椭圆内接多边形最值问题.doc

(完整word)椭圆内接多边形最值问题昌吉学院 论文（设计）分类号：本科毕业论文(设计)密级：椭圆内接多边形的最值问题系 院 数 学 系 学科门类 理 学 专 业 数学与应用数学学 号 0825809031 姓 名 张 峰 指导教师 李 燕 教师职称 讲 师 2012年 05 月 10 日毕业论文原创性声明本人郑重声明:所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果或作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名： 年 月 日毕业论文版权使用授权书本毕业论文作者完全了解学院有关保存、使用毕业论文的规定，同意学院保留并向有关毕业论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅。本人授权本学院及以上级别优秀毕业毕业论文评选机构将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库以资检索,可以采用复印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本毕业论文.声明人签名： 导师签名： 年 月 日 年 月 日 摘 要在平面解析几何中,除直线、圆的相关性质外，主要内容还有椭圆、双曲线和抛物线的标准方程及其几何性质与几何意义。其中椭圆的相关性质在平面几何研究中占有重要地位。那么对其进行全面分析和研究具有实际的意义和重要价值。本文运用圆内接多边形的一些思想方法结合椭圆内接三角形的面积和周长的最值问题的相关结论和研究方式，讨论了椭圆内接四边形的面积和周长的最值问题、椭圆内接五边形面积的最值问题和椭圆内接多边形面积的最值问题及图形的尺规作图的方法，给出椭圆内接多边形面积最大值计算公式和椭圆内接多边形的周长最大值时是一个光反射多边形，并且更进一步的深入分析了椭圆内接最大面积三角形的最大周长及最小周长等等。最后，理论联系实际，给出应用举例,运用以上研究结论来解决相关问题。关键词：椭圆;内接;多边形；最值- -Ellipse inscribed polygon of the value problemAbstract In plane analytic geometry， in addition to linear, round related properties， main content and ellipse, hyperbola and parabola standard equation and its geometric properties and geometric meaning。 The ellipse properties of in plane geometry plays an important role in the study of。 So the comprehensive analysis and research is of practical significance and of great value.Key words： ellipse;inscribed；polygon s;value. This paper uses inscribed polygon with some concepts and methods of the combination of ellipse inscribed triangle area and perimeter of the value of the relevant conclusions and research methods, discuss the ellipse inscribed quadrilateral area and perimeter of the value problem, elliptic inscribed pentagons area the most value problems and ellipse inscribed polygon area of the most