RANSAC算法详解.doc

给定两个点p1与p2的坐标，确定这两点所构成的直线，要求对于输入的任意点p3，都可以判断它是否在该直线上。初中解析几何知识告诉我们，判断一个点在 直线上，只需其与直线上任意两点点斜率都相同即可。实际操作当中，往往会先根据已知的两点算出直线的表达式（点斜式、截距式等等），然后通过向量计算即可 方便地判断p3是否在该直线上。 

        生产实践中的数据往往会有一定的偏差。例如我们知道两个变量X与Y之间呈线性关系，Y=aX+b，我们想确定参数a与b的具体值。通过实验，可以 得到一组X与Y的测试值。虽然理论上两个未知数的方程只需要两组值即可确认，但由于系统误差的原因，任意取两点算出的a与b的值都不尽相同。我们希望的 是，最后计算得出的理论模型与测试值的误差最小。大学的高等数学课程中，详细阐述了最小二乘法的思想。通过计算最小均方差关于参数a、b的偏导数为零时的 值。事实上，在很多情况下，最小二乘法都是线性回归的代名词。 

        遗憾的是，最小二乘法只适合与误差较小的情况。试想一下这种情况，假使需要从一个噪音较大的数据集中提取模型（比方说只有20%的数据时符合模型的）时，最小二乘法就显得力不从心了。例如下图，肉眼可以很轻易地看出一条直线（模式），但算法却找错了。

        RANSAC算法的输入是一组观测数据（往往含有较大的噪声或无效点），一个用于解释观测数据的参数化模型以及一些可信的参数。RANSAC通过反复选择数据中的一组随机子集来达成目标。被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证： 

· 有一个模型适应于假设的局内点，即所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。
· 用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。
· 如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。
· 然后，用所有假设的局内点去重新估计模型（譬如使用最小二乘法），因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。
· 最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。
· 上述过程被重复执行固定的次数每次产生的模型要么因为局内点太少而被舍弃，要么因为比现有的模型更好而被选用。

        整个过程可参考下图： 

关于算法的源代码，Ziv Yaniv曾经写一个不错的C++版本，我在关键处增补了注释： 
C代码  
#include   
#include "LineParamEstimator.h"  

LineParamEstimator::LineParamEstimator(double delta) : m_deltaSquared(delta*delta) {}  
/****************************/  
/* 
 * Compute the line parameters  [n_x,n_y,a_x,a_y] 
 * 通过输入的两点来确定所在直线，采用法线向量的方式来表示，以兼容平行或垂直的情况 
 * 其中n_x,n_y为归一化后，与原点构成的法线向量，a_x,a_y为直线上任意一点 
 */  
void LineParamEstimator::estimate(std::vector &data,   
                                                                    std::vector ¶meters)  
{  
    parameters.clear();  
    if(data.size()<2)  
        return;  
    double nx = data[1]->y - data[0]->y;  
    double ny = data[0]->x - data[1]->x;// 原始直线的斜率为K，则法线的斜率为-1/k  
    double norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);  

    parameters.push_back(nx/norm);  
    parameters.push_back(ny/norm);  
    parameters.push_back(data[0]->x);  
    parameters.push_back(data[0]->y);          
}  
/*****************************************************************************/  
/* 
 * Compute the line parameters  [n_x,n_y,a_x,a_y] 
 * 使用最小二乘法，从输入点中拟合出确定直线模型的所需参量 
 */  
void LineParamEstimator::leastSquaresEstimate(std::vector &data,   
                                                                                            std::vector ¶meters)  
{  
    double meanX meanY, nx, ny, norm;  
    double covMat11, covMat12, covMat21, covMat22; // The entries of the symmetric covarinace matrix  
    int i, dataSize = data.size();  

    parameters.clear();  
    if(data.size()<2)  
        return;  

    meanX = meanY = 0.0;  
    covMat11 = covMat12 = covMat21 = covMat22 = 0;  
    for(i=0; ix;  
        meanY +=data[i]->y;  

        covMat11    +=data[i]->x * data[i]->x;  
        covMat12    +=data[i]->x * data[i]->y;  
        covMat22    +=data[i]->y * data[i]->y;  
    }  

