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概率论与数理统计

概率论与数理统计作业及解答
第一次作业
★1. 甲, 乙, 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹, 设事件A, B, C分别表示甲, 乙, 丙击中目标, 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示.
事件={事件最多有一个发生},则的表示为
或或
或或
(和即并,当互斥即时,常记为.)
2. 设M件产品中含m件次品, 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.
或
★3. 从8双不同尺码鞋子中随机取6只, 计算以下事件的概率.
A={8只鞋子均不成双}, B={恰有2只鞋子成双}, C={恰有4只鞋子成双}.

★4. 设某批产品共50件, 其中有5件次品, 现从中任取3件, 求:
(1)其中无次品的概率; (2)其中恰有一件次品的概率.
(1) (2)
5. 从1～9九个数字中, 任取3个排成一个三位数, 求:
(1)所得三位数为偶数的概率; (2)所得三位数为奇数的概率.
(1)三位数为偶数尾数为偶数
(2)三位数为奇数尾数为奇数
或三位数为奇数三位数为偶数
6. 某办公室名员工编号从到,任选人记录其号码,求:(1)最小号码为的概率;(2)最大号码为的概率.
记事件A={最小号码为}, B={最大号码为}.
(1) (2)
7. 袋中有红、黄、白色球各一个,每次从袋中任取一球,记下颜色后放回,共取球三次,
求下列事件的概率:={全红},={颜色全同},={颜色全不同},={颜色不全同},={无黄色球},={无红色且无黄色球},={全红或全黄}.

☆.某班n个男生m个女生(m£n+1)随机排成一列, 计算任意两女生均不相邻的概率.

☆.在[0, 1]线段上任取两点将线段截成三段, 计算三段可组成三角形的概率.

第二次作业
1. 设A, B为随机事件, P(A)=0.92, P(B)=0.93, , 求:(1), (2).
(1)

(2)

2. 投两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率.
记事件A=, B=.

★.在1—2000中任取一整数, 求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率.
记事件A={能被5除尽}, B={能被7除尽}.
取整

3. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15, 刮风(用B表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P(A|B)、P(B|A)、P(A+B).

4. 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2,若第一次落下未摔破,第二次落下时摔破的概率是7/10,若前二次落下未摔破,第三次落下时摔破的概率是9/10,试求落下三次而未摔破的概率．
记事件={第次落下时摔破},

5. 设在张彩票中有一张奖券,有3个人参加抽奖,分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率．
记事件={第个人摸到奖券},
由古典概率直接得
或

或 第一个人中奖概率为
前两人中奖概率为解得
前三人中奖概率为解得
6. 甲、乙两人射击, 甲击中的概率为0.8, 乙击中的概率为0.7, 两人同时射击, 假定中靶与否是独立的.求(1)两人都中靶的概率; (2)甲中乙不中的概率; (3)甲不中乙中的概率.
记事件={甲中靶},={乙中靶}.
(1)
(2)
(3)
★7. 袋中有a个红球, b个黑球, 有放回从袋中摸球, 计算以下事件的概率:
(1)A={在n次摸球中有k次摸到红球};
(2)B={第k次首次摸到红球};
(3)C={第r次摸到红球时恰好摸了k次球}.
(1)
(2)
(3)
8.一射手对一目标独立地射击4次, 已知他至少命中一次的概率为求该射手射击一次命中目标的概率.
设射击一次命中目标的概率为
9. 设某种高射炮命中目标的概率为0.6, 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标.
由得
☆.证明一般加法(容斥)公式

证明 只需证分块只计算1次概率．(是的一个排列,)分块概率重数为
中任取1个任取2个任取个,即

将互换可得对偶加法(容斥)公式

☆.证明 若A, B独立, A, C独立, 则A, B∪C独立的充要条件是A, BC独立.
证明

充分性
代入
即独立.
必要性

即独立.

