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第二章 运算方法和运算器
习题参考答案
1. 写出下列各数的原码、反码、补码、移码表示（用8位二进制数）。其中MSB是最高位（又是符号位）LSB是最低位。如果是小数，小数点在MSB之后；如果是整数，小数点在LSB之后。
(1) -35 (2) 128 (3) -127 ( 4) -1
解：
(1)先把十进制数-35/64写成二进制小数：(注意位数为8位)
　　 x=(-35)10=(-100011)2
[x]原=10100011 [x]反=11011100　 [x]补=11011101 　　　　　　　　
　　(2) 128写成二进制小数：
　　　　x=（128）10=(10000000)2
[x]原=10000000 　[x]反=10000000　　 [x]补=10000000 　　　　　　　
(3) 先把十进制数-127写成二进制小数：
　　　　x=(-127)10=(-1111111)2
　 [x]原=11111111 　[x]反=10000000 [x]补=10000001
　 (4) 令Y=-1=-0000001B
　　　[Y]原=10000001 　 [Y]反=11111110　　　　 [Y]补=11111111 　　　　　　　　
2. 设[X]补= a7，a6，a5…a0 , 其中ai取0或1，若要x＞－0.5,求a0，a1，a2，…，a6 的取值。
解：若a7= 0，则：x>0, 所以： a1= 0， a2，…，a6任意；
若a7= 1，则：a1= 1， a2，…，a6 不全为0。
3. 有一个字长为32位的浮点数，符号位1位，阶码8位，用移码表示；尾数23位（包括1位尾符）用补码表示，基数R=2。请写出：
(1) 最大数的二进制表示；
(2) 最小数的二进制表示；
(3) 规格化数所能表示的数的范围；
解： (1) 111111111 0 111111111111111111111
　　（2）111111111 1000000000000000000000
　　（3）111111111 0111111111111111111111
～011111111 1000000000000000000000
　　（4）000000000 00000000000000000000001
～000000000 11111111111111111111111
4. 将下列十进制数表示成浮点规格化数，阶码3位，用补码表示；尾数9位，用补码表示。
（1） 27/64
（2） -27/64
解：（1）x=27/64=11011B×2-6=0.011011B=1.1011B×2-2
　　　　S=0 M=0.10110000000000000000000
E=e+127=-2+127=125=01111101
[x]浮= 0011 1110 1 101 1000 0000 0000 0000 0000
=(3ED80000)16
（2） x=-27/64= -11011B×2-6= -0.011011B= -1.1011B×2-2
　　　　S=1 M=0.10110000000000000000000
E=e+127=-2+127=125=01111101
[x]浮= 1011 1110 1 101 1000 0000 0000 0000 0000
=(BED80000)16
浮点规格化数 :
[x]浮= 1111 1001010000
5. 已知X和Y, 用变形补码计算X+Y, 同时指出运算结果是否溢出。
（1）X=11011 Y=00011
解： 先写出x和y的变形补码再计算它们的和
　　　[x]补=00 11011 [y]补=00 00011
　　　[x+y]补=[x]补+[y]补=00 11011+00 00011=00 11110
　　　无溢出。
（2）X= 11011 Y= -10101
解： 先写出x和y的变形补码再计算它们的和
　　　[x]补=00 11011 [y]补=11 01011
　　　[x+y]补=[x]补+[y]补=00 11011+11 01011=00 00110
　　　∴ x+y=00 00110B 无溢出。
（3）X= -10110 Y= -00001
解： 先写出x和y的变形补码再计算它们的和
　　[x]补=11 01010 [y]补=11 11111
　　[x+y]补=[x]补+[y]补=11.01010+11.11111=11 01001
　　∴ x+y= - 10111 无溢出
6. 已知X和Y, 用变形补码计算X-Y, 同时指出运算结果是否溢出。
(1) X=11011 Y= -11111
解：先写出x和y的变形补码，再计算它们的差
　　　[x]补=00 11011 [y]补=11 00001 [-y]补=00 11111
　　[x-y]补=[x]补+[-y]补=00 11011+00 11111=01 11010
　　∵运算结果双符号不相等 ∴ 为正溢出
(2) X=10111 Y=11011
解：先写出x和y的变形补码，再计算它们的差
　　[x]补=00 10111 [y]补=00 11011 [-y]补=11 00101
　　[x-y]补=00 10111+11 00101=11 11100
　　∴ x-y= -1 无溢出
(3) X=0.11011 Y=-10011
解：先写出x和y的变形补码，再计算它们的差
　　[x]补=00 11011 [y]补=11 01101 [-y]补=00 10011
　　[x-y]补=[x]补+[-y]补=00 11011+00 10011=01 01110
∵运算结果双符号为01不相等 ∴ 为正溢出
7. 用原码阵列乘法器、补码阵列乘法器分别计算X×Y。
（1）X= 11011 Y= -11111
（2）X=-11111 Y=-11011

解：（1）用原码阵列乘法器计算 x,y都取绝对值，符号单独处理
[X]原=0.11011 [Y]原=1.11111
积的符号为
1 1 0 1 1
× 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 0 1 1
1 1 0 1 1
1 1 0 1 1
1 1 0 1 1
0.1 1 0 1 0 0 0 1 0 1
[X×Y]原 =1.1101000101
X×Y = - 0.1101000101

