几类积图的Sombor指标.pdf

几类积图的Sombor指标阿丽米热 吐尔洪，买吐肉孜 买司地克*，刘兆志（新疆师范大学 数学科学学院，新疆 乌鲁木齐 830017）摘要：Sombor指标是由Gutman在化学图论中引入的一种基于顶点度的新拓扑指标。文章讨论了路Pn与扇图Fm、轮图Wm，轮图Wn与扇图Fm、轮图Wm，扇图Fn与扇图Fm以及棒棒糖图Na,b、杠铃图Da,b,c和风筝图La,b与完全图Kn的笛卡尔积的Sombor指标，还研究了完全图、路、圈作直积、笛卡尔积、强积的Sombor指标，得出其确切的指标值以及关于积图的Sombor指标的关系式。关键词：Sombor指标；笛卡尔积；直积；强积中图分类号：O157.5文献标识码：A文章编号：1008-9659（2024）02-0017-09Vol.43，No.2Jun.2024第43卷 第2期2024年6月新疆师范大学学报（自然科学版）Journal of Xinjiang Normal University（Natural Sciences Edition）收稿日期 2023-08-08 修回日期 2023-10-29 基金项目 国家自然科学基金项目（11961070）；新疆少数民族科技人才特殊培养计划科研项目（2022D03002）。作者简介 阿丽米热 吐尔洪（1998-），女，硕士研究生，主要从事组合图论方面研究，E-mail：.*通讯作者 买吐肉孜 买司地克（1979-），男，副教授，主要从事组合图论方面研究，E-mail：.图的拓扑指标的研究是图论应用研究的一个热门领域，拓扑指标广泛应用于化学、物理等应用学科，它利用图的各项特性来描述及预测模型可能有的信息1。特别是分子拓扑指标，广泛应用于众多领域，在生物医学中，分子拓扑指标的值可以根据实际试验得出的相关结论预先确定，然后找到与指标值匹配的分子图，合成与分子图匹配的化合物。利用一些应用统计技术，通过相对应的系数、标准偏差等统计指标反映分子拓扑指标与分子物理化学性质之间的关联性，建立拓扑指标与物理化学性质之间的关系。通过研究拓扑指标可以反映化合物的内部结构，拓扑指标可用于确定化学晶体中的异构体。目前，科学家们越来越关注分子拓扑指标在制药过程中的应用。拓扑指标的种类越来越多，经常用的拓扑指标有第一、第二Zagreb指标2-3、Wiener指标4、Harary指标5等。目前，这些指标的研究是化学图论中比较热门的研究领域，文章将重点讨论一种基于顶点度的新的拓扑指标：Sombor指标6。文章图G是具有顶点集V()G和边集E()G的简单图，记图G=()V()G,E()G.图G中，边数记为e()G，点数（阶）记为v()G，G表示图G的最大度，G表示图G的最小度。dG()vi表示点vi在图G中的度数，Pt表示阶为t的路，Ct表示阶为t的圈，Kt表示阶为t的完全图。Sombor指标的灵感来自于边的度半径的几何解释，对于图G的Sombor指标SO（G）定义为SO(G)=vivj E(G)()dG()vi2+()dG()vj2Sombor指标自提出以来，学者们取得了很多新的成果。Singh等人主要研究了m-分裂图和正则图的m-影子图的Sombor指标7；Cruz等人确定了至多有三个分支顶点的树的Sombor指标的极值8；Tams等人得出了Sombor指标的一些界，并通过利用已有的结果建立了附加界，刻画出了新的图，它具有最大的Sombor指标，并提出了一个关于高圈度图的最大Sombor指标的猜想9；Milovanovic等人确定了有关Sombor指标的一些新的界以及它们与其他基于顶点度的指标关系，证明了Sombor指标的两个Nordhaus-Gaddum型不等式10；Cruz等人用Sombor指标在连通的化学图、化学树和六边形系统上刻画图的极值11。这种新的拓扑指标引起了化学图论研究人员的兴趣。17新疆师范大学学报（自然科学版）2024年一些特殊简单图的笛卡尔积的拓扑指标被众多学者研究。扇图和轮图的笛卡尔积在各种化合物的分析过程中具有重要作用12，因此研究各类图的笛卡尔积图的拓扑指标对各方面应用有重要的意义13。文章讨论了几类图的笛卡尔积、直积、强积的Sombor指标，并得出相关结论。Sombor指标与图的顶点度具有直接的联系，根据所要研究的图的结构特点，可以先通过观察一类图顶点较少的情况，再将其顶点特征推广到任意顶点数的情况，给出对应图边集的划分，最后总结出相应的结论。定义114 笛卡尔积：设G和H是两个简单图，定义为：V(GH)=V(G)V(H)，若顶点()u1,v1与顶点()u2,v2相邻当且仅当u1=u2且v1v2 E()H或v1=v2且u1u2 E()G（图1）。