系统的稳定性分析.ppt

1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 0引言：引言：1、稳定性是控制系统的首要问题。、稳定性是控制系统的首要问题。2、经典理论判稳方法及局限性。、经典理论判稳方法及局限性。A、直接判定：单入单出系统中，基于特征方程的根是否都分布在复平面虚轴的左半部分，采用劳斯古尔维茨代数判据和奈魁斯特频率判据。局限性是仅适用于线性定常，不适用于非线性和时变系统。B、间接判定：方程求解对非线性和时变通常很难。1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 1线性系统稳定性分析的理论框架线性系统稳定性分析的理论框架 第一第一方法方法第二第二方法方法稳定性分析稳定性分析1892年俄国数学年俄国数学家李雅普诺夫家李雅普诺夫SISO的代数的代数分析方法分析方法解析解析方法方法Routh判据判据Houwitz判据判据根据根据SISO闭环特征闭环特征方程的系数判定系方程的系数判定系统的稳定性统的稳定性根据状态方程根据状态方程A阵判阵判定系统的稳定性定系统的稳定性 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 2 3、现代控制理论判稳方法：现代控制理论判稳方法：俄李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于各种系统。李雅普诺夫是俄国数学家、力学家。23岁大学毕业后留校工作，师从切比雪夫。35岁获博士学位并成为教授。43岁当选为圣彼得堡科学院通讯院士，而后分别当选为意大利国立林琴科学院，巴黎科学院外籍院士。李雅普诺夫是切比雪夫创立的彼得堡学派的杰出代表，他的建树涉及到多个领域，尤以概率论、微分方程和数学物理最有名。在数学中以他的姓氏命名的有：李雅普诺夫变换，李雅普诺夫曲线，李雅普诺夫曲面，李雅普诺夫数，李雅普诺夫随机算子等等。1857-1918 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 3 3、现代控制理论判稳方法：现代控制理论判稳方法：4、本章内容：李氏第二法及其应用。本章内容：李氏第二法及其应用。李氏第二法：直接判稳。思路：构造一个李氏函数 V(x)，根据 V(x)的性质判稳。对任何复杂系统都适用。李氏第一法：先求解系统微分方程，根据解的性质判稳间接法 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 44.1 基本定义基本定义一、系统：几个稳定性概念几个稳定性概念 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 5 如果对于所有t 总存在着则称为系统的平衡状态。定义 平衡状态：对于动态系统 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 6 从定义可知,平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点(状态)。由于导数表示的状态的运动变化方向,因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态,如图所示。平衡状态的个数？1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 7如果 A 非奇异，则原点是系统唯一的平衡状态如果 A 奇异阵，则有无穷多个平衡点(1)线性定常系统(2)非线性系统平衡点 不只一个，可能有多个例系统 中，有几个平衡点？皆为系统的平衡点若xe为系统的平衡点，则 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 8三、范数：三、范数：衡量（度量）状态空间距离的大小向量 x 的长度称为向量 x 的范数：1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 9李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定在 f 作用下，x 偏离 xe 有三种有界x xe 无界系统稳定的分类：1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 10 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 11 李雅普诺夫稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态邻域的局部稳定性，即小范围稳定性。系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要 就是李雅普诺夫稳定的，而经典控制理论则认为不稳定。上述稳定性定义只强调了系统在稳定平衡态附近的解总是在该平衡态附近的某个有限的球域内,并未强调系统的最终状态稳定于何处。1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 12 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 13稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域S(xe,)，至于在球域内如何变化不作任何规定。而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。从工程意义来说,渐近稳定性比经典控制理论中的稳定性更为重要。由于渐近稳定性是个平衡态附近的局部性概念,只确定平衡态渐近稳定性,并不意味着整个系统能稳定地运行。对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明：对于李雅普诺夫渐近稳定性，还有如下说明：1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 14非线性系统，多个xe线性只要渐近稳定（只有一个xe)一定是整个状态空间的渐近稳定。