4、1二项式定理与杨辉三角完整讲义(最终修订版).pdf

二项式定理二项式定理知识要点知识要点（一）探究（一）探究的展开式的展开式34abab,（）（）问题问题 1：展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？112233 ababab（）问题问题 2：将上式中，若令,则展开式又是什么？123123,aaaa bbbb思考一：思考一：合并同类项后，为什么的系数是 3？2a b问题问题 3：的展开式又是什么呢？4ab（）结论：结论：；40413222334444444abC aC a bC a bC abC b（）（二）猜想、证明（二）猜想、证明“二项式定理二项式定理”问题问题 4：的展开式又是什么呢？nab（）思考二：思考二：（1）将展开有多少项？nab（）（2）每一项中，字母的指数有什么特点？,a b（3）字母指数的含义是什么？是怎么得到的？,a b（4）如何确定的系数？,a b二项式定理：二项式定理：；011 1222()nnnnrn rrnnnnnnnabC aC abC abC abC b()n（三）归纳小结：二项式定理的公式特征（三）归纳小结：二项式定理的公式特征（1）项数：项数：_；（2）次数：次数：字母按降幂排列，次数由_递减到_；字母按升幂排列，次数ab由_递增到_；（3）二项式系数：二项式系数：下标为_，上标由_递增至_；（4）通项：通项：_；指的是第项，该项的二项式系数为_；1kT1k（5）公式所表示的定理叫_，右边的多项式叫做的二项展开式二项展开式。nab（）典型例题典型例题例例 1、求6)12(xx 的展开式；例例 2、7)21(x的展开式的第 4 项的系数及第 4 项的二项式系数。求9)1(xx 的展开式中含3x的系数。变式练习变式练习1、写出的展开式；7pq（）2、求的展开式的第 3 项；623ab（）3.写出nxx3321的展开式的第项；1r 4、的展开式的第 6 项的系数是 ；101x（）例例 3、求的展开式中的系数。27(42)(2)xxx5x例例 4、在的展开式中，求的系数奎屯王新敞新疆5232xxx例例 5、求展开式中的系数奎屯王新敞新疆 210111xxx3x例例 6、，则（）21091001910(1)(1)(1)xxaa xa xax9aA9 B10 C9 D10例例 7、已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为 14：3，求22nxx展开式的常数项奎屯王新敞新疆高考真题高考真题1、21nxx的展开式中，常数项为15，则n（）A3B4C5D62、821(12)xxx的展开式中常数项为 （用数字作答）3、若621xax的二项展开式中的系数为52，则a （用数字作答）6x随堂练习随堂练习1、的展开式中常数项是 。261(2)xx2、已知的展开式中常数项是，则展开式中的系数是（）9()xa83xA.B.C.D.1681683363363、在的展开式中，的系数是 .（写出数字答案）8)22(x6x4、的展开式中项的系数是 .8)1(x5x5、的展开式中所有有理项系数之和等于_。（用数字作答）621x6、在 的展开式中 项的系数是 （）6212xx2x（A）（B）（C）30 （D）60 3060课后作业课后作业1、在103x的展开式中，的系数为 ；6x2、92)21(xx 展开式中9x的系数是 ；3、1231xx 的展开式中常数项为 ；4、10311xx的展开式中，含5x项的系数是 ；5、若100ax 的展开式中98x前的系数是 9900，求实数a的值。6、的展开式中，的系数与的系数之和等于 。10()xy73x y37x y7、求的展开式中的系数。25(1)(1)xx3x8、已知二项式，(以下各题答案均用组合数表示)；102(3)3xx（1）求展开式的第 4 项的二项式系数；（2）求展开式的第 4 项的系数；（3）求展开式的第 4 项。9、求二项式的展开式中的常数项。2101()2xx杨辉三角二项式系数的性质杨辉三角二项式系数的性质知识要点知识要点1、二项式系数表（杨辉三角）、二项式系数表（杨辉三角）填表找规律（使用课本表格）()nab展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 奎屯王新敞新疆2、二项式系数的性质、二项式系数的性质()nab展开式的二项式系数是0nC，1nC，2nC，nnCrnC可以看成以r为自变量的函数()f r定义域是0,1,2,n，例当6n 时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（因为mn mnnCC）直线2nr 是图象的对称轴（2）增减性与最大值）增减性与最大值1(1)(2)(1)1!kknnn nnnknkCCkk，knC相对于1knC的增减情况由1nkk决定，1112nknkk，当12nk时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数时，中间两项12nnC，12nnC取得最大值（3）各二项式系数和）各二项式系数和1(1)1nrrnnnxC xC xx，令1x，则0122nrnnnnnnCCCCC 奎屯王新敞新疆典型例题典型例题例例 1、在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和奎屯王新敞新疆注：注：由性质（3）及例 1 知021312nnnnnCCCC；例例 2、设 231111nxxxx2012nnaa xa xa x，当012254naaaa时，求n的值奎屯王新敞新疆例例 3、已知7270127(12)xaa xa xa x，求：（1）127aaa；（2）017|aaa；（3）1357aaaa；例例 4、在10)32(yx 的展开式中,求:二项式系数的和；各项系数的和；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；奇数项系数和与偶数项系数和；x的奇次项系数和与x的偶次项系数和；例例 5、已知：223(3)nxx的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992求展开式中二项式系数最大的项；例例 6、已知nxx223)(的展开式的系数和比nx)13(的展开式的系数和大 992,求nxx2)12(的展开式中，求二项式系数最大的项。例例 7、（1）的展开式中，系数最大的项为（）101()xx A第六项 B第三项 C第三项和第六项 D第五项和第七项 （2）的展开式中系数最小的项为（）13(1)x A第六项 B第七项 C第八项 D第九项随堂练习随堂练习1、4511xx展开式中4x的系数为 ，各项系数之和为 2、多项式12233()(1)(1)(1)(1)nnnnnnf xCxCxCxCx（6n）的展开式中，6x的系数为 3、若二项式231(3)2nxx（nN）的展开式中含有常数项，则的最小值为（n）A、4 B、5 C、6 D、84、在(1)nx的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则2(1)nx等于（）A.0 B.pq C.22pq D.22pq5、求102x的展开式中二项式系数最大的项 奎屯王新敞新疆课后作业课后作业1、若的展开式的各项系数之和为 32，则 n 。其展开式中常231()nxx数项为 。（用数字作答）2、已知，则52345012345(1)xaa xa xa xa xa x的值为 。024135()()aaaaaa3、已知，则=434324321023222 xxxa xa xa xa xa0a；4、若对于任意实数x，有3230123(2)(2)(2)xaa xaxa x，则2a的值为（）A3 B6 C9 D125、已知33nxx展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A、4B、5C、6D、76、若nxx)1(展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为（）A、10 B、20 C、30 D、1207、已知展开式中的二项式系数的和等于521615xx的展开式的常数项，(1)nax而 展开式的二项式系数最大的项的系数为54，求a的值()aR奎屯王新敞新疆(1)nax8、设296()(1)(21)f xxxx，试求()f x的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和奎屯王新敞新疆9、设 591413011314132111xxaxaxaxa求：0114aaa 1313aaa