☆.证明：若三个事件A、B、C独立，则A∪B、AB及A－B都与C独立．
证明 因为

所以A∪B、AB及A－B都与C独立.
第三次作业
1. 在做一道有4个答案的选择题时, 如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测. 设他知道问题的正确答案的概率为p, 分别就p=0.6和p=0.3两种情形求下列事件概率:
(1)学生答对该选择题; (2)已知学生答对了选择题,求学生确实知道正确答案的概率.
记事件={知道问题正确答案},={答对选择题}.
(1) 由全概率公式得
当时,
当时,
(2) 由贝叶斯公式得
当时,
当时,
2. 某单位同时装有两种报警系统A与B, 当报警系统A单独使用时, 其有效的概率为0.70; 当报警系统B单独使用时, 其有效的概率为0.80.在报警系统A有效的条件下, 报警系统B有效的概率为0.84.计算以下概率: (1)两种报警系统都有效的概率; (2)在报警系统B有效的条件下, 报警系统A有效的概率; (3)两种报警系统都失灵的概率.

(1)
(2)
(3)

☆.为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A与B. 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A为0. 92, 系统B为0.93, 在A失灵的条件下, B有效的概率为0.85,. 求: (1)发生意外时, 两个报警系统至少有一个有效的概率; (2) B失灵的条件下, A有效的概率.

3. 设有甲、乙两袋, 甲袋中有只白球, 只红球; 乙袋中有只白球, 只红球.
从甲袋中任取一球放入乙袋, 在从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率是多少.
记事件={从甲袋中取到白球},={从乙袋中取到白球}.
由全概率公式得

☆.设有五个袋子, 其中两个袋子, 每袋有2个白球, 3个黑球. 另外两个袋子, 每袋有1个白球, 4个黑球, 还有一个袋子有4个白球, 1个黑球. (1)从五个袋子中任挑一袋, 并从这袋中任取一球, 求此球为白球的概率. (2)从不同的三个袋中任挑一袋, 并由其中任取一球, 结果是白球, 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？

★4. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号 “·” 及 “-”. 由于通信系统受到于扰, 当发出信号 “·” 时, 收报台分别以概率0.8及0.2收到信息 “·” 及 “-”; 又当发出信号 “-” 时, 收报台分别以概率0.9及0.l收到信号 “-” 及 “·”. 求: (1)收报台收到 “·”的概率;(2)收报台收到“-”的概率;(3)当收报台收到 “·” 时, 发报台确系发出信号 “·” 的概率;(4)收到 “-” 时, 确系发出 “-” 的概率.
记事件={收到信号 “·”},={发出信号 “·”},={发出信号“-”}.
(1)
(2)
(3)
(4)
5. 对以往数据分析结果表明, 当机器调整良好时, 产品合格率为90%, 而机器发生某一故障时, 产品合格率为30%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为75%.
(1)求机器产品合格率,
(2)已知某日早上第一件产品是合格品, 求机器调整良好的概率.
记事件={产品合格},={机器调整良好}.
(1) 由全概率公式得

(2) 由贝叶斯公式得
☆.系统(A), (B), (C)图如下, 系统(A), (B)由4个元件组成, 系统(C)由5个元件组成, 每个元件的可靠性为p, 即元件正常工作的概率为p, 试求整个系统的可靠性.

(A) (B) (C)
记事件={元件5正常},={系统正常}.
(A)
(B)
(C) 由全概率公式得

第四次作业
1. 在15个同型零件中有2个次品, 从中任取3个, 以表示取出的次品的个数, 求的分布律.

0
1
2

22/35
12/35
1/35
☆.经销一批水果, 第一天售出的概率是0.5, 每公斤获利8元, 第二天售出的概率是0.4, 每公斤获利5元, 第三天售出的概率是0.1, 每公斤亏损3元. 求经销这批水果每公斤赢利X的概率分布律和分布函数.

5
8

2. 抛掷一枚不均匀的硬币, 每次出现正面的概率为2/3, 连续抛掷8次, 以表示出现正面的次数, 求的分布律.

3. 一射击运动员的击中靶心的命中率为0.35, 以X表示他首次击中靶心时累计已射击的次数, 写出X的分布律, 并计算X取偶数的概率.

