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初中数学知识点总结（精华）初中数学知识点总结（精华）第一章第一章 有理数有理数1 1、有理数的分类有理数的分类:负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2 2数轴数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3 3相反数相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0 的相反数还是 0；(2)相反数的和为 0 a+b=0.4 4、.绝对值绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的几何意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2)绝对值可表示为：或；绝对值的问题经常)0a(a)0a(0)0a(aa)0a(a)0a(aa分类讨论；5 5、互为倒数互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；注意：0 没有倒数；若 a0，那么的倒数是；若 ab=1 a、b 互为倒数aa16 6、有理数的四则运算有理数的四则运算：（1）有理数的加法法则：有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加为 0；0 与任何数相加都等于任何数（2）有理数减法法则：有理数减法法则：:减去一个数等于加上这个数的相反数（3）有理数的乘法法则：有理数的乘法法则：两个数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；0 乘以任何一个数都等于 0；多个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有偶数个时，积为正数，负因数有奇数个时，积为负数，再把各个因数的绝对值相乘（4）有理数的除法法则有理数的除法法则两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除；0 除以任何一个不为 0 的数都得 0；除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数7 7、有理数乘法的运算律有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.8 8、比较两个数的大小：比较两个数的大小：（1）负数 0 0 0，异号得负，异号得负 n).在应用时需要注意以下几点:法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且 0 不能做除数,所以法则中 a0.任何不等于 0 的数的 0 次幂等于 1,即)0(10aa任何不等于 0 的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的 p 次幂的倒数,即(a0,p 是正整数),ppaa18 8整式的除法整式的除法（1 1）单项式除法单项式单项式除法单项式:单项式相除单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；（2 2）多项式除以单项式多项式除以单项式:多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.cbamcmbmam)（9.9.分解因式分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式分解因式的一般方法分解因式的一般方法：1.提公共因式法 2.运用公式法 3.十字相乘法分解因式的步骤分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)十字相乘法可对二次三项式试一试；(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.1010、因式分解公式因式分解公式：平方差公式平方差公式；)(22bababa 完全平方公式完全平方公式222)2bababa（1111、特别记住：完全平方式有两个：22222-2babababa和 第十五章第十五章 分式分式1.1.分式分式：形如，A、B 是整式，且 B 中含字母叫做分式。BA2.2.（1）分式有意义的条件：；（2）当时，的值是 0BA0B00BABA3 3、分式的基本性质、分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。用式子表示为：（A,B,C 为整式，且 C0）CBCACBCABA4.4.约分约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为 1 的数）约去，这种变形称为约分。5.5.通分通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。6.6.最简分式最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式或整式。7.7.分式的四则运算分式的四则运算：（1）同分母分式加减法则同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为：cbacbca（2）异分母分式加减法则异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：bdbcaddcba（3）分式的乘法法则分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：bdacdcba（4）分式的除法法则分式的除法法则:(1).两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘：.cdbadcba8 8.分式方程分式方程的定的定义义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.9 9.分分式式方方程程的的解解法法:去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);按解整式方程的步骤求出未知数的值;验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).：使最简公分母为零的整式方程的根不是原方程的根（是增根），使最简公分母不为零的整式方程的根是原方程的根。（简称：一化二解三检验）第十六章第十六章 二次根式二次根式1 1、二次根式、二次根式：一般地，形如（a0）的代数式叫做二次根式。当 a0 时，a表示 a 的算术平方根,其中=0a02 2、理解并掌握下列结论理解并掌握下列结论：（1）是非负数（双重非负性）；（2）；)0(aa)0()2aaa（3）；)0()0()0()0()0()0(0)0(2aaaaaaaaaaaaaaa口诀：平方再开方，出来带“框框”3 3、二次根式的乘法、二次根式的乘法：，反之亦成立)0,0(baabba4 4、二次根式的除法、二次根式的除法：，反之亦成立)0,0(bababa5 5、满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式最简二次根式：（1)被开方数不含分母，（2）被开方数不含开得尽方的因数或因式。6 6、同类二次根式同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式。第十七章第十七章 勾股定理勾股定理 ACBD1.1.（1 1）勾股定理）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a2b2=c2。（2 2）勾股定理逆定理）勾股定理逆定理：如果三角形三边长 a,b,c 满足a2b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。2.2.定理定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。3.3.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）第十八章第十八章 四边形四边形 1.1.平行四边形定义平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2.2.平行四边形的性质平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分；平行四边形是中心对成图形，对角线的交点是对称中心。3.3.平行四边形的判定平行四边形的判定：.两组对边分别相等的四边1形是平行四边形.对角线互相平分的四边形是平行四边形；2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。4.注：平行四边形定义也是一种判定方法4.4.三角形的中位线的性质：三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。5.5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。6.6.矩形的定义矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。7.7.矩形的性质矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线互相平分且相等；矩形是轴对有两称图形，即经过对边中点的两条直线是对称轴。（也是中心对称图形）8.8.矩形判定定理矩形判定定理：.有一个角是直角的平行四边形叫1做矩形。.对角线相等的平行四边形是矩形。.有三个角是直角的四边形是23矩形。9.菱形的定义菱形的定义：邻边相等的平行四边形。10.10.菱形的性质菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是对称轴。（也是中心对称图形）321000.0kbbb 321000.0kbbb11.11.