用假设法解决问题(二).doc

用假设法解决问题（二） 此文原题目为《用假设法解应用题》，初稿完成于1993年11月，1994年12月第一次修改，1997年8月第二次修改。

河北省平乡县大刘庄小学 李明亮

五、把不同的分率（倍数）假设为相同
例17.两堆煤共66吨。一次运走了甲堆的和乙堆的，共运走16吨。两堆煤原来各有多少吨？
分析与解法1. 甲堆的和乙堆的共16吨。假设一次运走甲堆的，也运走乙堆的，那么，一次应该共运走两堆煤总数的，即66×=22（吨），比实际运走的多6吨。因为假设从乙堆运走的比实际从乙堆运走的多－=2/15，所以6吨就相当于乙堆的。
（66×－16）÷(－)=45（吨） （乙堆）
66－45=21（吨） （甲堆）
解法2.假设从甲乙两堆都运走，……
甲堆 （16－66×）÷(－)=21（吨）
乙堆 66－16=45（吨）
把不同的分率（倍数）假设为相同的分率（倍数），就会使数量与实际的数量不符。再找出假设的数量与实际数量产生差异的原因，就可使问题得解。这里运用了一个简单的规律——甲堆的与乙堆的的和等于两堆总数的。
例17与例13很相似。如果用前面的方法解例17，则有如下解法。
解法3. (66－16×3)÷(1－×3)=45(吨) （乙堆）
解法4. （16×5－66）÷（×5－1）=21(吨) （甲堆）
例18.甲乙两数的和是31.如果甲数扩大3倍，乙数扩大5倍，则它们的和是125.求甲数和乙数。
分析略。
解法1.甲数 （31×5－125）÷(5－3)=15
乙数 31－15=16
解法2.乙数 （125－31×3）÷（5―3）=16
甲数 31―16=15
解法3.甲数 （31－125×）÷(1－3×)=15
解法4.乙数 （125÷3―31）÷（5÷3－1）=16
类似习题：
1.师徒二人加工零件，他们的任务一共是200个。师傅超额1倍完成了自己的任务，徒弟完成了自己任务的150%，共加工355个零件。师徒二人加工零件的任务各是多少个？
2.甲数比乙数小1。甲数扩大3倍，乙数扩大5倍后，两数相差35.求甲数和乙数。
3.甲乙两数的和是35。甲数扩大3倍，乙数缩小3倍后，两数的和是57。求甲数和乙数。

六、把变化的倍数关系假设为不变
例19.5年前，小强的年龄是小平的9倍，今年小强的年龄是小平的4倍。今年两人各多少岁？
分析：5年前，小强的年龄是小平的9倍。假设今年小强的年龄仍是小平的9倍（比实际多算了小平今年年龄的5倍），则小平长了5岁，小强就应该长9个5岁（比实际多长8个5岁）。多长的这8个5岁就对应着多算的小平今年年龄的5倍。
解：5×（9－1）÷(9－4)=8(岁) （小平今年岁数）
8×4=32（岁） （小强今年岁数）
解法2. 5×（4－1）÷(9－4)+5=8(岁) （小平今年岁数）
例20.罐头厂运进的苹果是梨的3倍。生产罐头每天用梨2吨，每天用苹果5.5吨，同时开始生产梨罐头和苹果罐头，到运进的例用完时，还剩苹果4吨。运进的梨和苹果各有多少吨？
分析：运进的苹果是梨的3倍。假设每天用去的苹果也是梨的3倍，则每天用梨2吨，每天就应该用苹果6吨。这样，运进的梨和苹果将正好同时用完。但是，实际每天每天用去的苹果是5.5吨，比假设的少用0.5吨，也就是实际比假设每天“节约”0.5吨，到最后梨用完时，一共“节约”（剩下）了4吨苹果。由此可求出生产天数，进而求出运进的梨和苹果吨数。
解：2×[4÷(2×3－5.5)]=16（吨） （梨）
16×3=48（吨） （苹果）
或 5.5×[4÷（2×3－5.5）]＋4=48（吨） （苹果）
48÷3=16（吨） （梨）
例21.小明的原有练习本数是小华的3倍。小明用了2本，小华用了4本后，小明的练习本数是小华的5倍。他们原有练习本各多少本？
分析与解法1.假设现在小明的原有练习本数仍是小华的3倍（少算了小华现在本数的2倍），则小华用了4本，小明就应该用12本。但小明实际只用了2本，假设用的比实际用的多10本（少剩10本）。这10本就对应着小华现在本数的2倍。
（4×3－2）÷（5－3）+4=9（本） （小华原有本数）
9×3=27（本） （小明原有本数）
分析与解法2.假设小明原来的练习本数就是小华的5倍（多算了小华原来本数的2倍），则小华原来比现在多4本，小明原来比现在就应该多20本（5个4本）。但实际上小明原来比现在只多2本，假设的比实际的多18本。这18本就是小华小华原来本数的2倍。
(4×5－2)÷（5－3）=9（本） （小华原有本数）
“把变化的倍数关系假设为不变”与“把不同的分率（倍数）假设为相同的分率（倍数）”相似，也是根据假设的倍数推出数量上的差异，再分析产生差异的原因，使问题得解。应该注意：根据假设倍数推理假设数量时，最好以标准量为标准进行推理。如例20，“假设每天用去的苹果也是梨的3倍”，则根据“每天用梨2吨”，推出“每天应该用苹果6吨”。而不要根据“每天用苹果5.5吨”去推每天应该用梨的吨数。
类似习题：
1.今年妈妈的年龄是小红的5.5倍。3年后，妈妈的年龄将是小红的4倍。小红今年几岁？
2.甲乙两个工程队，甲队人数是乙队的。若从甲队调30人到乙队，则甲队人数是乙队的。甲乙两队各有吨数人？