xe 是渐近稳定，且其渐近稳定范围是整个状态空间。3、大范围渐近稳定、大范围渐近稳定 如果平衡状态 xe是稳定的，而且从所有初始状态出发的轨迹线都具有渐近稳定性，则称这种平衡状态 xe 大范围渐近稳定。1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 15 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 4.2 李雅普诺夫第一法4.2.1 线性系统的稳定判据线性定常系统（1）平衡状态 渐近稳定的充要条件是矩阵 A 的所有特征值均具有负实部。以上讨论的都是指系统的状态稳定性状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，往往更重视系统的输出稳定性输出稳定性。如果系统对于有界输入 所引起的输出 是有界的，则称系统为输出输出稳定稳定。线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传递函数：1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 17 试建立如图所示的小车-倒立摆系统的状态空间模型。假设小车和摆仅在一个平面内运动，其不考虑磨擦、摆杆的质量和空气阻力。解：建立平衡方程的极点全部位于s 的左半平面。应用：倒立摆 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 18设 M=1，m=0.1，l=1 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 19 a=0 1 0 0;0 0-1 0;0 0 0 1;0 0 11 0a=0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 11 0 eig(a)ans=0 0 3.3166 -3.3166系统矩阵存在正极点，系统不稳定 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 4.2.2 非线性系统的稳定性设系统的状态方程为：为其平衡状态；为与 同维的矢量函数，且对工具有连续的偏导数。为讨论系统在 处的稳定性，可将非线性矢量函数 在 邻域内展成泰勒级数，得：1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 式中，为级数展开式中的高阶导数项。而称为雅可比(Jacohian)矩阵。若令 ，可得系统的线性化方程：1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 在一次近似的基础上，李雅普诺夫给出下述结论：1)如果线性化后系数矩阵 A 的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统式在平衡状态 是渐近稳定的，而且系统的稳定性与 无关。2)如果 A 的特征值，至少有一个具有正实部，则原非线性系统的平衡状态 是不稳定的。3)如果 A 的特征值，至少有一个的实部为零。系统处于临界情况，那么原非线性系统的平衡状态 的稳定性将取决于高阶导数项 ，而不能由A的特征值符号来确定。1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 23能量函数能量函数小干扰小干扰具有一定势能具有一定势能势能、动能和热能势能、动能和热能相互转化相互转化趋向平衡点趋向平衡点能量为零能量为零 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 24能量函数能量函数1、如图所示的电路，L和C为两个储能元件，电路平衡后，令 u(t)=0。解：由电路性质得 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 25设初始状态 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 26电感储存的能量电容储存的能量电路中的总能量能量随着时间的推移的变化率考察电路存储的能量 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 27讨论：如果 R=0,i,uc相互振荡，总量不变。如果 R0，,能量逐渐减小,最终趋向于0。最终结果基本思想：从能量的观点，如果一个系统是渐近稳定的，其系统中储存的能量趋向于零关键问题：如果找到一个完全表示系统能量的函数 V(x)？表明系统趋向于平衡点，渐近稳定 1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 28虚构能量函数虚构能量函数 V(x)李氏函数李氏函数 既可以描述物理系统，又可描述社会系统，满足3个条件：1、V(x)为任一标量函数，x为系统的状态变量，是 t 的函数2、V(x)是正数（正定的）反映能量的大小3、连续一阶偏导，反映能量变化速度的大小，负值为能量减小李氏直接法：利用 的符号性质来直接判断系统在平衡点是否稳定。1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 29（一）标量函数（一）标量函数 V(x)的符号、性质的符号、性质1、V(x)为正定是指：对所有在域中非零的 x,有 V(x)0，且在 x=0 处有 V(0)=0。2、V(x)为半正定是指：对所有在域中非零的 x,有 V(x)0，且在 x=0 处有 V(0)=0。问题：如何判断 的符号？1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 30例：判断下列函数的正定性：解：1、V(x)是正定的，只有 x=0 时，才有 V(x)=0 2、在 x=0 之外还存在向量 x，使 V(x)=0，如因此 V(x)为半正定。