value problem and graphical ruler gauge construction method， gives the ellipse inscribed polygon area maximum value calculation formula and ellipse inscribed polygon perimeter maximum is a light reflection polygon， and further indepth analysis of the area of a triangle inscribed in a circle is the largest maximum circumference and minimal perimeter. Finally， linking theory with practice, gives the application example， using the above conclusion to solve related problems。Key words： Ellipse;Inscribed；Polygon s；Value目 录摘 要IAbstractII引 言11。椭圆内接三角形21.1椭圆内接三角形的最值及其构造21.2主要结论162。椭圆内接四边形172。1椭圆内接四边形的最值及其构造172。2主要结论213。椭圆内接五边形223。1椭圆内接五边形的最值及其构造223.2主要结论244.椭圆中内接多边形254.1椭圆内接多边形的最值及构造254.2主要结论265。应用举例28结 论32参 考 文 献33致 谢34- II -引 言椭圆是圆锥曲线的一种，其标准方程为。第一定义为：平面内与两定点、的距离的和等于常数的动点的轨迹叫做椭圆（其中为椭圆的左右焦点，为椭圆长半轴的长）。 第二定义为：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数（即椭圆的离心率，）的点的集合（定点不在定直线上，该常数为小于1的正数）其中定点为椭圆的焦点,定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是焦点在轴上或者焦点在轴上）。若一个三角形所有顶点在同一椭圆上,则该三角形为该椭圆的内接三角形；若一个四边形所有顶点在同一椭圆上,则该四边形为该椭圆的内接四边形若一个多边形所有顶点在同一椭圆上，则该多边形为该椭圆的内接多边形。本文将结合圆内接多边形的一些思想对椭圆内接三角形、椭圆内接四边形、椭圆内接五边形和椭圆内接多边形的最值问题进行研究。总结出了椭圆内接三角形、内接四边形的面积和周长取最值的结论，以及椭圆内接五边形和内接多边形的的最大面积。 1。椭圆内接三角形如果一个三角形所有顶点在同一椭圆上,则该三角形为该椭圆的内接三角形。圆是椭圆的特殊情况，对圆内接多边形的研究比较多，而对于椭圆内接多边形的研究甚少。首先对椭圆内接三角形的最值问题进行研究探索.1。1椭圆内接三角形的最值及其构造关于椭圆内接三角形的最值问题，先讨论椭圆内接三角的最大面积.一切研究从最简状态开始，由于圆是椭圆的特例，是两个焦点重合的椭圆。圆内接最大面积三角形是正三角形，其面积为（其中是圆的半径)。关于圆还有一个重要的结论:圆内接三角形是直角三角形的充要条件是该三角形的其中一条边恰为该圆的直径(如图1。1.1）。在中，过圆心的弦为直径，则和的斜率之积为定值1.图1.1。1 而在椭圆中也有类似相应的结论:性质1：坐标平面内，中心在原点，焦点在轴上的椭圆中一内接三角形的一条边若经过椭圆的中心，则该三角形另两条边所在直线的斜率之积为（特别地，若有一条边的斜率不存在，则另一条斜率必为0）。由此可得:设椭圆的方程为，,是两条不垂直于对称轴的直线，其中与椭圆交于、两点，斜率为；直线交椭圆于、两点，斜率为，和相交于。若，其中一条（这令为）必过椭圆的中心且相交弦的交点必为弦另一条(令为）的中点（如图1.1。2）.图1.1。2 当直线平行移动时，的中点轨迹就在直线上，且满足（如图1。1。3).