七、把变化的量假设为不变
例22.小明和小玲集邮，小明的邮票张数是小玲的7倍。两人都又买了6张后，小明的邮票张数是小玲的4倍。两人原来各有多少张邮票？
用与例19相似的方法分析本题，可得如下解法：
6×（7－1）÷（7－4）－6=6（张） （小玲原有张数）
6×7=42（张） (小明原有张数)
还可以这样分析：
小明和小玲的邮票张数都比原来增加了6张。现在小明的邮票张数是小玲的4倍，也就是说，小明现在的邮票张数包含4个小玲原来的张数和4个6张。
假设两个人的邮票张数都没有增加，则小明原来的邮票张数应该包含4个小玲原来的张数和3个6张。
因为小明原来的邮票张数是小玲原来的7倍，所以7个小玲原来的张数包含4个小玲原来的张数和3个6张。

所以，（7－4）个小玲原来的邮票张数等于3个6张。
解：6×（4－1）÷（7－4）=6（张） （小玲原有张数）
6×7=42（张） (小明原有张数)
注：用“把变化的倍数关系假设为不变”的方法分析，也可得到这个解法。用这里的方法分析例19，也可得到它的另一个解法：
5×（4－1）÷(9－4)+5=8(岁) （小平今年岁数）
例23.两筐梨共108个。从甲筐取出25%，从乙筐取出3个后，两筐梨的个数相等。两筐梨原来各有多少个？
分析：假设没有从甲筐往外拿梨（甲筐梨个数不变），则从乙筐取出3个后，两筐梨 的总数就是105个。
从乙筐取出3个后，乙筐剩下的梨的个数就跟甲筐的75%（1－25%=75%）同样多。所以，105个梨就相当于甲筐原来个数的175% (1+75%=175%)。
解：（108－3）÷（1－25%＋1）=60（个） （甲筐）
108－60=48（个） （乙筐）
类似习题：
1.甲数是乙数的5倍。如果都增加24，则大数是小数的3倍。求甲数和乙数。
2. 两筐梨共108个。从甲筐取出其中的25%放入乙筐，从乙筐取出3个放入甲筐后，两筐梨的个数相等。两筐梨原来各有多少个？
3. 两筐梨共108千克。若从甲筐取出25%放入乙筐，从乙筐取出3个千克，则两筐梨同样重。两筐梨各有多重？

