第11讲简单的统筹规划问题.doc

第11讲 简单的统筹规划问题专题简析：最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象，它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用作为数学爱好者，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的例1 、妈妈让小明给客人烧水沏茶洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟小明估算了一下，完成这些工作要20分钟为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？分析：烧水沏茶的情况是：开水要烧，开水壶要洗，茶壶茶杯要洗，茶叶要取怎样安排工作程序最省时间呢？办法甲：洗好开水壶，灌上凉水，放在火上，在等待水开的时候，洗茶杯，拿茶叶，等水开了，沏茶喝办法乙：先做好一切准备工作，洗开水壶，洗壶杯，拿茶叶，灌水烧水，坐等水开了沏茶喝办法丙：洗开水壶，灌上凉水，放在火上坐待水开，开了之后急急忙忙找茶叶，洗壶杯，沏茶喝谁都能一眼看出第一种办法好，因为后两种办法都“窝了工”开水壶不洗，不能烧开水，固为洗开水壶是烧开水的先决条件，没开水、没茶叶、不洗壶杯，我们不能沏茶，因而这些又是沏茶的先决条件它们的相互关系可以用下图的箭头图来显示箭杆上的数字表示完成这一工作所需的时间，例如表示从把水放在炉上到水开的时间是15分钟从图上可以一眼看出，办法甲总共要16分钟，而办法乙、丙需20分钟洗壶杯、拿茶叶没有什么先后关系，而且是由同一个人来做，因此可以将上图合并成下图解：先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，同时洗壶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，总共用了16分钟又因为烧开水的15分钟不能减少，烧水前必须用1分钟洗开水壶，所以用16分钟是最少的说明：本题涉及到的统筹方法，是生产、建设、工程和企业管理中合理安排工作的一种科学方法，它对于进行合理调度、加快工作进展，提高工作效率，保证工作质量是十分有效的随堂练习：妈妈开始做饭，切菜3分钟，从冰箱取肉并解冻5分钟，切肉4分钟，倒油烧油3分钟，炒菜7分钟，你给妈妈安排一个合理的顺序，节省时间。并计算使用你安排的顺序，共需用多少分钟？例2用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼如果煎一个饼需要4分钟（假定正、反面各需2分钟），问煎9个饼至少需要几分钟？随堂练习：用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼如果煎一个饼需要4分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎6个饼至少需要几分钟？例3 5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值分析： 5个人排队一共有54321=120种顺序，把所有情形的时间总和都计算出来，就太繁琐了凭直觉，应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些考虑用“逐步调整”法来严格求解解：首先证明要使所费总时间最省，应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置假如第一位置的人打水时间要a分钟（其中2a5），而打水需1分钟的人排在第b位（其中2b5）我们将这两个人位置交换，其他三人位置不变动这样调整以后第b位后面的人每人排队打水所费的时间与调整前相同，并且前b个人每人打水所费时间也未受影响，但是第二位至第b位的人排队等候的时间都减少了（a-1）分钟，这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了换言之，把打水需1分钟的人排在第一位置所费总时间最省其次，根据同样道理，再将打水需2分钟的人调整到第二位置；将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到第三、四、五位所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队，所费时间最省这样得出5人排队和打水时间总和的最小值是15+24+33+42+51=35（分钟）随堂练习：三车货物同时到达仓库门口，A车货物卸完需要20分钟，B车货物卸完需要10分钟，C货物卸完需要30分钟，只能一车一车卸货，怎么安排顺序，才能使三辆货车等候时间的总和最少？例4 有157吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10升与5升问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需用油多少升？解：依题意，大卡车每吨耗油量为105=2（公升）；小卡车每吨耗油量为52=2.5（公升）为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于157=531+2，因此，最优调运方案是：选派31车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油1031+51=315（公升）随堂练习：有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10升和5升，问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？