数系扩充与复数引入.doc

第四节数系的扩充与复数的引入考纲传真1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)(4)复数的模：向量的模r叫做复数zabi的模，即|z|abi|.2复数的几何意义复数zabi复平面内的点Z(a，b) 平面向量(a，b)3复数代数形式的四则运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR.z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.z1z2(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i.i(cdi0)(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图441所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.图4411(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(3)实轴上的点表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. ()答案(1)(2)(3) (4)2.(教材改编)如图442，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()图442AABBCCDDB共轭复数对应的点关于实轴对称3(2016四川高考)设i为虚数单位，则复数(1i)2()A0B2C2iD22iC(1i)212ii22i.4(2016北京高考)复数()AiB1iCiD1iA法一：i.法二：i.5复数i(1i)的实部为_1i(1i)1i，所以实部为1.复数的有关概念(1)(2016全国卷)若z43i，则()A1B1C.iD.i(2)i是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数a的值为_. 【导学号：31222156】(1)D(2)2(1)z43i，43i，|z|5，i.(2)由(12i)(ai)(a2)(12a)i是纯虚数可得a20,12a0，解得a2.规律方法1.复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi(a，bR)的形式，再根据题意列出实部、虚部满足的方程(组)即可2求复数模的常规思路是利用复数的有关运算先求出复数z，然后利用复数模的定义求解变式训练1(1)(2017合肥二次质检)已知i为虚数单位，复数z的虚部为()AB C.D.(2)设zi，则|z|()A.B. C.D2(1)D(2)B(1)复数zi，则其虚部为，故选D.(2)ziii，|z|.复数代数形式的四则运算(1)(2015全国卷)已知复数z满足(z1)i1i，则z()A2iB2i C2iD2i(2)(2016天津高考)已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_(1)C(2)2(1)(z1)ii1，z11i，z2i，故选C.(2)(1i)(1bi)1b(1b)ia，又a，bR，1ba且1b0，得a2，b1，2.规律方法1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式2记住以下结论，可提高运算速度(1)(1i)22i；(2)i；(3)i；(4)baii(abi)；(5)i4n1；i4n1i；i4n21；i4n3i(nN)变式训练2(1)已知1i(i为虚数单位)，则复数z()A1iB1iC1iD1i(2)已知i是虚数单位，82 018_.(1)D(2)1i(1)由1i，得z1i，故选D.(2)原式81 009i81 009i8i1 0091i425211i.复数的几何意义(1)(2016全国卷)已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3,1)B(1,3)C(1，)D(，3)(2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2() 【导学号：31222157】A5B5C4iD4i(1)A(2)A(1)由题意知即3m1.故实数m的取值范围为(3,1)(2)z12i在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(2,1)即z22i，z1z2(2i)(2i)i245.规律方法1.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b).2由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观变式训练3(2017郑州二次质检)定义运算adbc，则符合条件0的复数z对应的点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限A由题意得z12(1i)0，则z22i在复平面内对应的点为(2,2)，位于第一象限，故选A.思想与方法1复数分类的关键是抓住zabi(a，bR)的虚部：当b0时，z为实数；当b0时，z为虚数；当a0，且b0时，z为纯虚数2复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数3化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁易错与防范1判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义2两个虚数不能比较大小3利用复数相等abicdi列方程时，应注意a，b，c，dR的前提条件4注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来例如，若z1，z2C，zz0，就不能推出z1z20；z20在复数范围内有可能成立课时分层训练(二十七)数系的扩充与复数的引入A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1(2017南昌一模)在复平面内，复数(1i)i对应的点位于() 【导学号：31222158】A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限B复数(1i)ii在复平面内对应的点为(，1)，位于第二象限，故选B.2(2016全国卷)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a()A3B2C2D3A(12i)(ai)a2(12a)i，由题意知a212a，解得a3，故选A.3(2016山东高考)若复数z，其中i为虚数单位，则()A1iB1iC1iD1iBz1i，1i.4(2016全国卷)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|()A1B.C.D2B(1i)x1yi，xxi1yi.又x，yR，x1，yx1.|xyi|1i|，故选B.5设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是 ()A若|z1z2|0，则B若z1，则z2C若|z1|z2|，则z1z2D若|z1|z2|，则zzD对于A，|z1z2|0z1z2，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z12，z21i，则|z1|z2|，但z4，z22i，是假命题6若i为虚数单位，图443中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是() 【导学号：31222159】图443AEBF CGDHD由题图知复数z3i，2i.表示复数的点为H.7已知复数z1，则1zz2z2019() 【导学号：31222160】A1iB1iCiD0Dz11i，1zz2z20190.二、填空题8(2016江苏高考)复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_5因为z(12i)(3i)3i6i2i255i，所以z的实部是5.9已知aR，若为实数，则a_.i.为实数，0，a.10已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值为_. 【导学号：31222161】|z2|，(x2)2y23.由图可知max.B组能力提升(建议用时：15分钟)1已知复数z1i，z2i，则下列命题中错误的是 () 【导学号：31222162】Azz2B|z1|z2|Czz1Dz1，z2互为共轭复数C依题意，注意到z2iiz2，因此选项A正确；注意到|z1|1|z2|，因此选项B正确；注意到iz2，因此选项D正确；注意到zzz121，同理z1，因此zz0，选项C错误综上所述，选C.2设f(n)nn(nN*)，则集合f(n)中元素的个数为()A1B2C3D无数个Cf(n)nnin(i)n，f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0，集合中共有3个元素3已知集合M1，m,3(m25m6)i，N1,3，若MN3，则实数m的值为_3或6MN3，3M且1M，m1,3(m25m6)i3或m3，m25m60且m1或m3，解得m6或m3.4已知复数z1cos 15sin 15i和复数z2cos 45sin 45i，则z1z2_.iz1z2(cos 15sin 15i)(cos 45sin 45i)(cos 15cos 45sin 15sin 45)(sin 15cos 45cos 15sin 45)icos 60sin 60ii.