八、把不同事物假设为相同事物
例24.有鸡和兔共30只，它们一共有70条腿。鸡和兔各有多少只？
分析与解法1.假设30只全是兔，则应该有120条腿（4×30=120），比实际多了50条（120－70=50）。为什么会多50条呢？是因为把鸡也假设成兔了。把一只鸡假设成一只兔，就会多2条腿；共多了50条腿，是把多少只鸡假设成兔了呢？
（4×30－70）÷(4―2)=25（只） （鸡）
30―25=5（只） （兔）
分析与解法2.假设30只全是鸡，则应该有60条腿（2×30=60），比实际少了10条（70－60=10）。把一只兔假设成一只鸡，就会少2条腿；共少了10条腿，是把多少只兔假设成鸡了呢？
（70－2×30）÷（4―2）=5（只） （兔）
30―5=25（只） （只）
注：本题还有很多种解法。例如假设一半是鸡，一半是兔，可得：
解法3.30÷2－[(4+2)×(30÷2)－70]÷（4－2）=5（只） （兔）
解法4.30÷2+[(4+2)÷2×30－70]÷（4－2）=25（只） （鸡）

例25.一次数学竞赛，有20 道题。评分标准是：每做对一道给5分；不做不给分，也不扣分；每做错一道要倒扣3分。小红参加竞赛，做了18道题，得了74分。她做对了几道？
分析与解法1.假设小红把18道题都做错了，则她不但得不到分，还要被倒扣54分（3×18=54）。而她实际得了74分，假设的分数比实际少128分（54+74=128）。把做对的一道题假设成“错”，就会比实际稍等8分（3+5=8）；假设的分数比实际少128分，是把多少道做对的题假设成“错”了呢？
（3×18＋74）÷（3＋5）=16（道）

解法2.假设小红把18道题都做对了，……
18－（5×18－74）÷（5+3）=16（道）

例26.5袋大米、6袋面粉共重490千克，一袋大米比一袋面粉重10千克。一袋大米多重？一袋面粉呢？
分析与解法1.大米和面粉共11袋。假设11袋都是大米，那么，因为一袋大米比一袋面粉重10千克，6袋面粉“变”成6袋大米后，总重量将增加60千克。根据假设，原题的条件就成了：11袋大米共重550千克。
（490+10×6）÷（5＋6）=50（千克） （一袋大米）
50－10=40（千克） （一袋面粉）
解法2.假设11袋都是面粉，……
（490－10×5）÷（5＋6）=40（千克） （一袋面粉）
40＋10=50（千克） （一袋大米）
把不同事物假设为相同事物（把一种事物假设为另一种事物）就会使与之相关的一个数量发生变化，造成这个数量与实际不符。分析发生变化的原因，可使问题得到解决。
类似习题：
1.某人用3元钱买了8分邮票和20分邮票共21张。他买的两种邮票各多少张？
2.学校买了2个篮球和3个排球，共用了59元。一个篮球比一个排球贵12元。求篮球和排球的单价。
3.甲乙两地相距420千米，其中一段是柏油路，另一段是土路。一辆汽车从甲地到乙地用了8小时。这辆汽车在柏油路上每小时行60千米，在土路上每小时行45千米。甲乙两地间的柏油路和土路各多少千米？