【分析】：依题意，大卡车每吨耗油量为105=2(公升)；小卡车每吨耗油量为52=2.5(公升)。为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于 137=527+2，因此，最优调运方案是：选派27车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油 1027+51=275(公升)课堂训练：1、小明、小华、小强同时去卫生室找张大夫治病小明打针要5分钟小华换纱布要3分钟，小强点眼药水要1分钟问张大夫如何安排治病次序，才能使他们耽误上课的时间总和最少？并求出这个时间2、烧水沏茶时，洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯用2分钟，拿茶叶要用1分钟，如何安排才能尽早喝上茶。【分析】：先洗水壶 然后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。共需要1+10=11分钟。3、用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需要2分钟，两面共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需要几分钟？【分析】：一般的做法是先同时烙两张饼，需要4分钟，之后再烙第三张饼，还要用4分钟，共需8分钟，但我们注意到，在单独烙第三张饼的时候，另外一个烙饼的位置是空的，这说明可能浪费了时间，怎么解决这个问题呢？我们可以先烙第一、二两张饼的第一面，2分钟后，拿下第一张饼，放上第三张饼，并给第二张饼翻面，再过两分钟，第二张饼烙好了，这时取下第二张饼，并将第三张饼翻过来，同时把第一张饼未烙的一面放上。两分钟后，第一张和第三张饼也烙好了，整个过程用了6分钟。4、甲、乙、丙、丁四人同时到一个小水龙头处用水，甲洗拖布需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙用桶接水需要1分钟，丁洗衣服需要10分钟，怎样安排四人的用水顺序，才能使他们所花的总时间最少，并求出这个总时间。【分析】：所花的总时间是指这四人各自所用时间与等待时间的总和，由于各自用水时间是固定的，所以只能想办法减少等待的时间，即应该安排用水时间少的人先用。解：应按丙，乙，甲，丁顺序用水。丙等待时间为0，用水时间1分钟，总计1分钟乙等待时间为丙用水时间1分钟，乙用水时间2分钟，总计3分钟甲等待时间为丙和乙用水时间3分钟，甲用水时间3分钟，总计6分钟丁等待时间为丙、乙和甲用水时间共6分钟，丁用水时间10分钟，总计16分钟，总时间为1361626分钟。【试题】5、甲、乙、丙、丁四个人过桥，分别需要1分钟，2分钟，5分钟，10分钟。因为天黑，必须借助于手电筒过桥，可是他们总共只有一个手电筒，并且桥的载重能力有限，最多只能承受两个人的重量，也就是说，每次最多过两个人。现在希望可以用最短的时间过桥，怎样才能做到最短呢？你来帮他们安排一下吧。最短时间是多少分钟呢？【分析】：大家都很容易想到，让甲、乙搭配，丙、丁搭配应该比较节省时间。而他们只有一个手电筒，每次又只能过两个人，所以每次过桥后，还得有一个人返回送手电筒。为了节省时间，肯定是尽可能让速度快的人承担往返送手电筒的任务。那么就应该让甲和乙先过桥，用时2分钟，再由甲返回送手电筒，需要1分钟，然后丙、丁搭配过桥，用时10分钟。接下来乙返回，送手电筒，用时2分钟，再和甲一起过桥，又用时2分钟。所以花费的总时间为：21102217分钟。解：21102217分钟课后作业:1、小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。他完成这几件事最少需要多少分钟？2、小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶泡茶要1分钟。为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？3、在早晨起床后的1小时内，小欣要完成以下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语30分钟，吃早餐10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。最少需要多少分钟？4、小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲乙丙丁四头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛需2分钟，丙牛需5分钟，丁牛需6分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河。【分析】：要使过河时间最少，应抓住以下两点：(1)同时过河的两头牛过河时间差要尽可能小(2)过河后应骑用时最少的牛回来。解：小明骑在甲牛背上赶乙牛过河后，再骑甲牛返回，用时213分钟然后骑在丙牛背上赶丁牛过河后，再骑乙牛返回，用时628分钟最后骑在甲牛背上赶乙牛过河，不用返回，用时2分钟。总共用时(21)(62)213分钟。