菱形的判定定理菱形的判定定理：.一组邻边相等的平行四边形是菱形。1对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边相等的四边形是菱形。2.3.12.12.（a、b 为两条对角线）=底高 abS21菱形13.13.正方形定义正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。14.14.正方形的性质正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。15.15.正方形判定定理正方形判定定理：（1）邻边相等的矩形是正方形。（2）有一个角是直角的菱形是正方形。或者先证一个四边形是矩形，再证一个四边形是菱形。反过来证也行1616、（1)顺次连接对角线互相垂直对角线互相垂直的四边形四边中点所得的中点四边形是矩形；（2）顺次连接对角线互相等对角线互相等的四边形四边中点所得的中点四边形是菱形。第十九章第十九章 一次函数一次函数1.1.一次函数一次函数：若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y=kx+b(k0)的形式,则称 y是 x 的一次函数(x 为自变量,y 为因变量)。特别地,当 b=0 时,称 y 是 x 的正比例函数。2.2.正比例函数一般式正比例函数一般式：y=kx（k 是常数且 k0）。3.3.正比例函数的图像和性质：正比例函数的图像和性质：正比例函数 y=kx（k0）的图象是一条经过原点的直线。（1）当 k0 时，直线 y=kx 经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大；当 k0 时,y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，对称轴左侧，y 随 x 增大而减小；对称轴右侧，y 随 x 增大而增大 当 a0 时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与 x 轴24bac有两个交点；（2）当=0 时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与 x 轴有24bac一个交点；（3）当0，当时，abx2；若 ar；（2）直线与O 相切d=r；（3）直线与O 相lll交dr）；（5）内含dR-r(Rr）。1 10 0.切切线线的的判判定定方方法法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。1 11 1.切切线线的的性性质质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。1 12 2、切切线线长长定定理理：从园外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。1 13 3.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。14.14.有关定理有关定理：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 （3）在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 （4）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 （5）园内接四边形对角互补1414、（1）正正 n n 边形的中心角边形的中心角=；（2）正 n 边形的中心角=它的一个外角=n3600n36001 15 5、圆圆的的计计算算公公式式：（1）圆圆的的周周长长；（2）圆圆的的面面积积d2RC；（3）扇扇形形弧弧长长；（4）扇扇形形面面积积；（5）2RS180RnlRRSl21360n2圆圆锥锥侧侧面面积积；（6）圆圆锥锥表表面面积积；（7）母侧lRS母圆锥全l rrS2；（8）rhS2圆柱侧22r2rhS圆柱全 第第二二十十五五章章概概率率初初步步1 1、确定事件确定事件：（1）必然发生的事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。（2）不可能发生的事件不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。2 2、随机事件随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。3 3、（1)统计概率的意义统计概率的意义：一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率会稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率。mn （2）古典概型概率的求法古典概型概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 中结果，那么事件 A 发生的概率为 P（A）=nm 4 4、概率的取值范围概率的取值范围：。1)(0AP（1）当 A 是必然发生的事件时，P（A）=1（2）当 A 是不可能发生的事件时，P（A）=0 5 5、求概率的方法求概率的方法：（1）列表法列表法：当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。(也可采用画树状图法）。（2)画树状图法画树状图法:当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。第二十六章第二十六章 反比例函数反比例函数 1.1.反比例函数反比例函数：形如 y（k 为常数，xkk0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k；1 kxyykx 2.2.图像图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线 y=x 和。对称中心是：原点xy3.3.性质性质:当 k0 时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内 y 值随 x值的增大而减小；当 k0 时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内 y 值随 x值的增大而增大。4.|k|4.|k|的几何意义的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。第二十七章第二十七章 相似相似 1.1.相似三角形相似三角形：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形叫做相似三角形。对应边的比叫做相似比。2.2.相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法:根据相似图形的特征来判断。（对应边的比相等，对应角相等）.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角1形与原三角形相似；（预备定理）.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三2角形相似；（“角角”）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三3.角形相似；（“边比角边比”）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；（“边边4.边比”）3.3.直角三角形相似判定定理直角三角形相似判定定理:.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角1形相似。（“斜边直角边比”）.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三2角形与原直角三角形相似，并 且分成的两个直角三角形也相似。4.4.相似三角形的性质相似三角形的性质:.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外1接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。相似三角形周长的比等于相似比。2.相似三角形面积的比等于相似比的平方。35 5、（1 1）位似图形的概念：）位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比（2 2）位似图形的性质：）位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数 1.1.RtABC 中(1)A 的对边与斜边的比值是AA 的正弦的正弦，记作 sinA A的对边斜边(2)A 的邻边与斜边的比值是AA 的余弦的余弦，记作 cosA A的邻边斜边(3)A 的对边与邻边的比值是AA 的正切的正切，记作 tanA A的对边A的邻边2.2.特殊值的三角函数：sincostan30301 12 23 32 23 33 345452 22 22 22 21 160603 32 21 12 23 33、解直角三角形时，所用关系解直角三角形时，所用关系：（1)边的关系边的关系：222cba（2)角的关系角的关系：090BA（3）边角关系边角关系：，cAasincbA cos，bAatancbB sincacosB atanbB 第二十九章投影与视图第二十九章投影与视图1 1、中心投影中心投影:从一个点发出的光线所形成的投影称为中心投影2 2、（1）平行投影平行投影:平行光线所形成的投影称为平行投影。（2）正投影正投影:当平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影。3 3、三视图的排列规则、三视图的排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图的长度一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，可简记为“长对正；高平齐；宽相等”。