数理统计充分统计量.doc

充分统计量
教程
一、补充讲解条件分布
例题1：随机变量和相互独立,,，若已知发生，求此时的条件分布（比如，害虫产卵问题）
例题2：射击选手每次射击同样目标，每次击中的次数是总体,服从0－1分布，，现在进行测试（n次)，结果为
，已知总共击中次数次,求
。

例题2：随机变量和联合概率密度，证明，发生前提下，的条件概率密度为
证明：先求条件概率分布函数

因此
例题：已知包装机械包装白糖的各种可能重量（斤），包装n袋白糖的总重量t已知前提下，求的具体情形
对应的条件概率密度

二、充分统计量定义背景问题——统计数据收集效率:假如已经确定总体的分布是正态分布,所不知道的,是总体的期望和方差而已，那么，在做统计数据收集的时候，是否有必要把样本观察值的每个数据都详细记录下来？
另一方面，我们在使用统计量进行统计推断的时候，所用到的统计量是否把样本中感兴趣的问题的信息全部包含进来?比如，射击选手每次射击同样目标,每次击中的次数是总体，服从0－1分布，，我们感兴趣的是估计的值,假定现在进行测试（10次），结果为
，我们只记录总共击中次数次可以吗？总共击中8次是否已经包含的所有信息？换句话说，是否在已知击中8次前提下再去追究具体情况发生的概率已经不再包含的任何信息,即不再是p的表达式？
定义1：对于离散总体，(在这里可以是未知的参数向量，比如)，样本观察值为，统计量此时对应取值，若
与无关,则称为的充分统计量。（包含了的所有信息）
定义2：对于连续总体，（在这里可以是未知的参数向量，比如)，样本观察值为，统计量此时对应取值,若
时与无关，则称为的充分统计量。（包含了的所有信息)
三、因子分解定理：总体概率函数，样本,统计量为未知参数的充分统计量的充要条件是样本在已发生情形处的联合概率函数可以分解为和的函数与样本观察值的函数的乘积。
应用例题
P298 5.5.4＋5.5.5
定理证明：只就离散情况证明，必要性
与无关
因此

充分性
现在已知

因此

与无关

作业：就总体分别是P220表格随机变量各种情况,（除单点分布、卡方分布、柯西分布以外)，尝试找出未知参数的充分统计量