解得
4. 一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机, 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为0.1,求在同一时刻:
(1)恰有2个刷卡机被使用的概率;(2)至少有3个刷卡机被使用的概率;
(3)至多有3个刷卡机被使用的概率;(4)至少有一个刷卡机被使用的概率.
在同一时刻刷卡机被使用的个数
(1)
(2)
(3)
(4)
5. 某汽车从起点驶出时有40名乘客, 设沿途共有4个停靠站, 且该车只下不上. 每个乘客在每个站下车的概率相等, 并且相互独立, 试求: (1)全在终点站下车的概率; (2)至少有2个乘客在终点站下车的概率; (3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率.
记事件={任一乘客在终点站下车},乘客在终点站下车人数
(1)
(2)

(3) 记事件={任一乘客在后两站下车},乘客在后两站下车人数
(精确值)
应用斯特林公式

其中
参:贝努利分布的正态近似.
6. 已知瓷器在运输过程中受损的概率是0.002, 有2000件瓷器运到, 求: (1)恰有2个受损的概率; (2)小于2个受损的概率; (3)多于2个受损的概率; (4)至少有1个受损的概率.
受损瓷器件数近似为泊松分布
(1)
(2)
(3)
(4)
7. 某产品表面上疵点的个数X服从参数为1.2的泊松分布, 规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品, 求产品的合格品率.
产品合格品率
★8. 设随机变量X的分布律是

5
8

求:X的分布函数, 以及概率
随机变量X的分布函数为

第五次作业
1. 学生完成一道作业的时间X是一个随机变量(单位: 小时), 其密度函数是

试求: (1)系数k; (2)X的分布函数; (3)在15分钟内完成一道作业的概率; (4)在10到20分钟之间完成一道作业的概率.
(1)
(2)
(3)
(4)

2. 设连续型随机变量X服从区间[-a, a](a>0)上的均匀分布, 且已知概率, 求: (1)常数a; (2)概率.
(1)
(2)

3. 设某元件的寿命X服从参数为q 的指数分布, 且已知概率P(X>50)=e-4, 试求:(1)参数q 的值; (2)概率P(25<X<100) .
补分布
(1)
(2) 由取依次令得

其中

4. 某种型号灯泡的使用寿命X(小时)服从参数为的指数分布, 求: (1)任取1只灯泡使用时间超过1200小时的概率; (2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率.
(1)
此处
(2)
5. 设X~N(0, 1), 求: P(X<0.61), P(-2.62<X<1.25), P(X³1.34), P(|X|>2.13).
(1)
(2)

(3)
(4)

6. 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X~N(4, ). 设飞机上午10: 10从甲地起飞, 求: (1)飞机下午2: 30以后到达乙地的概率; (2)飞机下午2: 10以前到达乙地的概率; (3)飞机在下午1: 40至2: 20之间到达乙地的概率.
(1)
(2)
(3)

★7. 设某校高三女学生的身高X~N(162, 25), 求: (1)从中任取1个女学生, 求其身高超过165的概率; (2)从中任取1个女学生, 求其身高与162的差的绝对值小于5的概率; (3)从中任取6个女学生, 求其中至少有2个身高超过165的概率.
(1)
(2)
(3) 记事件={任一女生身高超过165},
随机变量贝努利分布

第六次作业
★1.设随机变量X的分布律为
X
-2
-1
0
1
pk

(1)求Y=|X|的分布律; (2)求Y=X2+X的分布律.
(1)

0
1
2

1/6
1/3
1/2

(2)

0
2

2/12
7/12
★.定理（连续型随机变量函数的密度公式） 设连续型变量密度为,严格单调,反函数导数连续,则是连续型变量,密度为

证明 1)若

两边对求导,

2)若

两边对求导,

因此总有
或证明

两边对求导,

或两边微分

2. 设随机变量X的密度函数是fX(x), 求下列随机变量函数的密度函数:
(1)Y=tan X; (2); (3)Y=|X|.
(1) 反函数由连续型随机变量函数的密度公式得

或 反函数支

(2) 反函数
(3) .
两边对求导得的密度函数为

★3. 设随机变量X~U[-2, 2], 求Y=4X2-1的密度函数.