定义 215 直积：设G和H是两个简单图，定义为：V()G H=V()G V()H，若顶点()u1,v1与顶点()u2,v2相邻，当且仅当u1u2 E()G且v1v2 E()H（图2）。定义 316 强积：设G和H是两个简单图，定义为：V()GH=V()G V()H，若顶点()u1,v1与顶点()u2,v2相邻当且仅当u1u2 E()G，且v1v2 E()H，或u1=u2且v1v2 E()H或v1=v2且u1u2 E()G（图3）。图1 完全图K4与路P6的笛卡尔积K4P6图2 完全图K4与路P6的直积K4P6图3 完全图K4与路P6的强积K4P6定义417 轮图：Wn=Cn-1+v1，其中Cn-1表示为n-1阶的圈。设 G=Wn记轮心为v1，其他顶点依次标号为 v2,v3,.,vn；ei=v1vi,i=2,3,.,n；ei=vivi+1,i=2,3,.,n-1；en=vnv2（图4）。定义517 扇图：Fn=Pn-1+v1，其中 Pn-1表示为 n-1阶的路，v1为一个孤立点。设 G=Fn，记扇心为v1，其他顶点依次标号为v2,v3,.,vn；ei=v1vi,i=2,3,.,n；ei=vivi+1,i=2,3,.,n-1.定义6 风筝图：La,b表示将一个b+1阶路Pb+1连接在a阶完全图Ka上（图5）。18阿丽米热 吐尔洪，等：几类积图的Sombor指标定义7 棒棒糖图：Na,b表示将一个b+1阶路Pb+1连接在a阶圈Ca上（图6）。定义8 杠铃图：由两个互不相交的a阶圈Ca，b阶圈Cb和一个b+1阶路Pb+1()b 1，其中这两个圈Ca和Cb通过Pb+1连接，由Da,b,c表示（图7）。图4 轮图W9Pb+1Ka图5 风筝图Na,bCaPb+1图6 棒棒糖图La,bCaPb+1Cb图7 杠铃图Da,b,c1 路、扇图、轮图的笛卡尔积的Sombor指标本章将讨论不同阶的路、轮图、扇图之间作笛卡尔积的Sombor指标，并得出确切的指标值。定理1 图G=PnWm的Sombor指标为 SO()G=()11mn-9n-20m+142+22m2+2m+1 +()n-2()m-1m2+2m+26+2()m-141+2()m-1m2+16证明 v(G)=mn和 e()G=3mn-m-2n.图G的最小度G=4，最大度G=m+1，图G有2条边连接最大度点与m度点，()n-2()m-1条边连接最大度点与5度点，()2n-5()m-1条边连接5度点，2()m-1条边连接最小度点和5度点，2()m-1条边连接最小度点，2()m-1条边连接最小度点与m度点，()n-3条边连接最大度点，因此能得出图G的Sombor指标。如下所示：SO(G)=2()G()vi2+m2+()n-2()m-1()G()vi2+52+()2n-5()m-152+52 +2()m-1()G()vi2+52+2()m-1()G()vi2+()G()vj2+2()m-1()G()vi2+m2 +()n-3()G()vi2+()G()vj219新疆师范大学学报（自然科学版）2024年 =2()m+12+m2+()n-2()m-1()m+12+52+()2n-5()m-152+52 +2()m-142+52+2()m-142+42+2()m-142+m2+()n-3()m+12+()m+12 =22m2+2m+1+()n-2()m-1m2+2m+26+5()2n-5()m-12+2()m-141 +8()m-12+2()m-116+m2+()n-3()m+12 =()11mn-9n-20m+142+22m2+2m+1+()n-2()m-1m2+2m+26 +2()m-141+2()m-1m2+16定理2 图G=PnFm的Sombor指标为SO()G=()11mn-26n-20m+262+22m2+2m+1+2()n-2m2+2m+17+4m2+9 +2()m+n-541+2()m-316+m2+()mn-3n-2m+6m2+2m+26+40证明 v(G)=mn和 e()G=3mn-m-3n.图G的最小度G=3，最大度G=m+1，图G有2条边连接最大度点与m度点，2()n-2条边连接最大度点与4度点，()n-3条边连接最大度点，8条边连接最小度点和4度点，4条边连接最小度点和m度点，2()m+n-7条边连接4点，2()m+n-5条边连接4度点与5度点，()2mn-5m-7n+17条边连接5度点，2()m-3条边连接m度点和4度点，()mn-3n-2m+6条边连接最大度点和5度点，因此能得出图G的Sombor指标。定理3 图G=WnWm的Sombor指标为SO()G=()n-1()n+m-22+()m+22+()m-1()n+m-22+()n+22 +()n-1()m-1()m2+4m+40+n2+4n+40+()14mn-11n-11m+82证明 v(G)=mn和 e()G=4mn-2n-2m.