    meanX/=dataSize;  
    meanY/=dataSize;  

    covMat11 -= dataSize*meanX*meanX;  
        covMat12 -= dataSize*meanX*meanY;  
    covMat22 -= dataSize*meanY*meanY;  
    covMat21 = covMat12;  

    if(covMat11<1e-12) {  
        nx = 1.0;  
            ny = 0.0;  
    }  
    else {      //lamda1 is the largest eigen-value of the covariance matrix   
               //and is used to compute the eigne-vector corresponding to the smallest  
               //eigenvalue, which isn't computed explicitly.  
        double lamda1 = (covMat11 + covMat22 + sqrt((covMat11-covMat22)*(covMat11-covMat22) + 4*covMat12*covMat12)) / 2.0;  
        nx = -covMat12;  
        ny = lamda1 - covMat22;  
        norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);  
        nx/=norm;  
        ny/=norm;  
    }  
    parameters.push_back(nx);  
    parameters.push_back(ny);  
    parameters.push_back(meanX);  
    parameters.push_back(meanY);  
}  
/*****************************************************************************/  
/* 
 * Given the line parameters  [n_x,n_y,a_x,a_y] check if 
 * [n_x, n_y] dot [data.x-a_x, data.y-a_y] < m_delta 
 * 通过与已知法线的点乘结果，确定待测点与已知直线的匹配程度；结果越小则越符合，为 
 * 零则表明点在直线上 
 */  
bool LineParamEstimator::agree(std::vector ¶meters, Point2D &data)  
{  
    double signedDistance = parameters[0]*(data.x-parameters[2]) + parameters[1]*(data.y-parameters[3]);   
    return ((signedDistance*signedDistance) < m_deltaSquared);  
}  

RANSAC寻找匹配的代码如下： 

C代码  
/*****************************************************************************/  
template  
double Ransac::compute(std::vector ¶meters, ParameterEsitmator *paramEstimator, std::vector &data, int numForEstimate)  
{  
    std::vector leastSquaresEstimateData;  
    int numDataObjects = data.size();  
    int numVotesForBest = -1;  
    int *arr = new int[numForEstimate];// numForEstimate表示拟合模型所需要的最少点数，对本例的直线来说，该值为2  
    short *curVotes = new short[numDataObjects];  //one if data[i] agrees with the current model, otherwise zero  
    short *bestVotes = new short[numDataObjects];  //one if data[i] agrees with the best model, otherwise zero  

              //there are less data objects than the minimum required for an exact fit  
    if(numDataObjects < numForEstimate)   
        return 0;  
        // 计算所有可能的直线，寻找其中误差最小的解。对于100点的直线拟合来说，大约需要100*99*0.5=4950次运算，复杂度无疑是庞大的。一般采用随机选取子集的方式。  
    computeAllChoices(paramEstimator,data,numForEstimate,  
              bestVotes, curVotes, numVotesForBest, 0, data.size(), numForEstimate, 0, arr);  

       //compute the least squares estimate using the largest sub set  
    for(int j=0; jleastSquaresEstimate(leastSquaresEstimateData,parameters);  

    delete [] arr;  
    delete [] bestVotes;  
    delete [] curVotes;   

    return (double)leastSquaresEstimateData.size()/(double)numDataObjects;  
}  

        在模型确定以及最大迭代次数允许的情况下，RANSAC总是能找到最优解。经过我的实验，对于包含80%误差的数据集，RANSAC的效果远优于直接的最小二乘法。 

        RANSAC可以用于哪些场景呢？最著名的莫过于图片的拼接技术。优于镜头的限制，往往需要多张照片才能拍下那种巨幅的风景。在多幅图像合成时， 事先会在待合成的图片中提取一些关键的特征点。计算机视觉的研究表明，不同视角下物体往往可以通过一个透视矩（3X3或2X2）阵的变换而得到。 RANSAC被用于拟合这个模型的参数（矩阵各行列的值），由此便可识别出不同照片中的同一物体。可参考下图： 

        另外，RANSAC还可以用于图像搜索时的纠错与物体识别定位。下图中，有几条直线是SIFT匹配算法的误判，RANSAC有效地将其识别，并将正确的模型（书本）用线框标注出来：