两边对求导得随机变量的密度为

或解 反函数支

★4. 设随机变量X服从参数为1的指数分布, 求Y=X2的密度函数(Weibull分布).
当时, 的分布,当时,

两边对求导得

或 反函数
★5. 设随机变量X~N(0, 1), 求(1)Y=e X的密度函数; (2)Y=X2的密度函数(Gamma分布).
(1) 当时, 的分布,当时,

因而的密度为

或 反函数
(2) 当时,;当时,
.
两边对求导得的密度函数为
或 反函数支

6. 设随机变量X的密度函数是, 求Y=lnX的概率密度.
反函数

第七次作业
☆.将8个球随机地丢入编号为1, 2, 3, 4, 5的五个盒子中去, 设X为落入1号盒的球的个数, Y为落入2号盒的球的个数, 试求X和Y的联合分布律.

1. 袋中装有标上号码1, 2, 2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球,. 以X, Y分别记第一、二次取到球上的号码数, 求: (1)(X, Y)的联合分布律(设袋中各球被取机会相等); (2)X, Y的边缘分布律; (3)X与Y是否独立？
(1)(X, Y)的联合分布律为

(2) X, Y的分布律相同,
(3) X与Y不独立.

2. 设二维连续型变量的联合分布函数
求联合密度.

★3. 设二维随机变量(X, Y)服从D上的均匀分布, 其中D是抛物线y=x2和x=y2所围成的区域, 试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数, 并判断是否独立.
分布区域面积
联合密度
边缘的密度为
边缘的密度为
因此与不独立.
或非零密度分布范围不是定义在矩形区域上,因此与不独立.

4. 设二维离散型变量联合分布列是
Y X

3
5

1

问取何值时与相互独立.

两行成比例解得

★5.设的联合密度为求:(1)常数A;(2)概率(3)边缘概率密度fX (x), fY (y); (4)X与Y是否相互独立？
(1)

(2)
(3)

(4)由得与独立.
或
因为可表示为的函数与的函数的积且分布在矩形区域上,所以与相互独立.由此得

6. 设服从均匀分布的密度为且独立.求:(1)的密度;(2) 的联合密度.
(1)的密度为
(2)的联合密度为

第八次作业
★1. 设随机变量(X, Y)的联合分布律是
X Y
0
1
2
0
1/6
1/3
1/12
1
1/6
1/12
1/6
求函数(1)Z1=X+Y, (2) Z2=min{X, Y}, (3) Z3=max{X, Y}的分布律.
(1)

(2)
(3)

2. 设随机变量(X, Y)的联合分布律是
X Y
-1
1
-1
0.25
0.125
1
0.125
0.25
求函数Z=X/Y的分布律.

3. 设X与Y相互独立, 概率密度分别为
试求Z=X+Y的概率密度.

★4. 设X~U(0, 1), Y~E(1), 且X与Y独立, 求函数Z=X+Y的密度函数.

当时,

当时,

因此

★5. 设随机变量(X, Y)的概率密度为
(1)求边缘概率密度fX (x), fY (y); (2)求函数U=max (X, Y)的分布函数; (3)求函数V=min (X, Y)的分布函数.
(1)
(2)

(3)

6. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.
随机变量
没有一只寿命小于180小时的概率为

第九次作业
★1. 设离散型随机变量X具有概率分布律
X
-2
-1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
试求: E(X), E(X2+5), E(|X|).

2. 设随机变量X的概率密度为求: (1)常数A; (2)X的数学期望.
(1)
(2)
★3. 设球的直径D在[a, b]上均匀分布,试求: (1)球的表面积的数学期望(表面积);
(2)球的体积的数学期望(体积).
(1)
(2)
★4. 设二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律为

X Y
1
2
3
4

-2
0.10
0.05
0.05
0.10

0
0.05
0
0.10
0.20

2
0.10
0.15
0.05
0.05

求E(X), E(Y), E(XY).

