数系扩充与复数引入.doc

第四节　数系的扩充与复数的引入
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[考纲传真]　1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．

1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量＝(a，b)．
3．复数代数形式的四则运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图4­4­1所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.

图4­4­1

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)
(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．(　　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　 (4)√
2.(教材改编)如图4­4­2，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是(　　)

图4­4­2
A．A B．B
C．C D．D
B　[共轭复数对应的点关于实轴对称．]
3．(2016·四川高考)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝(　　)
A．0　　　 B．2　　　
C．2i　　　 D．2＋2i
C　[(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.]
4．(2016·北京高考)复数＝(　　)
A．i B．1＋i
C．－i D．1－i
A　[法一：＝＝＝i.
法二：＝＝＝i.]
5．复数i(1＋i)的实部为________．
－1　[i(1＋i)＝－1＋i，所以实部为－1.]

复数的有关概念
　(1)(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则＝(　　)
A．1　　 B．－1
C.＋i D.－i
(2)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________.
【导学号：31222156】
(1)D　(2)－2　[(1)∵z＝4＋3i，∴＝4－3i，|z|＝＝5，
∴＝＝－i.
(2)由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.]
[规律方法]　1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可．
2．求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解．
[变式训练1]　(1)(2017·合肥二次质检)已知i为虚数单位，复数z＝的虚部为(　　)
A．－ B．－
C. D.
(2)设z＝＋i，则|z|＝(　　)
A. B.
C. D．2
(1)D　(2)B　[(1)复数z＝＝＝＝＋i，则其虚部为，故选D.
(2)z＝＋i＝＋i＝＋i，|z|＝＝.]

复数代数形式的四则运算
　(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
(2)(2016·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．
(1)C　(2)2　[(1)∵(z－1)i＝i＋1，∴z－1＝＝1－i，∴z＝2－i，故选C.
(2)∵(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，∴1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，∴＝2.]
[规律方法]　1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．
2．记住以下结论，可提高运算速度
(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)．
[变式训练2]　(1)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
(2)已知i是虚数单位，8＋2 018＝________.
(1)D　(2)1＋i　[(1)由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i，故选D.
(2)原式＝8＋1 009
＝i8＋1 009＝i8＋i1 009
＝1＋i4×252＋1＝1＋i.]

复数的几何意义
　(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
(2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　)
【导学号：31222157】
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
(1)A　(2)A　[(1)由题意知即－3＜m＜1.故实数m的取值范围为(－3,1)．
(2)∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(－2,1)即z2＝－2＋i，
∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.]
[规律方法]　1.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.
2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[变式训练3]　(2017·郑州二次质检)定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A　[由题意得z×1－2(1＋i)＝0，则z＝2＋2i在复平面内对应的点为(2,2)，位于第一象限，故选A.]

[思想与方法]
1．复数分类的关键是抓住z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部：当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；当a＝0，且b≠0时，z为纯虚数．
2．复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．
3．化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁．
[易错与防范]
1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．
2．两个虚数不能比较大小．
3．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，应注意a，b，c，d∈R的前提条件．
4．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．
课时分层训练(二十七)
数系的扩充与复数的引入
A组　基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·南昌一模)在复平面内，复数(1＋i)·i对应的点位于(　　)
【导学号：31222158】
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B　[复数(1＋i)i＝－＋i在复平面内对应的点为(－，1)，位于第二象限，故选B.]
2．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
A　[(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.]
3．(2016·山东高考)若复数z＝，其中i为虚数单位，则＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
B　[∵z＝＝＝＝1＋i，∴＝1－i.]
4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)
A．1　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D．2
B　[∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.]
5．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是 (　　)
A．若|z1－z2|＝0，则＝
B．若z1＝，则＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·＝z2·
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
D　[对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒＝，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋i，则|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，是假命题．]
6．若i为虚数单位，图4­4­3中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　) 【导学号：31222159】

图4­4­3
A．E B．F
C．G D．H
D　[由题图知复数z＝3＋i，
∴＝＝＝＝2－i.
∴表示复数的点为H.]
7．已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2019＝(　　)
【导学号：31222160】
A．1＋i B．1－i
C．i D．0
D　[z＝1＋＝1＋＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2019＝＝＝＝0.]
二、填空题
8．(2016·江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．
5　[因为z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5.]
9．已知a∈R，若为实数，则a＝________.
－　[＝＝＝＋i.
∵为实数，∴＝0，∴a＝－.]
10．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________.
【导学号：31222161】
　[∵|z－2|＝＝，
∴(x－2)2＋y2＝3.
由图可知max＝＝.]
B组　能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知复数z1＝－＋i，z2＝－－i，则下列命题中错误的是 (　　)
【导学号：31222162】
A．z＝z2
B．|z1|＝|z2|
C．z－z＝1
D．z1，z2互为共轭复数
C　[依题意，注意到z＝2＝－i＝－－i＝z2，因此选项A正确；注意到|z1|＝1＝|z2|，因此选项B正确；注意到＝－－i＝z2，因此选项D正确；注意到z＝z·z1＝2·＝＝1，同理z＝1，因此z－z＝0，选项C错误．综上所述，选C.]
2．设f(n)＝n＋n(n∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．无数个
C　[f(n)＝n＋n＝in＋(－i)n，
f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…，
∴集合中共有3个元素．]
3．已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m的值为________．
3或6　[∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，
∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，
∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，
解得m＝6或m＝3.]
4．已知复数z1＝cos 15°＋sin 15°i和复数z2＝cos 45°＋sin 45°i，则z1·z2＝________.
＋i　[z1·z2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i＝＋i.]