九、把不成比例的量假设为成比例
例27.小明和小华各有20块巧克力。小明每3分钟吃一块，小华每5分钟吃一块。几分钟后小明、小华所剩的巧克力块数之比是5:7？
分析与解法1.假设小明、小华的巧克力块数之比原来就是5:7，即20:20=5:7,则20×5=20×7；又假设小明、小华每分钟吃的块数之比也是5:7，即:=5:7,即×5=×7。如果是这样，那么，在他们同时吃完之前，他们所剩的巧克力块数之比将一直是5:7。
但是，20×5（小华块数的5倍）比20×7（小明块数的7倍）小40，×5（小华速度的5倍）比×7（小明速度的7倍）小，所以，他们所剩的巧克力块数之比不能一直是5:7，而是要在若干分钟后，当小明所剩块数的7倍与小华所剩块数的5倍相等时，他们所剩块数之比才能是5:7。
小明所剩块数的7倍与小华所剩块数的5倍每分钟靠近，几分钟才能相等呢？
（20×7－20×5）÷（×7－×5）=30（分）
分析与解法2.假设两人的巧克力块数之比原来就是5:7，则小明有20块巧克力，小华就应该有28块（20÷5×7=28）；又假设小明、小华每分钟吃的块数之比也是5:7，则小明每分钟吃块，小华每分钟就应该吃1/5块（÷5×7=）。
但是，小华实际只有20块巧克力，假设的块数比实际多8块；小华每分钟吃的块数也不是块，而是块，假设的速度比实际多4/15块（－=）。
当小华用假设的比实际快的速度（每分钟块）去吃假设的比实际多的8块正好吃完时，两人所剩的巧克力块数之比是5:7。因为按照假设，小明用每分钟块的速度吃他的20块，小华用每分钟块的速度吃他的20块和每分钟块的假设速度“吃”他的8块假设巧克力，他们所剩的巧克力块数之比是5:7（但这里小华所剩的块数包含他所剩的实际块数和假设块数）。当小华用每分钟块的假设速度把假设的8块正好“吃”完，只剩下真正的巧克力时，他们所剩的巧克力块数之比才真正是5:7。
（20÷5×7－20）÷（÷5×7－）=30（分）
解法3.（分析略，思路与解法2相似）
（20－20÷7×5）÷（－÷7×5）=30（分）
例28.甲乙两座粮仓，甲仓存米2450袋，乙仓存米1830袋。从现在起，每天往甲仓存入80袋，从乙仓取出24袋。几天之后，甲乙两仓的米袋数之比是5:3？
分析与解法1.现在甲仓、乙仓分别存米2450袋和1830袋；每天甲仓增加80袋，乙仓减少24袋。
如果两仓原来的存米袋数之比就是5:3，并且每天都增加或都减少的袋数之比也是5:3，那么，两仓的存米袋数之比将一直是5:3（如果每天都减少的袋数之比也是5:3，则两仓存米袋数将同时减少到0）。
假设两仓原来的存米袋数之比就是5:3，即2450,：1830=5:3,则应该有2450×3=1830×5；假设两仓都增加的袋数之比是5:3，即80:24=5:3，则应该有80×3=24×5。
但是，2450×3≠1830×5，80×3≠24×5。2450×3比1830×5小1800，80×3（甲仓增加）比80×3（乙仓减少）大360，所以两仓存米存米袋数之比不能永远是5:3，而是要等若干天后，甲仓存米的3倍等于乙仓存米的5倍时，甲乙两仓的米袋数之比才能是5:3。
甲仓存米的3倍与乙仓存米的5倍，每天靠近360，几天后才能相等呢？
（1830×5－2450×3）÷（80×3＋24×5）=5（天）
解法2（分析略）：（1830－2450÷5×3）÷（24+80÷5×3）=5（天）
解法3（分析略）：（1830÷3×5－2450）÷（80＋24÷3×5）=5(天)
此类问题用算术方法解太难，列方程解较简便。

类似习题：
1.甲乙两位师傅加工某种零件的任务都是50个。每小时甲加工7个，乙加工6个。他们同时考试加工，几小时后，乙剩下的零件个数是乙的8倍？
2.甲乙二人分别从A、B两地同时出发骑车去C地，速度都是每分200米。A地距C地9000米，B地距C地6000米。出发后多长时间，甲剩下的路程与乙剩下的路程之比是5:2？

十、假设一个结果
例29.A、B两地相距75千米。甲乙二人同时从A地出发去B地，甲每小时行9千米，乙每小时行13千米。几小时后，甲剩下的路程是乙剩下路程的3倍？
如果把本题的问题改为：“几小时后，甲剩下的路程是乙剩下路程的比是3:1”，用“把不成比例的量假设为成比例”的方法来分析，则可得到如下两个解法：
解法1.（75×3－75）÷（13×3―9）=5（小时）
解法2.（75―75÷3）÷(13－9÷3)=5(小时)
还可以这样分析:假设1小时后甲剩下的路程就是乙剩下路程的3倍,则可以算出总路程应该是(在下图中,把乙和甲剩下的路程分别看作1和3):
13+(13－9)÷(3－1)=15(千米)
或9+(13－9)÷(3－1)×3=15(千米)