★5. 设随机变量X和Y独立, 且具有概率密度为
(1)求; (2)求.
(1)

或随机变量指数分布

(2) 由X和Y独立得
第十次作业
1. 设离散型随机变量X的分布列为
X
-2
-1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
试求: (1) D(X); (2) D(-3X+2) .
(1)

(2)
★2. 设随机变量X具有概率密度为
试求: (1)常数A; (2)E(X); (3) D(X); (4) D(2X-3) .
(1) 解得
(2)
(3)
(4)
★3. 设二维随机变量联合概率密度为
试求: (1)的协方差和相关系数A; (2)
(1)
由的对称性

因此

(2) 由随机变量和的方差公式得

★4. 设二维随机变量具有联合分布律
Y
X
-2
-1
0
1
2
-1
0.1
0.1
0.05
0.1
0.1
0
0
0.05
0
0.05
0
1
0.1
0.1
0.05
0.1
0.1
试求以及和的相关系数.
(1) 的分布列为

-1
0
1

0.45
0.1
0.45
由变量分布对称得或

(2) 的分布列为

-2
-1
0
1
2

0.2
0.25
0.1
0.25
0.2
取值关于原点中心对称
由变量分布对称得或

(3) 由二维变量的联合分布列关于两坐标轴对称得
因此
5. 设随机变量服从参数为的泊松分布,随机变量服从区间上的均匀分布且的相关系数记求
(1)
(2) 由得
由随机变量和的方差公式得

第十一次作业
★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大: 掷1000次均匀硬币, 出现正面的次数在400到600次之间.
出现正面的次数

应用切比雪夫不等式,有

2. 若每次射击目标命中的概率为0.1, 不断地对靶进行射击, 求在500次射击中, 击中目标的次数在区间(49, 55)内的概率.
击中目标的次数

根据中心极限定理,X近似服从正态分布

★3. 计算器在进行加法时, 将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布, (1)若将1500个数相加, 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.
(1) 误差变量独立同均匀分布由独立变量方差的可加性近似

(2)

因此,最多可有个数相加,误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90.

★4. 一个系统由n个相互独立的部件所组成, 每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为0.90. 至少有80%的部件正常工作才能使整个系统正常运行, 问n至少为多大才能使系统正常运行的可靠性不低于0.95.
正常工作的部件数其中

因此至少取

★5. 有一大批电子元件装箱运往外地, 正品率为0.8, 为保证以0.95的概率使箱内正品数多于1000只, 问箱内至少要装多少只元件？
正品数其中

解得因此至少取
★.贝努利分布的正态近似.投掷一枚均匀硬币40次出现正面次数的概率.
正面次数
离散值近似为连续分组区间

第十二次作业
★1. 设X1, X2, ×××, X10为来自N(0, 0.32)的一个样本, 求概率.
标准化变量由卡方分布的定义,

略大,卡方分布上侧分位数
★2. 设X1, X2, X3, X4, X5是来自正态总体X~(0, 1)容量为5的样本, 试求常数c, 使得统计量 服从t分布, 并求其自由度.
由独立正态分布的可加性,标准化变量由卡方分布的定义,与独立.
由分布的定义,
因此自由度为
★3. 设为来自N(m1, s2)的样本, 为来自N(m2, s2)的样本, 且两样本相互独立, 分别为两个样本方差, . 试证明
证 由及得

类似地

★4. 设为总体的简单样本,样本均值和样本方差依次为求满足下式的k值:
统计量

因此
☆.设正态总体的容量为的简单样本为,样本均值和样本方差依次为求满足下式的k值:
正态总体样本方差未知,统计量

★5. 设X1, X2, ×××, Xn, Xn+1为来自N(m, s2)的样本, 记, .
证明: .
证 由独立正态分布的可加性,及相互独立,和独立,标准化变量
由分布的定义,

第十三次作业
★1. 设总体的密度函数为,求参数的矩估计.
总体期望
用样本均值估计（或替换）总体期望即得矩估计为
★2. 设总体的密度函数为, 求参数q 的矩估计.
总体期望

解得用样本均值估计（或替换）总体期望即得q 矩估计为
3. 设总体的密度函数为, 求参数s 的最大似然估计.
似然函数
取对数得对数似然函数
令
解得的最大似然估计为
4. 设总体的密度函数为, 求参数q 的最大似然估计.
似然函数
取对数得对数似然函数
令
解得的最大似然估计为
★5. 设总体X的均值和方差分别为m与s 2, X 1, X 2, X3是总体的一个样本, 试验证统计量
(1); (2); (3).
均为m 的无偏估计量, 并比较其有效性.

