电工电路系列课件20-18(ppt文档).ppt

第第1818章章 状态变量法状态变量法 18.1 状态变量和状态方程状态变量和状态方程18.2 状态方程的列写状态方程的列写18.3 状态方程的时域解析解法状态方程的时域解析解法本章重点本章重点18.4 状态方程的拉普拉斯变换法求解状态方程的拉普拉斯变换法求解 本章重本章重点点 状态方程的求解状态方程的求解 状态方程的建立状态方程的建立 返回目录返回目录18.1 18.1 状态变量和状态方程状态变量和状态方程一、状态变量一、状态变量（state variable）x 分析动态过程的独立变量。分析动态过程的独立变量。选定系统中一组选定系统中一组最少数量最少数量的变量的变量 x=x1,x2,xnT ，如果当如果当 t=t0 时这组变量时这组变量 x(t0)和和 t t0 后的输入（激励）后的输入（激励）e(t)为已知，为已知，就可以确定就可以确定t0及及t0以后任何时刻系统的响应。以后任何时刻系统的响应。x(t0)e(t)t t0 称这一组称这一组最少数目最少数目的变量为的变量为状态变量状态变量。y(t)t t0 确定确定 说明：说明：x表示状态变量的列向量。为区分符号，表示状态变量的列向量。为区分符号，以下用以下用表示向量或矩阵。表示向量或矩阵。已知已知 输出变量输出变量:uL,iC,uR,iR。选选 uC，iL 为为 状态变量。状态变量。解解 由由uL(0)=7ViC(0)=-1.5AiR(0)=1.5AuR(0)=3V例例 RuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR2 推广至任一时刻推广至任一时刻 t1 uL(t1)=e(t1)-uC(t1)uR(t1)=uC(t1)iC(t1)=iL(t1)-uC(t1)/R iR(t1)=uC(t1)/R 可由可由 可见当可见当 t=t1 时时 uC，iL 和和 t t1 后的输入后的输入e(t)为已为已 知，知，就可以确定就可以确定t1及及t1以后任何时刻系统的响应。以后任何时刻系统的响应。问题：如何求出问题：如何求出 t1时刻的状态变量。时刻的状态变量。二、状态方程二、状态方程（state equation）求解状态变量的方程。求解状态变量的方程。设选设选 uC ,iL 为状态变量为状态变量 列微分方程列微分方程 改写为改写为 LRCe(t)+-uCiL+-iC+-uL称为状态方程。称为状态方程。矩阵形式矩阵形式 x=x1 x2 xnT式中式中 一般形式一般形式 n nn r状态方程的特点：状态方程的特点：（1）是一阶微分方程组；是一阶微分方程组；（2）左端为状态变量的一阶导数；左端为状态变量的一阶导数；（3）右端仅含状态变量和输入量。右端仅含状态变量和输入量。n 1r 1三、输出方程（三、输出方程（output equation）特点：特点：（1）代数方程；代数方程；（2）用状态变量和输入量表示输出量。用状态变量和输入量表示输出量。一般形式一般形式 Y(t)=C X(t)+Dv(t)uL=e(t)-uC(t)uR(t)=uC(t)iC(t)=iL(t)-uC(t)/R iR(t)=uC(t)/R RuLCe(t)+-uCiLiCuR+-+-+-LiR返回目录返回目录18.2 18.2 状态方程的列写状态方程的列写 一、直观法一、直观法 选选 uC,i1 ,i2为状态变量。为状态变量。对包含电容的节点列对包含电容的节点列KCL（duC/dt）R1-+uSCuCiSR2i2L2L1 -+i1 例例1 列写图示电路列写图示电路 的状态方程。的状态方程。分析：分析：对包含电感回路列对包含电感回路列KVL（diL/dt）整理成矩阵形式，得状态方程如下：整理成矩阵形式，得状态方程如下：选选 u1,u2,i3 ,i4为状态变量为状态变量 消去非状态量消去非状态量 i5 ,i6 i5=(u2-u1)/R5i6=i4-i3 代入上式，整理为矩阵形式代入上式，整理为矩阵形式 L3i3uSR6R5C2C1L4+-i5i6i4+-+-u1 u2例例2 列写图示电路的状态方程。列写图示电路的状态方程。二、叠加法二、叠加法 （1）将电源、电容、电感均将电源、电容、电感均抽到网络外，网络内均为电阻。抽到网络外，网络内均为电阻。（2）电容用电压源替代，电）电容用电压源替代，电感用电流源替代。感用电流源替代。（3）用叠加定理求）用叠加定理求iC ,uL。则则 uS，iS，uC，iL共同作用下的共同作用下的 iC,uL为：为：iC=a11 uC+a12 iL+b11 uS+b12 iS uL=a21 uC+a22 iL+b21 uS+b22 iS+-uCuSRR+iSiL+-由此可得状态方程。由此可得状态方程。步骤：步骤：+-uLiC 设设uC1、uC2、iL为状态变量为状态变量 （1）uC1 单独作用：单独作用：iL=0，iS=0，uS=0,uC2=0。求：求：iC1，iC2 ,uL。解解 例例 iSR1R2uSuC1uC2iC1iC2LuLiL+-+-+-+-R1R2uC1iC1iC2uL-+（2）uC2 单独作用：单独作用：iL=0，iS=0，uS=0 ,uC1=0。