（2）X=-11111 Y=-11011
解：用原码阵列乘法器计算
[X]原=1 11111 [Y]原=1 11011
积的符号为
1 1 1 1 1
× 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
0. 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1
[X ×Y]原 = 0.1101000101
X×Y = 0.1101000101

8． 用原码阵列除法器计算 X÷Y。
（1）X=0.11000 Y= -0.11111
（2）X=-0.01011 Y= 0.11001
解：(1)[x]原=[x]补=0.11000 　[|y|]补=0.11111
　[-∣y∣]补=1.00001
　　　　被除数X　0.1100000000
　　　　 [-|y|]补 1.00001
　　　余数为负 1.110010 →q0=0
　　　+[|y|]补 0.011111
　　　余数为正 0.0100010 →q1=1
[-|y|]补 1.1100001
余数为正 0.00000110 →q2=1
[-|y|]补 1.11100001
余数为负 1.111001110 →q3=0
+[|y|] 0. 000011111
余数为负 1. 1111011010 →q4=0
+[|y|] 0. 0000011111
　 1. 1111111001 →q5=0
商 |q|=q0.q1q2q3q4q5=0.11000

余数r=0.00000110=0.11×2-101
[x/y]原=1.11000
（2）X=-0.01011 Y= 0.11001
解：(1)[|x|]原=[|x|]补=0.01011 　[|y|]补=0.11001
[-|y|]补=1.00111
　　　被除数X　 0.0101100000
　　　[-|y|]补 1.00111
　　　余数为负 1.100100 →q0=0
　　　+[|y|]补 0.011001
　 余数为负 1.1111010 →q1=0
[|y|]补 0.0011001
余数为正 0.00100110 →q2=1
[-|y|]补 1.11100111
余数为正 0.000011010 →q3=1
+[-|y|] 1.111100111
余数为负 0. 0000000010 →q4=1
+[|y|] 1. 1111100111
　 1. 1111101001 →q5=0
|q|=q0.q1q2q3q4q5=0.01110
r=0.000000001=0.1×21000

[x/y]原=1.01110

9. 设阶为3位((不包括阶符位), 尾数为6位(不包括数符位), 阶码、尾数均用补码表示, 完成下列取值的[X+Y]，[X-Y]运算：
（1）x=2-011×0.100101 y=2-010×(-0.011110)
解：
① 对阶：因x阶码小，所以调整x指数向y看齐
x=2-010×0.0100101
② 尾数相加减
　　　x+y=2-010×(0.0100101-0.011110)
=2-010× (-0.0010111)
x-y=2-010×0.1100001
③ 规格化处理
x+y=2-010× (-0.0010111)=2-101× (-1.011100)
x-y=2-010×0.1100001=2-011×1.100001
④ 溢出检查
-126≤x+y的指数=-5,x-y的指数=-3≤127
没有溢出

(2) x=2-101×（-0.010110） y=2-100×(0.010110)
解:
① 对阶：因x阶码小，所以调整x指数向y看齐
x=2-100×(-0.0010110)
② 尾数相加减
　　　x+y=2-100×(-0.0010110+0.010110)
=2-100× (0.001011)
x-y=2-100×(-0.100001)
③ 规格化处理
X+y=2-111× (1.011000)
X-y=2-101×(-1.000010)
④ 溢出检查
-126≤x+y的指数=-7,x-y的指数=-5≤127
没有溢出
10. 设数的阶码为3位,尾数为6位,用浮点运算方法,计算下列各式
(1)
解: x=2010×1.10100, y=2011×(-1.00100)
①阶码求和
ex+ey =010+011=101 (+5)
移码表示为Ex+Ey=127+5=132
②尾数相乘,可以采用原码阵列乘法实现（用绝对值）
Mx ×My=1.10100 ×1.00100
=1.1101010000
③规格化处理与溢出检查
Mx ×My= -1.1101010000(已是规格化数)
-126≤指数5≤127,故没溢出
④舍入处理(保留6位小数)
Mx ×My =1.110101
⑤确定积的符号，异号相乘为负
[x×y]浮=2101×(-1.110101)
(2)
解: x=2-100×1.101000, y=2010×(1.111000)
Mx = 1.101000 My= 1.111000
①阶码求差
ex-ey =-100-010 = -110 (-6)
移码Ex-Ey=127+(-6)=121
②尾数相除,可以采用无符号阵列除法实现
Mx/My=1.101000 1.111000
=0. 110111
③规格化处理及溢出判断---尾数左移1位,阶码减1
ex-ey = -111 (-7)
-126≤指数-7≤127,故没溢出
[Mx/My]= 1.101110
④舍入处理(保留6位小数)
Mx ×My = 1.101110
⑤确定商的符号，同号相除为正
[xy]浮=2-111×1.101110
11. 某加法器进位链小组信号为C4C3C2C1 ，低位来的信号为C0 ，请分别按下述两种方式写出C4C3C2C1的逻辑表达式。
（1） 串行进位方式 （2） 并行进位方式
解 ：根据一位全加器

FA

对于串行方式有
其中
其中
其中
其中
对于并行进位方式：
C1 = G1 + P1 C0
C2 = G2 + P2 G1 + P2 P1 C0
C3 = G3 + P3 G2 + P3 P2 G1 + P3 P2 P1 C0
C4 = G4 + P4 G3 + P4 P3 G2 + P4 P3 P2 G1 + P4 P3 P2 P1 C0

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