RANSAC算法详解.doc

给定两个点p1与p2的坐标，确定这两点所构成的直线，要求对于输入的任意点p3，都可以判断它是否在该直线上。初中解析几何知识告诉我们，判断一个点在 直线上，只需其与直线上任意两点点斜率都相同即可。实际操作当中，往往会先根据已知的两点算出直线的表达式（点斜式、截距式等等），然后通过向量计算即可 方便地判断p3是否在该直线上。 生产实践中的数据往往会有一定的偏差。例如我们知道两个变量X与Y之间呈线性关系，Y=aX+b，我们想确定参数a与b的具体值。通过实验，可以 得到一组X与Y的测试值。虽然理论上两个未知数的方程只需要两组值即可确认，但由于系统误差的原因，任意取两点算出的a与b的值都不尽相同。我们希望的 是，最后计算得出的理论模型与测试值的误差最小。大学的高等数学课程中，详细阐述了最小二乘法的思想。通过计算最小均方差关于参数a、b的偏导数为零时的 值。事实上，在很多情况下，最小二乘法都是线性回归的代名词。 遗憾的是，最小二乘法只适合与误差较小的情况。试想一下这种情况，假使需要从一个噪音较大的数据集中提取模型（比方说只有20%的数据时符合模型的）时，最小二乘法就显得力不从心了。例如下图，肉眼可以很轻易地看出一条直线（模式），但算法却找错了。 RANSAC算法的输入是一组观测数据（往往含有较大的噪声或无效点），一个用于解释观测数据的参数化模型以及一些可信的参数。RANSAC通过反复选择数据中的一组随机子集来达成目标。被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证： 有一个模型适应于假设的局内点，即所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。 用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。 如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。 然后，用所有假设的局内点去重新估计模型（譬如使用最小二乘法），因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。 最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。 上述过程被重复执行固定的次数，每次产生的模型要么因为局内点太少而被舍弃，要么因为比现有的模型更好而被选用。 整个过程可参考下图：关于算法的源代码，Ziv Yaniv曾经写一个不错的C+版本，我在关键处增补了注释：C代码#include#includeLineParamEstimator.hLineParamEstimator:LineParamEstimator(doubledelta):m_deltaSquared(delta*delta)/*/*Computethelineparametersn_x,n_y,a_x,a_y*通过输入的两点来确定所在直线，采用法线向量的方式来表示，以兼容平行或垂直的情况*其中n_x,n_y为归一化后，与原点构成的法线向量，a_x,a_y为直线上任意一点*/voidLineParamEstimator:estimate(std:vector&data,std:vector¶meters)parameters.clear();if(data.size()y-data0-y;doubleny=data0-x-data1-x;/原始直线的斜率为K，则法线的斜率为-1/kdoublenorm=sqrt(nx*nx+ny*ny);parameters.push_back(nx/norm);parameters.push_back(ny/norm);parameters.push_back(data0-x);parameters.push_back(data0-y);/*/*Computethelineparametersn_x,n_y,a_x,a_y*使用最小二乘法，从输入点中拟合出确定直线模型的所需参量*/voidLineParamEstimator:leastSquaresEstimate(std:vector&data,std:vector¶meters)doublemeanX,meanY,nx,ny,norm;doublecovMat11,covMat12,covMat21,covMat22;/Theentriesofthesymmetriccovarinacematrixinti,dataSize=data.size();parameters.clear();if(data.size()2)return;meanX=meanY=0.0;covMat11=covMat12=covMat21=covMat22=0;for(i=0;ix;meanY+=datai-y;covMat11+=datai-x*datai-x;covMat12+=datai-x*datai-y;covMat22+=datai-y*datai-y;meanX/=dataSize;meanY/=dataSize;covMat11-=dataSize*meanX*meanX;covMat12-=dataSize*meanX*meanY;covMat22-=dataSize*meanY*meanY;covMat21=covMat12;if(covMat111e-12)nx=1.0;ny=0.0;else/lamda1isthelargesteigen-valueofthecovariancematrix/andisusedtocomputetheeigne-vectorcorrespondingtothesmallest/eigenvalue,whichisntcomputedexplicitly.doublelamda1=(covMat11+covMat22+sqrt(covMat11-covMat22)*(covMat11-covMat22)+4*covMat12*covMat12)/2.0;nx=-covMat12;ny=lamda1-covMat22;norm=sqrt(nx*nx+ny*ny);nx/=norm;ny/=norm;parameters.push_back(nx);parameters.push_back(ny);parameters.push_back(meanX);parameters.push_back(meanY);/*/*Giventhelineparametersn_x,n_y,a_x,a_ycheckif*n_x,n_ydotdata.x-a_x,data.y-a_ym_delta*通过与已知法线的点乘结果，确定待测点与已知直线的匹配程度；结果越小则越符合，为*零则表明点在直线上*/boolLineParamEstimator:agree(std:vector¶meters,Point2D&data)doublesignedDistance=parameters0*(data.x-parameters2)+parameters1*(data.y-parameters3);return(signedDistance*signedDistance)m_deltaSquared);RANSAC寻找匹配的代码如下：C代码/*/templatedoubleRansac:compute(std:vector¶meters,ParameterEsitmator*paramEstimator,std:vector&data,intnumForEstimate)std:vectorleastSquaresEstimateData;intnumDataObjects=data.size();intnumVotesForBest=-1;int*arr=newintnumForEstimate;/numForEstimate表示拟合模型所需要的最少点数，对本例的直线来说，该值为2short*curVotes=newshortnumDataObjects;/oneifdataiagreeswiththecurrentmodel,otherwisezeroshort*bestVotes=newshortnumDataObjects;/oneifdataiagreeswiththebestmodel,otherwisezero/therearelessdataobjectsthantheminimumrequiredforanexactfitif(numDataObjectsnumForEstimate)return0;/计算所有可能的直线，寻找其中误差最小的解。对于100点的直线拟合来说，大约需要100*99*0.5=4950次运算，复杂度无疑是庞大的。一般采用随机选取子集的方式。computeAllChoices(paramEstimator,data,numForEstimate,bestVotes,curVotes,numVotesForBest,0,data.size(),numForEstimate,0,arr);/computetheleastsquaresestimateusingthelargestsubsetfor(intj=0;jleastSquaresEstimate(leastSquaresEstimateData,parameters);deletearr;deletebestVotes;deletecurVotes;return(double)leastSquaresEstimateData.size()/(double)numDataObjects; 在模型确定以及最大迭代次数允许的情况下，RANSAC总是能找到最优解。经过我的实验，对于包含80%误差的数据集，RANSAC的效果远优于直接的最小二乘法。 RANSAC可以用于哪些场景呢？最著名的莫过于图片的拼接技术。优于镜头的限制，往往需要多张照片才能拍下那种巨幅的风景。在多幅图像合成时， 事先会在待合成的图片中提取一些关键的特征点。计算机视觉的研究表明，不同视角下物体往往可以通过一个透视矩（3X3或2X2）阵的变换而得到。 RANSAC被用于拟合这个模型的参数（矩阵各行列的值），由此便可识别出不同照片中的同一物体。可参考下图： 另外，RANSAC还可以用于图像搜索时的纠错与物体识别定位。下图中，有几条直线是SIFT匹配算法的误判，RANSAC有效地将其识别，并将正确的模型（书本）用线框标注出来：