1李李氏氏意意义义下下的的稳稳定定 2 3 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 31 3、V(x)为负定是指：除V(0)=0 之外，所有非零的 x 都使 V(x)，代入IPPGGT-=-解：设是正定的，IQ100010001=3线线性性系系统统稳稳定定性性分分析析 1 2 4厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 63三、线性时变系统稳定性分析 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 644.4 李雅普诺夫稳定性理论的应用李雅普诺夫稳定性理论的应用思想：不稳定系统（校正）稳定 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 65 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 66 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 67由系统的模拟框图得到系统的状态方程：系统的状态转移矩阵为系统自由运动的状态轨迹为运动轨迹有界，但不趋向于原点，属于李氏稳定 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 68选取李氏函数为则若要使系统渐近稳定，要求 负定选取此时，负定，在控制作用下，系统变得渐近稳定系统本身不是渐近稳定，但可以通过适当的控制规律u，使闭环系统渐近稳定。4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 69引入状态反馈后，系统的模拟框图为 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 70系统动态性能估算系统动态性能估算 渐进稳定系统时间常数的估计系统的能量系统能量的衰减速度定义：设原点是系统的平衡状态，且系统在该平衡状态下是稳定的，则系统趋向于平衡状态的快速性能指标为：由上式得：的大小决定了 V(x)衰减的速度 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 71由于：设 P 的特征值中，最大值 最小值则：同样，Q 的特征值中，最大值 最小值则：4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 72由于：则：4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 73由上图，可见 随时间的衰减曲线总包含在2条特征曲线之间。从 到 所需的时间 ：利用上面2个等式，即可估算出衰减时间其中：4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 74利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题利用李雅普诺夫函数求解参数最优化问题(1)优化问题的描述：设系统调节参数使极小。(2)必须渐进稳定，否则问无解。为系统的可调参数为系统的性能指标 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 75(3)由知存在使得令由(4)注意到 P 是 的函数，调节 使 最小.于是系统的性能指标为：则 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 76例 5.3.3 给定系统达到最小值。其中试确定的值，使性能指标 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 77解解:由，知解得于是有：4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 78将代入上式，知求解 J 的极值，令于是得即表明当 等于该值时，使系统的性能 J 达到最小值 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 79求最优控制求最优控制 u求U最优保证系统渐近稳定，设 u=-kx 使二次型指标为最小。4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用 从前面分析可知，线性系统的稳定性具有全局性质，而且稳定判据的条件是充分必要的。但是，非线性系统的稳定性却可能只具有局部性质。4.5.1 雅町比(Jacobian)矩阵法 雅可比矩阵法，亦称克拉索夫斯基(Krasovski)法，二者表达形式略有不同，但基本思路是一致的。实际上，它们都是寻找线性系统李雅普诺夫函数方法的一种推广。设非线性系统的状态方程为：式中，为 维状态矢量；为与 同维的非线性矢量函数。4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 假设原点 是平衡状态，对 可微，系统的雅可比矩阵为：则系统在原点渐近稳定的充分条件是：任给正定实对称阵P P，使下列矩阵 4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 为正定的。并且是系统的一个李雅普诺大函数。如果当 时，还有 ，则系统在 是大范围渐稳定。4李李氏氏方方法法的的应应用用 1 2 3厦门大学机电系厦门大学机电系 第四章第四章 系统的稳定性分析系统的稳定性分析 Matlab在系统稳定分析中的应用在系统稳定分析中的应用函数lyap()的主要调用格式为P=lyap(A,Q)其中,矩阵A和Q分别为连续时间李雅普诺夫矩阵代数方程ATP+PA=-Q的已知矩阵,即输入条件;而P为该矩阵代数方程的对称矩阵解。在求得对称矩阵P后,通过判定P是否正定,可以判定系统的李雅普诺夫稳定性。