图1.1.3 经分析可知，结论和结论互为逆命题，这两个结论转化为椭圆相交弦的一个性质： 性质2：坐标平面内,中心在原点,焦点在轴上的椭圆中一条不过中心弦恰被过椭圆中心的另一条弦平分的充要条件是这两条相交弦的斜率之积为（特别的,若一条斜率不存在,则另一条斜率必定为0）。而当两弦都过椭圆中心时，结论不一定成立。 除性质2外,还有一个有关于椭圆中相交弦之积等于的结论： 设弦为椭圆中过中心的弦，已知点为椭圆上不同于点和的任一点,设所在直线的斜率为，所在直线的斜率之积为，则（如图1.1。4）。图1。1.4 证明：由条件，设过椭圆中心的直线与椭圆的交点分别为、，点的坐标为，则可得,，则.以上关于圆与椭圆之间相交弦问题的类比，性质2就是将圆的一条性质：对于一个圆的直径与该圆的交点而言，过交点作圆的切线必与这条直径垂直,且与该切线平行弦都被这条直径垂直平分类比到了椭圆。定义:过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径。 对于椭圆内相交弦的斜率之积的结论,从而联想到了一道考试题，命题是尝试体现研究型试题的特征,考察学生能否在试题的启发下对一个特殊的结论进行推广，提出更一般化的命题证明。经简化，问题如下： 设过原点的弦交椭圆：于点、，定点坐标为,试求面积的最大值，并求此时所在直线的斜率； 对于上题的解答，当的面积取得最大值时，结论中直线的斜率和所在直线的斜率之间的关系。由此推广到点位置的一般情况或椭圆的一般情况. 解:（1），此时。 可提出如下较一般化的命题：设点和椭圆：，若过椭圆中心的直线与椭圆分别交于、两点.则当的面积取得最大值时，直线的斜率和所在直线的斜率满足。” 证明：设，由椭圆的对称性,可设，点到直线距离为。由此，所在直线方程为，故,其中可得.要使取得最大值，则必有，。 所以，此时必有而由题设，则当取得最大值时，。 所以,此时，可以验证,是以上结论的一个特例。从上述推广的结论中，再次发现了斜率之积为的身影,若将题目中给出的命题简化，则有：坐标平面内一定点与中心在原点，焦点在轴上的椭圆中一条过中心的弦所构造的三角形，当且仅当弦所在直线的斜率与该三角形中过定点的中线斜率之积为时,椭圆内接三角形的面积取最大值（如图1。1。5)。图1.1.5 探究:从性质研究到几何构造根据上述结论，问题转化到了椭圆的内接三角形中，可提出以下的猜想：椭圆的内接三角形当且仅当三条边和对应中线所在直线斜率之积都为时，该内接三角形面积最大.如图1.1。6，设椭圆:上三点坐标分别为、和,则椭圆内接三角形的面积为于是，本问题可等价转化为单位圆的内接三角形最大面积问题。图1。1.6 圆内接三角形最大面积为正三角形的证明可用琴声（Jensen）不等式解决.设圆半径为，内接三角形的三边分别为，对应角分别为.证：因为，由琴生不等式：若在区间内是一个上凸函数，则对于内任意个实数，有,当且仅当时等号成立.因为在区间内是一个上凸函数，则有， 于是当且仅当时,等号成立。 所以，当且仅当圆的内接三角形为正三角形时，面积最大，且最大值为。 于是,椭圆内接三角形的面积。 由此，可得到椭圆内接三角形的面积取最大值的结论：椭圆内接三角形面积的最大值为 接着,继续用圆内接三角形的性质来类比。由于最大面积的圆内接三角形必为正三角形,则该圆的圆心是内接三角形的重心.椭圆可由圆经过伸缩变换得到.不妨设坐标平面内，圆方程为，则根据变换公式，则可以将该圆方程变换为椭圆方程。设圆内接三角形三个顶点的坐标分别为:、,.经过变换之后，得到椭圆上三点、。 不难得到三角形的重心坐标为,即椭圆的中心；且此时的面积也为. 再由性质2，得：性质3：椭圆的内接三角形当且仅当其重心恰为椭圆中心时面积最大，最大值为.对于坐标平面内,中心在原点，焦点在轴上的椭圆中，此时三条边和其对应中线的斜率之积都为。根据以上相关性质性质和结论而设计的一种典型的尺规作图的方法：（1） 构造椭圆内两条平行弦、,由两弦中点连线做一条过椭圆中心的弦（说明：必为椭圆直径);（2） 在弦上作一四等分点，使得(说明:椭圆中心是弦中点）;（3） 过点作平行的弦；（4） 连接、。由性质3，可知三角形即为椭圆中最大面积的一个内接三角形（如图1.1.7).图1。1.7圆内接最大周长的三角形是正三角形,其最大周长是（其中是圆的半径）（如图1。1。8）。