(1)
(2)
(3)
因此均为的无偏估计量.
由独立变量方差的可加性

因此无偏估计量中最有效,比有效.

★7. 设为q 2的无偏估计, 且, 试证不是q 的无偏估计; 反之, 若为q 的无
偏估计, , 则也不是q 2的无偏估计.
证(1) 得不是q 的无偏估计.
(2) 得不是的无偏估计.

8.设是参数的两个相互独立的无偏估计量,且,找出常数,使也是的无偏估计量,并使它在所有这种形状的估计量中方差最小.
,,
,
求最小值得,,

第十四次作业
★1. 某车间生产滚珠, 从长期实践中知道, 滚珠直径X可以认为服从正态分布.从某天的产品里随机抽取6个, 测得直径(单位:mm)为
14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1.
若已知总体方差为0.06, 试求平均直径的置信区间.(置信度为0.95). 若总体方差未知, 试求平均直径的置信区间.(置信度为0.95).
(1)的置信区间中心

当时,的置信区间半长为

因此的置信区间为

(2) 样本方差

的置信区间半长为

因此的置信区间为

★2. 为了解某型号灯泡使用寿命X(单位:小时)的均值μ和标准差s, 今测量10只灯泡, 测得, S=20. 若已知X服从正态分布N(m, s 2), 求: (1)置信度为0.95的总体均值m 的置信区间; (2)置信度为0.90的总体方差s 2的置信区间.
(1) 置信区间半长

当未知时,的置信区间为

(2) 已知参数上侧分位数为

置信区间两端(下限,上限)为

因此灯泡使用寿命方差置信度为的置信区间为

★3. 对方差为已知的正态总体, 问须抽取容量n为多大的样本, 方能使总体均值m 的置信度为1-a的置信区间的长度不大于L.
总体均值的置信区间长度为取的整数.

★4. 已知某种元件的寿命X~N(m, s 2), 现随机地抽取10个试件进行试验, 测得数据如下:82, 93, 57, 71, 10, 46, 35, 18, 94, 69.
(1)若已知s =3, 求平均抗压强度m 的95%的置信区间;
(2)求平均抗压强度m的95%的置信区间; (3)求s 的95%的置信区间.
(1)的置信区间中心

当时,的置信区间半长

因此的置信区间为

(2) 上侧分位数

样本方差

的的置信区间两端(下限,上限)为

因此元件寿命标准差的置信区间为

★.两正态总体均值差的置信区间．当未知时,

由于相互独立,构造服从分布的统计量(枢轴量)

记，则的二样本t置信区间为

★5. 随机地抽取A 批导线4根, B批导线5根, 测得起电阻为(单位: 欧姆)
A : 0.143, 0.142, 0.143, 0.137;
B : 0.140, 0.142, 0.136, 0.138, 0.140
设测得数据分别服从正态分布N(m1, s 2), N(m2, s 2), 且它们相互独立, m1, m2, s 均未知, 求m1-m2的95%的置信区间.

上侧分位数
当未知时,的置信区间半长为

的置信区间为

★6. 假设人体身高服从正态分布, 今抽测甲、乙两地区18岁~ 25岁女青年身高得数据如下: 甲地区抽取10名, 样本均值1.64米, 样本标准差0.2米; 乙地区抽取10名, 样本均值1.62米, 样本标准差0.4米. 求: (1)两正态总体均值差的95%的置信区间; (2)两正态总体方差比的95%的置信区间.
(1) 分位数

当未知时,的置信区间半长为

的置信区间为

★(2)两正态总体(期望未知)的方差比的置信区间．
由于~~且独立,构造统计量(枢轴量) 对给定的置信度,由

其中
因此的置信区间为

第十五次作业
★1. 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布N(m, s 2), m =40cm/s, s =2cm/s. 现在用新方法生产了一批推进器. 从中随机抽取25只, 测得燃烧率的样本均值为=41.25cm/s. 设在新方法下总体均方差仍为2cm/s, 问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的改变？取显著性水平a=0.05.
1).提出原假设及备择假设.