但是,实际的总路程不是15千米,而是75千米.75是15的5倍,所以,5小时(1小时的5倍)后, 甲剩下的路程才是乙剩下路程的3倍。综合算式：
75÷[13+(13－9)÷(3－1)]=5(小时)
或75÷[9+(13－9)÷(3－1)×3]=5(小时)
“假设一个结果”是先把问题假设出一个简单、具体的答案,再把这个假设的答案当条件，把题目中的一个条件当作要求的数量，并求出这个数量。求出的这个数量大多不会与原条件相符。然后对求出的这个数量与原条件进行比较、分析，求出正确答案。
用这种方法分析前面的例27，可得如下解法：
20÷÷（7－5）×5]=30(分）
或 20÷[+(－)÷（7－5）×7]=30(分）

例30.甲车站原有汽车52辆，乙车站原有32辆。每天从甲站开往乙站4辆，几天后乙站的车辆是甲站的2倍？
分析与解法1.假设1天后乙站的车辆是甲站的2倍，那么，1天后甲站应有车（52+32）÷（2+1）=28（辆），1天内应从甲站开出52－28=24（辆）。
但实际每天从甲站开出的不是24辆，而是4辆。24是4的6倍，所以6天后（1天的6倍），乙站的车辆才是甲站的2倍。
[52－（52＋32）÷（2＋1）]÷4×1=6（天）
解法2(分析略).[(52＋32）÷（2＋1）×2－32]÷4=6（天）
解法3(分析略).（52×2－32）÷（4×2＋4）=6（天）
解法4(分析略).(52－32÷2)÷(4＋4÷2)=6（天）

例31.一次数学测验，某小组6名学生的分数分别是85分、79分、94分、87分、82分、95分。求他们的平均分数。
解法1.(85 +79+94+87+82+95)÷6=87(分)
这是一般解法。
分析与解法2.假设他们的平均分数是86分,则6名学生的总分应该是86×6=516(分)。
6名学生的实际分数分别比假设的平均分数（86分）少1、少7、多8、多1、少4、多9，所以实际的总分应该是
516－1－7＋9＋1－4＋9=522（分）
平均分是 522÷6=87(分)
解法3.仍假设平均分数是86分……
86+（8+1+9－1－7－4）÷6=87(分)
分析与解法4.假设他们的平均分数是90分。6名学生的实际分数分别比90分少5分、少11分、多4分、少3分、少8分、多5分。这样，他们的总分就会比实际的总分多5+11+3+8－4－5=18(分)，假设的平均分就会比实际的平均分多18÷6=3(分)。所以，实际的平均分是
90－（5+11+3+8－4－5）÷6=87（分）
置换问题（（鸡兔同笼问题）也可以用“假设一个结果”的方法来解。例如例24可以假设有1只鸡、2只鸡、……1只兔、2只兔、……假设有1只鸡的解法如下：
1+[2×1＋4×(30－1)－70]÷(4－2)=25（只） （鸡）

例32.李明到商店买一盒花球、一盒白球，两盒球的个数相等。花球原价是1元钱2个，白球原价是1元钱3个。现在改为两种球都是2元钱5个。结果李明少花了4元钱。李明买了多少个球？
解法1（分析略）.4÷[(＋)÷2－]=240(个)
分析与解法2. 2、3、5的最小公倍数是30.假设两种球各买了30个，则按原价计算应花25元 （1÷2×30＋1÷3×30=25）；按现价算应花24元 （2÷5×30×2=24），按现价算比按原价算少花1元钱。
而实际情况是按现价算比按原价算少花1元钱（1的4倍）。所以所买球的个数也应该是假设个数（各30个）的4倍。
30×4×2=240（个）

类似习题
1. 阳光小学举行环保知识竞赛，共20道题。答对一道的8分，打错一道扣5分，不答的得0分。王蕾蕾得了134分，她答对了几题？李浩得了139分，他答对了几题？
2. 一辆汽车从甲地去乙地，每小时行驶30千米；到乙地后立即返回，返回时每小时行驶40千米。往返共用7小时。甲乙两地相距多少千米？

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