图1。1。8由于圆是椭圆的一种特殊情况，所以结合圆内接三角形的周长来研究椭圆内接最大周长的三角形.圆内接最大周长的三角形是正三角形，同时也是一个光反射三角形，即把圆当做一个镜面，从入射一束光，必由反射，又经反射回到点。称这样三角形为光反射三角形。那么椭圆内接三角形是否也是光反射三角形呢.设椭圆方程边有三个互不重合点分别对应为(为坐标里的角），若有反射特性，上是否也有反射特性（如图1。1.9)？图1.1.9 而三点均有反射特性的等价条件是:而且从任何两式可推算得第三式.把第一式代入第二式并消去。可得到和的关系，从而得出三点的坐标：坐标：；坐标：坐标：其中.于是我们能计算的最大周长不妨令，则，则则注意到，则。下面将构造一个特殊椭圆内接光反射如图1。1.10图1。1.10设椭圆，从点出发，做直线,它与椭圆交点为， （1。1）因为是光反射三角形,故它以轴为对称轴。所以的周长 求的最大值，令两边平方后，整理,得： （1。2) 将（1.2）式代入（1。1）式中，得到而 这里是为半焦距. 由此得到 下面，证明是光反射三角形。由对称性只要验证点有光反射特性即可。也就是说：点关于点的切线的对称点,必有三点共线。在点的切线方程为 （1。3)关的对称点，有 （1.4）将代入（1。4）得故所以，三点共线，即是光反射三角形。其周长 （1.5）上式乘以，得将此式代入(1。5）式得到，当时,代入得圆内接正三角形的周长,由此推出椭圆内接最大周长的三角形是一个光反射三角形，其周长，. 根据光反射三角形的原理,得出椭圆内接最大周长三角形的构造：（1）在椭圆上任取两个不重合点（不在同一坐标轴上)； （2）过其中一点（此处记做)做椭圆的切线； （3)做点关于对称的点记做点；（4） 过做直线交椭圆于；（5） 连接，则为椭圆内接最大周长的三角形。（如图1.1。11）图1。1。11当椭圆具有最大面积的三角形中,周长取最值的三角形是什么样的。下文以、分别表示循环和、循环积。设椭圆方程，是其一最大面积的内接三角形，利用仿射变换，椭圆将变为单位圆，。此时是内接于单位圆，且最大面积，它是等边三角形。这样可设它的各点的坐标为：。于是相应的.利用两点间距离公式算的：的周长,以下为便于计算,记：，。则。这样即： (1。6）下面求解满足(1.6)方程的所有的。记.方程（1。6)即，这样.展开就是：，将前面的式子代入得到： （1。7)记方程（1.7)左右两边的式子分别为，则:可算得：,于是；引理：，则有如下一系列恒等式（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8） ； 则其中,，.这样利用，即，代入方程（1.6）检验的是方程的全部解。从而不难得出周长函数具有周期，故要求其值域，只需考察，在此范围内函数只有一个极值点，又，,这两个值是最值。此时最大值时的三顶点坐标为：;取最小值时三顶点坐标为:这样的周长取最值的三角形共有4个，都是等腰的，并且它们的顶点就是椭圆的顶点.1.2主要结论 (1)当椭圆内接三角形的重心是椭圆的中心时,此时椭圆内接三角形的面积取最大值，其值为；(2）当椭圆内接三角形周长取最大值时，它内接三角形是一个光反射三角形时，其周长最大值为，其中。（3）椭圆具有最大面积的内接三角形中，周长最大、最小的三角形是等腰的,(各有2个)其一顶点在椭圆长轴端点时，最小周长；一顶点在椭圆的短轴点时,最大周长.2。椭圆内接四边形 在椭圆内接三角形的最值问题的研究之后，下面来研究椭圆中内接四边形最值的问题及相关图形的构造。2.1椭圆内接四边形的最值及其构造 首先，研究椭圆内接四边形的最大面积问题。由圆的相关结论知道:圆内接四边形最大面积为正方形，如图2.1.1。类比椭圆中的内接四边形结论有：图2.1。1性质4:坐标平面内,当且仅当中心在原点、焦点在轴上的椭圆的一个内接四边形的对角线交点为椭圆的中心，且对角线所在直线的斜率之积和该四边形相邻两边所在直线的斜率都为时,椭圆的内接四边形面积取最大值.证明：首先椭圆内接四边形面积的最大值为，其特殊情形即为椭圆四个顶点构成菱形面积为。如图2。1.2，设椭圆方程为，由椭圆的对称性可知内接四边形对角线交点为椭圆中心。设，,.因为.故.由题设，故当且仅当时等号成立。图2.1。