圆周角、圆心角以及垂径定理提高测验.doc

圆周角、圆心角以及垂径定理总结与提高
知识点：
1、圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
2、垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
3、关系定理：
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组量相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
〖课前热身〗
１.下列说法不正确有
A．过一点可作无数个圆，那是因为圆心不确定，半径也不确定
B．过两个点可以画无数个圆，圆心在这两点连线段的中垂线上
C．优弧一定比劣弧长．
D．两个圆心角相等那么所对的弧也相等
E.平分弦的直径垂直于弦
F．弦的中垂线必过圆心
图1
２.正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A． B．
C． D．
图2

３、如图2，是⊙O的直径，点都在⊙O上，若，则 .
图3
４、如图3，弦AC、BD相交于点E，==, ∠AED=80°,∠ACD的度数为__________
5、在⊙O中，弦AB把⊙O分为度数比为的两条弧，则弧AB所对的圆心角的度数为______
6、圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是_____________
°
°
O
7、如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为________
8、如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（ ）
A．2 B．4
C．8 D．10
9、如图,△ABC的高CF、BG交于点H,分别延长CF、BG与△ABC的外接圆交于DE两点,则下列结论:①AD=AE;②AH=AE;③若DE为△ABC的外接圆的直径,则BC=AE;其中正确的是( )
A.①； B. ①②；
C. ②③； D.①②③.
10、在⊙O中,弦CD垂直于直径AB,E为劣弧CB一动点(不与点BC重合),DE交弦BC于点N,AE交半径OC于点M,在E点运动过程中, ∠AMC与∠BNE的大小关系为( )
A.∠AMC>∠BNE； B. ∠AMC=∠BNE；
C. ∠AMC<∠BNE； D. 不能确定.

11. .如图，⊙P的半径为5，且与Y坐标轴分别交于点A（－2，0），B（－10，0），点P的坐标为： 。
如图，⊙P与两坐标轴分别交于点A（－2，0），B（－6，0）、C（0，－3）和点D，双曲线过点P，则k= 。
二、〖综合分析〗
知识点：1.圆的基本性质定理；2.全等三角形；3.直角三角形相关性质（勾股定理）勾股定理；4.基本图形、基本辅助线；5.方程（组）思想。
O
A
P
B
C
例１、如图所示，P为弦AB上一点，CP⊥OP交⊙O于点C，AB＝8，AP:PB＝1:3，求PC的长。
例２、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形ECFH的面积为16cm2,求半圆的半径。

例３、如图，D为Rt△ABC斜边AB上的一点，以CD为直径作⊙O交边AB于E、F两点，DG⊥AB于点G。
（1）求证：AF=GE；
（2）若AF=2，FG=AC=4，求⊙O的半径。
例４、如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O分别交AB、AC于D、E两点，过B、C两点分别作DE的垂线，垂足分别为M、N。
求证：DM=EN；
练习：
１、半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．设BC中点为F，连接FP并延长交AD于E，
（1）求证：EF⊥AD；
（2）若AB=8，CD=6，求OP的长。
２、⊙O中弦AB⊥CD，垂足为E，过E作AC的垂线，垂足为F，交BD于G。
（1）求证：BD=2EG;
(2)连接OG，若CE=4，DE=6，BD=10，求OG的长。
３、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。

A
C
B
D
E
（1）求证：AC＝AE；（2）求△ACD外接圆的半径。
４、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连接BD、CD。求证：BD=DC=DI。
５、如图，在⊙O中，直径AB垂于弦CD于点H，E为AB的延长线上一点，CE交⊙O于点F。
（1）求证：BF平分∠DFE；
（2）若DF=EF，BE=5，CH=3，求⊙O的半径。
·

A
B
C
O
D
６、如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积.
７、如图，点E是正方形ABCD的边BA延长线（AE〈AB〉一点，连接DE与正方形ABCD的外接圆交于点E，BF与AD交于点G。
（1）求证：BG=DE；　　　（2）若AB=2AE，BE=6，求FG的长。

圆的综合
1.已知Rt△ABC，AC=2，∠C=90°, ∠B=30°,D为射线BC上一动点，经过点A的圆O与BC相切于点D，交线段AC于点E。
（1）如图1，当点O在斜边AB上时，求圆O的半径；
（2）如图2，点D在线段BC上，当E为AC中点时，连结DE，求DE的长；

（3）点D在线段BC的延长线上，使四边形AODE为菱形时，DE的值为 。（直接写出结果）
２.如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．
（1）求证：AB为⊙C直径．
（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．
３.如图，点M为x轴上一点，⊙M与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，设
C（0，），B（3，0）．
（1）求点M的坐标．
（2）点P为弧BC上任一点，Q为弧CP的中点，直线BP、DQ交于点E，求BE的长．

（3）连接AC、BC，作∠ACB的外角∠BCK的平分线CF交⊙Ｍ于点F，连接AF，求的值．
巩固：
１.如图，△ABC内接于⊙O，且AB＞AC，∠BAC的外角平分线交⊙O于E，EF⊥AB，垂足为F。
（1）求证：EB=EC
（2）若EF=AC=3，AB =5，求BF的长。
２.如图，Rt△ABC内接于⊙O， CD⊥AB于D，CE平分∠OCD。
（1）求证：EA =AB
（2）若CE=4，求四边形ACBE的面积。
３.如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=900，∠BAC的外角平分线交⊙O于点D，AC、BD交于点E，连接CD。
（1）求证：DO∥AB
（2）若AB=3，BC =4，求△ADE的面积
５、如图，A、B、C、D四点在⊙O上，AB是直径。
（1）过点A作AE⊥CD于点E，求证：∠DAE=CAB；
（2）若∠ACD=∠BAD，AD=，求⊙O的半径。
６.已知Rt△ABC中，∠A=300，∠C=900，AB=12，D为射线AB上一动点，经过点C的⊙O与直线AB切于点D，交射线AC于点E。
（1）如图1，当点O在边AC上时，求⊙O的半径；

（2）如图2，当CD平分∠ACB时，求⊙O的半径；
（3）如图3，当D为线段AB的延长线上一点，且CD=BC时，则DE的长为 。

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