求：求：iC1，iC2 ,uL。（3）iL 单独作用：单独作用：iS=0，uS=0,uC1=0，uC2=0。求：求：iC1，iC2 ,uL。R1R2uC2iC1iC2uL-+R1R2iC1iC2uL-+iL（4）uS 单独作用：单独作用：iS=0，iL=0,uC1=0，uC2=0。求：求：iC1，iC2 ,uL。（5）iS 单独作用：单独作用：uS=0，iL=0,uC1=0，uC2=0。求：求：iC1，iC2 ,uL。R1R2iC1iC2uS-+uL+-R1R2iC1iC2iSuL+-uC1 uC2 iL uS iS （6）整理成标准形式整理成标准形式 三、拓扑法三、拓扑法 在树支中在树支中 在连支中在连支中 （3）形成单树支割集矩阵形成单树支割集矩阵 Q，单连支，单连支回路矩阵回路矩阵B；（4）对单树支割集列写对单树支割集列写KCL方程方程 用连支电流表示树支电流；用连支电流表示树支电流；it=-Ql il（1）线性电路以线性电路以 iL，uC 为为状态变量。状态变量。（2）每个元件抽象为一条支路，每个元件抽象为一条支路，选一个树使选一个树使 基本思想基本思想 CRtuS+-RlLiS常态树常态树 (Proper tree)（6）消去非状态量；消去非状态量；例例 （7）整理，得到状态方程。整理，得到状态方程。（5）对基本回路列写对基本回路列写KVL方程方程 用树支电压表示连支电压；用树支电压表示连支电压；ul=-Bt utuSiSR1L4C3+-R5123456 （1）选选 uC，iL 为为状态变量。状态变量。+-uCiL （2）以以1，2，3为为树支的树支的常态树。常态树。（3）树支电流树支电流 连支电流连支电流 （4）（1）QlBt树支电压树支电压 连支电压连支电压 选出与选出与 iC 有关方程为有关方程为 iC=iL+iR5 选出与选出与uL有关方程为有关方程为：uL=uR1 uC （2）（5）（6）消去（消去（3）式中非状态量）式中非状态量 iR5 和和 uR1 iC=iL+iR5uL=uR1-uC（3）由欧姆定理由欧姆定理 uR1=R1 iR1 由方程组（由方程组（1）iR1=-iL+iS 由欧姆定理由欧姆定理 iR2=uR5/R2 由方程组（由方程组（2）uR5=-uC+uS uR1=R1(-iL+iS)iR5=(-uC+uS)/R5 代入代入 状态方程为状态方程为 整理得整理得 矩矩 阵形式阵形式 返回目录返回目录18.3 18.3 状态方程的时域解析解法状态方程的时域解析解法一、一、线性状态方程的解线性状态方程的解 1.一阶状态方程的解答形式一阶状态方程的解答形式 上式上式两边同乘两边同乘 e-at 上式等号两边积分上式等号两边积分 零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 2.状态方程组的解答形式状态方程组的解答形式 比照一阶做法，得比照一阶做法，得 式式中中 eAt 称作矩阵指数，称作矩阵指数，也称为状态转移矩阵也称为状态转移矩阵(state transition matrix)3.关于矩阵指数关于矩阵指数 定义定义 性质性质 （单位阵）（单位阵）4.用矩阵对角线化的方法计算用矩阵对角线化的方法计算eAt b.对每一个特征值对每一个特征值 i 求特征向量求特征向量 pi A-iI pi=0c.构成构成A的对角化转换矩阵的对角化转换矩阵 P=p1 p2 pn n1 nn d.求求eAt eAtP e t P-1 式中式中a.由矩阵由矩阵A的特征方程的特征方程 求特征值求特征值 1，2，n（假设各特征值相异）假设各特征值相异）例例1 已知已知 ，求，求eAt。解解 例例2 已知一电路的状态方程为已知一电路的状态方程为解解 方程的全解方程的全解 零零输入解输入解xf(t)零零状态解状态解xe(t)全响应为全响应为 返回目录返回目录18.4 18.4 状态方程的拉普拉斯变换法求解状态方程的拉普拉斯变换法求解两边取拉氏变换，得两边取拉氏变换，得 单位矩阵单位矩阵 线性非时变电路的状态方程标准形式为线性非时变电路的状态方程标准形式为 作拉氏反变换，得作拉氏反变换，得=-1=-1即即=-1-1上式右端第一项为零输入响应：上式右端第一项为零输入响应：=-1第二项为零状态响应：第二项为零状态响应：-1比较时域解的形式可知比较时域解的形式可知=-1例例1 已知一零输入系统的状态方程为已知一零输入系统的状态方程为 试求状态方程的解。试求状态方程的解。解解先求矩阵指数：先求矩阵指数：将上式矩阵求逆得将上式矩阵求逆得 作拉氏反变换得矩阵指数作拉氏反变换得矩阵指数所以状态方程的解为所以状态方程的解为解解 t=0时合上开关时合上开关s，用状态变量用状态变量法求电感电压法求电感电压 uL(t)。已知已知 先列状态方程，求状态变量先列状态方程，求状态变量uC ,iL。uC iL uL 20 uC 例例2 20ViL0.2H0.5F1 uC+-+-+-uLsA B 作拉氏反变换得作拉氏反变换得 返回目录返回目录