2如图2.1。3，由椭圆参数方程的定义可知，而可得，即。对于此时的点和点,有，所以。图2.1。3综上可知，性质4正确。特别地，当或为时,四边形即为由椭圆四个顶点构成的菱形，亦满足，即，故将此视作相交弦中有斜率不存在情况的特例.在性质4的基础上，可提出椭圆内接最大面积的四边形的尺规作图方法:（1） 先构造椭圆内两条平行的弦、，由两弦的中点连线作一条过椭圆中心的弦（椭圆的直径）；（2） 作的中点，即为椭圆的中心；（3） 过点作平行于的弦;（4） 顺次连接、和.此时的椭圆内接四边形即为椭圆中最大面积的一个内接四边形 （如图2。1。4）。图2。1。4 其次讨论椭圆内接四边形的最大周长，在肖文强的数学的证明一书中，提出了关于椭圆内接最大周长多边形必为光反射多边形的观点，结合这一点给出椭圆内接四边形的最大周长值及其图形的构造方法。圆内接四边形最大周长的是正方形，它的最大值是（其中是圆半径）（如图2。1。5）.图2。1.5结合椭圆内接最大周长三角形的构造思想，得出椭圆内接周长最大的四边形是菱形，并且也是光反射图形。那么下面构造一个椭圆内接光反射四边形（如图2。1。6）.图2.1.6设椭圆方程为，点关于椭圆中心的对称点为，所在直线方程为，由于菱形的对角线互相垂直平分，所以四边形另外两点是与垂直且过椭圆中心的直线与椭圆交于两点，则四点坐标分别为、，则四边形的周长 (2.1) 又因为可将椭圆方程的标准形式化简成参数形式,所以可以令，则（2.1）又可以写成.当时，内接四边形的面积为，即圆内四边形面积为最大值。由此得出椭圆内接四边形周长的最大值为。 根据光反射原理,给出椭圆内接最大周长四边形的尺规构造方法：（1） 在椭圆边上任取一点记做点;（2） 过椭圆中心及点做一条直线，与椭圆交于异于点的点记做；（3） 过椭圆中心做一条与垂直的直线与椭圆交于、两点；（4） 顺次连接、（如图2.1。7）。图2。1.7 综上所述，椭圆内接最大面积的四边形和椭圆内接最大周长的四边形，它们的对角线的交点都是椭圆中心，且互相垂直,这种联系充分说明当椭圆内接四边形面积取最大值时,椭圆内接四边形的周长也最大;当椭圆内接四边形的周长取最大值时，椭圆内接四边形面积也取最大值.2。2主要结论（1） 椭圆内接四边形取最大面积(或最大周长)当且仅当四边形为菱形；（2） 当四边形的两条对角线垂直且交点是椭圆的中心时，椭圆内接四边形的面积取最大值,其值为；（3） 椭圆内接四边形周长取最大值时，四边形是一个光反射四边形,其周长值为；（4） 椭圆内接四边形面积（或周长）取最大值时,也是椭圆内接四边形周长（或面积)取最大值;（5） 椭圆内接正方形有且只有一个，并且正方形的边与坐标轴平行，同时也是椭圆内接正方形面积(或周长）的最大者。3.椭圆内接五边形 结合椭圆内接三角形和内接四边形面积的研究思想，以及圆内接最大面积五边形的相关结论，接下来对椭圆内接五边形的面积进行研究。3。1椭圆内接五边形的最值及其构造 由圆的相关结论知道：圆内接五边形最大面积是正五边形,类比到椭圆内接五边形结论有：性质5：坐标平面内，当且仅当中心在原点、焦点在轴上的椭圆的一个内接五边形的中线交点为椭圆的中心，且中线所在直线的斜率之积和该中线所对应五边形边的斜率都为时,椭圆内接五边形面积取最大。椭圆内接五边形面积的最大值为,其特殊情形即为椭圆五个顶点所在圆的圆周角五等分时所构成椭圆内接五边形的面积为。如图3.1.1，设椭圆方程为，由椭圆的对称性可知内接平行五边形中线交点为椭圆中心。设，.因为,故.由题设，,故当且仅当时等号成立。图3。1。1如图3.1.2,由椭圆参数方程的定义可知,，而可得，即。对于此时的点和点，有，图3.1.2所以。综上可知，性质5正确。特别地，当或为时，五边形即为由椭圆上五个顶点构成的五边形，亦满足，即，故我们将此视作相交弦中有斜率不存在情况的特例.但是椭圆内接五边形不可能是正五边形.根据上述情况，现给出椭圆内接最大面积五边形的构造方法：（1） 在椭圆内,以椭圆中心为原点，任意长度为半径画一个圆；（2） 运用圆的尺规作图法，将该圆五等份；（3） 分别连接，并延长与椭圆分别交于、；（4） 顺次连接椭圆上五点，所得五边形为最大面积的椭圆内接五边形（如图3.1。3）。图3。1。33。