例7. 设为任一常数,试证：当时，. 证明 问题是证明当时,.因,所以只要证明当时,或令 ,解得稳定点 当时, 时,所以,是的最小值点.即有 故 当时,成立.注 （1）利用最值证明不等式,如果函数在上不是单调函数,要证在上有成立,不妨证明在上的最小值；要证在上有成立,不妨证明在上的最大值.（2）当函数的导数在所要求证的区间内出现了导数的符号改变，也就是说出现了单调性改变的情况时，就可以考虑利用函数在区间的最值(或极值)来进行证明。利用函数的最值性或极值性证明不等式的一般步骤是，首先构造辅助函数，一般以作差或作商为主，然后对辅助函数在需要证明的区间内找出极值或者最值，然后用极值或最值跟需要证明的条件比较，从而使命题得证。4 利用函数的凸凹性证明不等式函数的凸凹性的重要应用之一是证明不等式,许多不等式问题用以前的方法（如中值定理、泰勒公式等）证明起来十分困难,但利用函数的凸凹性质,可以方便、快捷地得到结论.这是一个非常重要的结论。定理5：设在区间上连续，在内二阶可导，对内的任意不同的两点，：1) 若，则在内上凹，有2) 若，则在内上凸，有例8. 设，证明不等式.证： ，由于，所以，在区间或，是凹的，于是 ，即所以原不等式成立.例9. 利用是凸函数,证明： .其中,.证明 因为是凸函数,所以詹森不等式成立.即 亦即 从而 注意 利用函数的凹凸性证明不等式，关键是要根据所要证明不等式选取相关的函数及适当的，选取。特别是引进了辅助函数时，要注意考察它的上凸和下凹的特征，并要注意函数的定义域，如果是上凸（凹）函数,那么由定义,对于上的任意两点,总有,所以只需证明在上是凸（凹）函数即可证上述不等式.5 利用泰勒公式证明不等式如果所给的不等式与给定的条件涉及函数及其相应阶的导数,再可考虑应用泰勒公式.如果有带拉格朗日余项的泰勒公式,若能对余项给出估计就可得到相应的不等式. 定理 若在上有连续的阶导数,且,当时,则对时,有 . 例10. 求证： , . 证明 原不等式等价于=. 因 ,由定理可知,当时,即 .注 此题可将不等式变形,使用函数单调性方法或中值定理证明.例11.当时，证明不等式成立.证 由于故显然有 ，即两边乘以，得所以不等式成立.如果函数的二阶和二阶以上导数存在且有界可以利用泰勒公式证明这些不等式。证题思路：（1）、写出比最高阶导数低一阶上的泰勒展开式；（2）、恰当选择等式两边与（3）、根据最高阶导数的大小或界对展开式进行放缩。值得说明的是泰勒公式有时要结合其它知识一起使用，如当使用的不等式中含有积分号时，一般要利用定积分的性质结合使用泰勒公式进行证明；当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合式时，需要作一个辅助函数并用泰勒公式代替。使用泰勒公式巧妙灵活的证明不等式往往使证明方便简捷。6利用两导数的不等性证明不等式定理 7 1设函，满足： 在区间上可导，在区间上有，则在上有. 2 设函，满足： 在区间上可导，在区间上有，则在上有.例12. 证明,.证 设,显然，求导，得：,.为在上判断与的大小，再求一次导，得:因，即，故即.又因为，在上应用定理即知.再在上应用定理，知，即，利用两导数的不等性证明不等式时，一定要注意，对应的区间上所需要的条件是否满足该定理的要求。其主要步骤是:（1）、由不等式建立两个端点值相同的函数并确定其对应的区间；（2）、比较两个函数在其对应区间内的大小：（3）、在对应区间内使用定理比较不等式的大小。以上介绍了六种应用导数证明不等式的方法,并且举例说明了其证明思路及方法,体现了导数在证明不等式中的应用.证明不等式的方法有很多种,在这里只介绍了其中的五种方法.在证明不等式中，通常需要根据待证不等式构造辅助函数,然后借助导数知识分别利用相应的方法去证明,许多情况下可以应用多种方法综合地进行证明.参考文献 1 华东师范大学数学系.编数学分析上册M. 北京: 高等教育出版社,20012 孙清华、孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）M. 武汉: 华中科技大学出版社.20033 裴礼文.数学分析内容、方法与技巧M.（上） 北京: 高等教育出版社,19934 邵剑 等.大学数学考研专题复习M. 北京: 高等教育出版社,20015刘晓玲.不等式证明中辅助函数的构造一J .邯郸师专学报,2000,10(3):4.6陈秋华.也谈利用凸函数证明初等不等式J.高等数学研究，2009（5）：40.7马德炎.常见的代数不等式的证明J.高等数学研究，2009（5）：2729.8 Theodore Yaotsu Wu. On the generalized Cauchy function and new Conjecture on its exterior singularitiesJ. Acta Mechanica Sinica. 2011(02), pp.234-236.9 Ulrich Abel , Mircea Ivan.The differential mean value of divided differencesJ. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2006, Vol.325 (1), pp.560-57010 A. K. KwaniewskiMore on the BernoulliTaylor Formula for Extended Umbral CalculusJ, Advances in Applied Clifford Algebras, 2005, Vol.16 (1), pp.420-431.致谢经过近半年的努力终于完成了这篇论文,最大的感受就是心里充满了感激.感谢我的指导老师李静老师,李老师严谨的治学态度,高度的敬业精神,孜孜以求的工作作风给了我以深刻的影响,本文就是在李老师的精心指导下完成的.同时也感谢数学系的领导和老师们,是他们一遍一遍的讲解与指导,才使我们的论文从内容到形式更加完美.也感谢河南师范学院为我们提供了如此有利的学习条件和优美的学习环境.即将结束大学生活而走上工作岗位,我会刻苦钻研,不懈努力,以丰硕的成果来报答所有关心、理解、鼓励和帮助我的人们. 张亚宾2013年4月于河南师范大学