正方形邂逅45.doc

正方形邂逅45°角的解题策略
典型题例
例1 问题：如图5-1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究AD、DE、EB满足的等量关系．
[探究发现]
小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，连接EH，由已知条件易得∠EBF=90°，∠ECF=∠ECB+∠BCF=∠ECB+∠ACD=45°．根据“边角边”，可证△CEF≌          ，得EF=ED．
在Rt△FBE中，由           定理，可得，由BF=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是                               ．
[实践运用]
（1）如图5-2，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；
（2）在（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=2，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长．

变一变
1.(1)已知，如图正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到G，使DG=BE，连接EF，AG． 求证EF=FG

(2)如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长？

2.已知，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°
（1）求证：EF=BE+DF
（2）连结BD，分别交AE，AF于点G，H.若BE=4，DF=6,BG=,求GH的长？

热搜精炼
1. 如图，在正方形ABCD中，EF分别是边BC，CD上的点，∠EAF=45°，若△ECF的周长为4，则正方形的边长为
2. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为______．
3. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=且∠ECF=45°，则CF的长（ ）
A. B. C. D.
4. 如图四边形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90°，AB=BC+DA ，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°，若CD=4，则△ABE的面积为（ ）
A. B. C. D.

6. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，且BC＞AD ，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°．若AE=10，求CE的长？

拓展延伸
1.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°，若AD=9，DC=8，则EF的长为__________.

2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，BE，DF，EF三条线段之间存在怎样的数量关系？请你写出结论并说明理由。

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