2主要结论（1） 当以椭圆中心为圆心任意长为半径的圆的圆周角五等分时，椭圆中心与圆五等分点的连线延长并与与椭圆相交时，椭圆上五点连线所构成的椭圆内接五边形面积取最大值，其值为；（2） 椭圆内接最大面积的五边形有无数多个，因椭圆上任意一点到椭圆中心的距离相等的不超过4条,即椭圆中不存在边数超过4的正多边形。所以椭圆内接五边形不可能存在正五边形。4。椭圆中内接多边形 在研究了椭圆内接三角形、内接四边形和内接五边形的最大面积问题之后，接下来讨论更一般的椭圆内接边形的最大面积问题。有关椭圆内接边形的最大周长及其图形构造问题可以作为下一步研究的目标。4.1椭圆内接多边形的最值及构造定理1以长短半轴分为的椭圆内接边形的面积有以下不等式.证明:设椭圆的参数方程为,内接边形的各顶点依次是，且有，它们与原点构成个三角形，的面积为,则有 = 而，注意到,令,于是，椭圆内接边形的面积为，,即求满足下上式的最大值。 借助乘数法，引入函数，有解出可得，再代入可得。根据上述情况，现给出椭圆内接最大面积多边形的构造方法: （1）在椭圆内，以椭圆中心为原点,任意长度为半径画一个圆; （2）运用圆的尺规作图法，将该圆等份； (3）分别连接，并延长与椭圆分别交于顺次连接椭圆上点，即所求多边形为最大椭圆内接多边形(如图3.1.4)。图3.1。44。2主要结论(1）当椭圆内接多边形或时，椭圆内接多边形中存在正多边形；当椭圆内接多边形时，椭圆内接多边形不存在正多边形；（2)椭圆的内接边形若满足条件:以任意顶点为一端点的椭圆直径的共轭直径，平行于此顶点相邻的两顶点为端点的弦,则这样的边形面积最大，其值为；(3）当，得出椭圆的面积公式。通过椭圆内接三角形和椭圆内接四边形的最大周长发现，椭圆中内接多边形周长取最大值时，椭圆内接多边形一定是一个光反射的多边形，并且当椭圆内接多边形是光反射的多边形也一定是椭圆内接最大周长的多边形。而对于椭圆内接五边形和椭圆内接多边形的最大周长在本文中没有做出详细研究，由于通过对椭圆内接最大周长三角形的证明我们发现证明的篇幅比较大，且计算量也比较大，若对其进行深入研究，可以得出其中的相关结论和性质，当然这是本文不足之处,也是今后研究椭圆的一项重要内容。5。应用举例例1.椭圆和点，设该椭圆有一关于轴对称的内接正三角形,使得为其一顶点，求该正三角形的边长.解：设正三角形其他两个顶点分别为，则，虽然最后能将结果计算出来，但是运算出来比较麻烦，甚至出现错误；同时也发现该解答没有用到对称的题设.结合论文的有关性质和结论,以及题设,知道所在直线与轴平行,令与轴交点为,由于是正三角形,则,即，其中，由此得，从而,即得，由于，所以，则三角形的边长为。例2.设四点都在椭圆上，已知与，与共线,且，求四边形的面积的最大值与最小值。解:。即.当或中有一条直线垂直于轴时，另一条直线必垂直于轴。不妨设轴,则轴。的方程为：，的方程为：分别代入椭圆中得：。当都不与坐标轴垂直时，设的方程为,代入椭圆中得, .同理可得：。（当且仅当即时，取等号）。又此时。综上可知:.例3. 设是椭圆的左右焦点，经过和作两条互相垂直的直线分别于椭圆相交于和，求四边形的面积最小值.解：因为，所以两焦点为。设直线的倾斜角为，则的直线的方程为,代入方程得 （5.1）由题意及弦长公式得 （5.2）又（5。1)中判别式.所以（5.1）式有根。将方程(5.1）的两根之和与之积代入（5。2）得 （5。3）因为，的倾斜角为,所以得倾斜角为，则直线的方程为,仿上述的方法得 (5。4）由题意及面积分割求和只四边形的面积因为，所以,即。故时，.例4。设椭圆方程的顶点为、，焦点为、，。（1） 求椭圆 方程；（2） 求的面积。解：由知, (5。5)又可得 （5.6) （5。7)有(5.1)、(5。2）、（5.3）解得，即椭圆方程为（2） 因为，, ，所以。通过以上发现在解题的过程当中,存在一定的技巧和合理的解题方法.在例1中运用对称性和本文相关结论，为解题节省了不少时间，同时也提高了做题的准确率.在例2中如果椭圆的长半轴的长为，短半轴的长为，那么对角线互相垂直的交点弦的椭圆内接四边形的面积最小值为,最大值为.例3和例4运用椭圆内接四边形的相关性质求出椭圆内接四边形的最大面积和最小面积，准确无误.