2).选取统计量并确定其分布.

3).确定分位数及拒绝域.上侧分位数拒绝域

4).计算统计量的观测值并作出统计推断.

因此拒绝原假设,认为在显著性水平下,推进器的燃烧率显著改变.

★2. 某苗圃规定平均苗高60(cm)以上方能出圃. 今从某苗床中随机抽取9株测得高度分别为 62, 61, 59, 60, 62, 58, 63, 62, 63. 已知苗高服从正态分布, 试问在显著性水平a =0.05下, 这些苗是否可以出圃？
1).原假设及备择假设

2).取统计量

3).上侧分位数得拒绝域

4).由样本计算得

因此接受原假设即认为在显著性水平下,这些苗可以出圃.

★3. 5名测量人员彼此独立地测量同一块土地, 分别测得这块土地面积(单位: km2)为
1.27, 1.24, 1.20, 1.29, 1.23
算得平均面积为1.246. 设测量值总体服从正态分布, 由这批样本值能否说明这块土地面积不到1.25km2?(a =0.05)
1).原假设及备择假设

2).取统计量

3).上侧分位数得拒绝域

4).样本方差为
统计量的实现值为

因此接受原假设认为在显著性水平下,这块土地面积达到1.25km2.

★4. 设某电缆线的抗拉强度X 服从正态分布N(10600, 822), 现从改进工艺后生产的一批电缆线中随机抽取10根, 测量其抗拉强度, 计算得样本均值=10653, 方差S2=6962. 当显著水平a=0.05时, 能否据此样本认为
(1)新工艺下生产的电缆线抗拉强度比过去生产的电缆线抗拉强度有显著提高？
(2)新工艺下生产的电缆线抗拉强度的方差有显著变化？
(1)提出原假设及备择假设.

选取统计量并确定其分布.

确定分位数及拒绝域.得拒绝域

计算统计量的观测值并作出统计推断.

因此接受原假设,认为在显著性水平下,新工艺电缆抗拉强度比过去工艺有显著提高.

(2)提出原假设及备择假设

在原假设成立的前提下,构造统计量

确定上侧分位数得拒绝域

计算统计量的观测值并作出统计推断

因而接受原假设即认为新工艺下的电缆抗拉强度的方差无显著变化.

★5. 设某涤纶强度X~N(m, s 2), 用老方法制造的涤纶强度均值是0.528, 标准差0.016, 现改进工艺后, 从新生产的产品中随机抽取9个样品, 测得起强度如下:
0.519, 0.530, 0.527, 0.541, 0.532, 0.523, 0.525, 0.511, 0.541
在显著性水平下,涤纶强度的均值和标准差是否发生了改变？
(1)提出原假设及备择假设.

选取统计量并确定其分布.

确定分位数及拒绝域.上侧分位数拒绝域

计算统计量的实现值并作出统计推断.样本均值为

统计量的实现值为

因此接受原假设即认为在显著性水平下,涤纶强度均值未改变.

(2)提出原假设及备择假设

在原假设成立的前提下,构造统计量

确定上侧分位数得拒绝域

计算统计量的观测值并作出统计推断
样本平方和

样本偏差平方和

统计量的观测值

因而接受原假设即认为涤纶强度的标准差未改变.

★6. 测定某饮料中糖份的含量, 测得10个观察值的均值=0.0452%,标准差S=0.037%. 设饮料中糖份的含量服从正态分布N(m, s 2), 试在显著性水平a=0.05下, 分别检验
(1) ; (2)
(1)提出原假设及备择假设.

选取统计量并确定其分布.

确定分位数及拒绝域.拒绝域

计算统计量的观测值并作出统计推断.

因此接受原假设即认为在水平下,饮料中糖份含量无显著变化.

(2)提出原假设及备择假设

在原假设成立的前提下,构造统计量

确定上侧分位数得拒绝域

计算统计量的观测值并作出统计推断

因而接受原假设即认为在水平下,糖份含量方差无显著变化.

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