通过实例发现对于椭圆内接多边形的最值问题的研究,为运算过程中提供了一定的方法和技巧，同时为计算大大降低了时间和提高了运算的准确率，为运算结果验证提供了良好的依据.结 论本文是在阅读大量的资料及相关的文献的基础上,分别研究了椭圆内接三角形的最值结论及其图形构造方法，并且讨论了椭圆内接最大面积三角形中周长最值问题；研究了椭圆内接四边形的最值结论及其图形构造方法，推导出椭圆内接四边形的最大周长,及椭圆内接三角形和椭圆内接最大周长四边形的尺规作图法，同时讨论了椭圆内接最大周长四边形与椭圆内接最大面积四边形直接的联系等;研究了椭圆内接五边形的最大面积的结论及其尺规作图的方法。最后给出椭圆内接多边形的最大面积结论及其图形构造方法，即以任意顶点为一端点的椭圆直径的共轭直径，平行于以此顶点相邻的两顶点为端点的弦,则这样的边形的面积为定值，且该值为椭圆内接边形的最大值,且当时，椭圆内接多边形中不存在正多边形.并且根据相应的结论联系实际应用举例,给出详细解答过程，最后对所举例题进行分析总结。本文中所举的例子也不限于所给定的方法求解，解题过程中是没有固定的思维的。若能把椭圆内接多变形的最值计算方法与严谨态度运用到其它学科领域去解决相应的问题,那将是本文的直接目的.固然这些必须建立在椭圆内接多边形的相关理论的正确理解和熟练的运用的基础之上。在阅读了大量文献和资料及网络资料后，受到了一些启发，在此仅是站在自己的理解水平和角度上进行了探讨.通过对椭圆内接多边形最值的探讨,我们对椭圆内接多边形最值有了更加深入和全面的理解和掌握，并为初学者提供了一些有效的学习方法和思路，当然本文还有很多不足之处,对椭圆内接五边形，乃至多边形的周长没有进行详细的研究与讨论，这将成为在今后学习椭圆相关知识的重要研究方面之一，有待于进一步完善.参 考 文 献1 刘达.椭圆中面积最大的内接三角形和平行四边形的构造.中学数学J,2011年，6期：1922.2 刘飞才。探求椭圆内接边形面积的最大值.数学通讯J，2008年：35。3 肖文强。数学的证明M,大连理工大学出版社，2008年：178-181.4 陈鼎兴.数学思维与方法。东南大学出版社J，2001年：247-266。5 孙世宝。椭圆的最大面积内接三角形的周长最值问题.6 刘达。椭圆中面积最大的内接三角形和平行四边形的构造。中学数学J，2011年,6期:23.7 邵光华.关于椭圆内接正多边形个数的探索。数学教学J.2001年，5期：20-22。8 姚皖荣，罗钊。椭圆内接多边形的最大面积。成都大学学报（自然科学版）J。2008年,3期：204205。9 米其瑶.关于椭圆内接多边形面积的最大值问题.朝阳市教师进修学院J。2007年，4期：3。10 杨全超。椭圆内接多边形的最大值。中学数学研究J.2008年，4期：16。致 谢时光飞逝，转眼间,四年大学生活即将结束。经过四年的学习，尤其是近几个月的专心整理，毕业论文终于能够得以顺利完成，在此，我忠心地向我的指导老师李燕老师和各位老师表达我最深切的谢意.首先，要感谢我的指导老师李燕老师，李老师渊博的知识，扎实的理论功底，严谨的治学态度，科学的治学方法，独树一帜的研究风格都使我受益匪浅，印象颇深。尤其对我的论文，李老师对我的选题、开题、写作和修改的帮助，常使我有茅塞顿开的感觉，特别令我感动的是她在日常工作那么繁忙的情况下，只要一有时间就反复，逐字逐句，不厌其烦的阅读论文稿,并提出宝贵的看法和改进意见.使我开阔了研究思路，充实了知识结构,没有她的精心指导，这篇论文很难完成.其次，感谢昌吉学院数学系所有曾今为我们任课的老师，老师们的教会我的不仅仅是专业知识，更多的是对待学习，对待生活的态度。再次，感谢我的父母亲，他们是我力量的源泉,只要有他们不管遇到什么样困难，我都会害怕，感谢他们对我的支持和鼓励。最后,感谢那些与我朝夕相处了四年的同学，从遥远的家乡来到这个陌生的城市里,是你们和我共同维系着彼此之间的兄弟姐妹般的感情，维系着那份家的融洽,他们无论在生活还是在学习上都给了我很大的帮助和支持，再次向他们表达我衷心的感谢。总之，对老师,同学和家人再次致以我最衷心的感谢!教导过我的老师,你们的人格魅力永记我心间，身边的同学和朋友，有你们我的大学才算完整,寝室的密友，有了你们我的生活更加精彩。31