笛卡尔积图G的最小度G=6，最大度G=m+n-2，这里具有()n-1条边连接最大度点与()m+2度点，()m-1条边连接最大度点与()n+2度点，()n-1()m-1条边连接最小度点与()m+2度点，()n-1()m-1条边连接最小度点与()n+2度点，2()n-1()m-1条边连接最小度点，()n-1条边连接()m+2度点，()m-1条边连接()n+2度点，因此有了笛卡尔积图G的Sombor指标的表达式。定理4 图G=WnFm的Sombor指标为 SO()G=2()()m+n-22+()n+12+()n+12+()n+22+()m-3()m+n-22+()n+22 +()n-1()m+n-22+()m+22+()14mn-34n-11m+222+2()n-1 (n2+2n+26+m2+4m+29+61)+()n-1()m-3()m2+4m+40+n2+4n+40证明 v(G)=mn和 e()G=4mn-3n-2m.图G的最小度G=5，最大度G=m+n-2，这里具有2条边连接最大度点与()n+1度点，()m-3条边连接最大度点与()n+2度点，()n-1条边连接最大度点与()m+2度点，()2n-2条边连接最小度点，()2n-2条边连接最小度点与6度点，()2n-2条边连接最小度点与()n+1度点，()2n-2条边连接最小度点与()m+2度点，()n-1()m-3条边连接()m+2度点与6度点，()n-1()m-3条边连接()n+2度点与6度点，()2mn-2m-7n+7条边连接6度点，2条边连接()n+1度点与()n+2度点，()n-1条边连接()m+2度点，()m-4条边连接()n+2度点，因此能得出图G的Sombor指标。定理5 图G=FnFm（图8）的Sombor指标为SO()G=()14mn-35n-34m+482+2()n+m-22+()n+12+()n+m-22+()m+12 +)()m+12+()m+22+()n+12+()n+22+()m-3()n+m-22+()n+22+()n-3 ()n+m-22+()m+22+4()m2+2m+17+n2+2n+17+()2m-6(m2+2m+2620阿丽米热 吐尔洪，等：几类积图的Sombor指标 +)n2+4n+29+()2n-6()n2+2n+26+m2+4m+29+()mn-3m-3n+9(m2-4m+40 +)n2+4n+40+()2n+2m-1261+841证明 v(G)=mn和 e()G=4mn-3n-3m.笛卡尔积图G的最小度G=4，最大度G=m+n-2，这里具有()m-3条边连接最大度点与()n+2度点，2条边连接最大度点与()n+1度点，2条边连接最大度点与()m+1度点，()n-3条边连接最大度点与()m+2度点，4条边连接最小度点与()m+1度点，()2m-6条边连接 5 度点与()m+1度点，2 条边连接()m+2度点与()m+1度点，()n-4条边连接()m+2度点，()2n-6条边连接 5度点与()m+2度点，()mn-3m-3n+9条边连接()m+2度点与 6度点，4条边连接()n+1度点与最小度点，2条边连接()n+1度点与()n+2度点，()2n-6条边连接()n+1度点与 5度点，()m-4条边连接()n+2度点，()2m-6条边连接 5 度点与()n+2度点，()mn-3m-3n+9条边连接()n+2度点与 6 度点，()2mn-7m-7n+24条边连接 6 度点，()2n+2m-12条边连接 6 度点和 5 度点，()2m+2n-16条边连接5度点，8条边连接5度点与最小度点，因此能得到图G的Sombor指标表达式。图8扇图Fn与Fm的笛卡尔积图FnFm2风筝图、杠铃图、棒棒糖图与完全图的笛卡尔积的Sombor指标本章讨论风筝图La,b与完全图Kn的笛卡尔积，杠铃图Da,b,c与完全图Kn和棒棒图Na,b与完全图Kn的笛卡尔积的Sombor指标，并得出确切的值。定理6G=La,bKn的Sombor指标为SO()G=12n()2na2+a3-6a2+n2a+bn2-6an+2bn-2n+10a+b-82+()na-a2()n+a2-6()n+a+5+n2n2+2na+a2-2a+2+n2n2+2n+1证明 v(G)=n()a+b和 e()G=12n()a2+an+bn-2a+b.笛卡尔积图G的最小度G=n，最大度G=n+a-1，这里具有12n()n-1条边连接最大度点，()na-n条边连接最大度点与()a+n-2度点，n条边连接最大度点和()n+1度点，12n()na+a2-n-4a+3条边连接()a+n-2度点，12n()bn-n+b-3条边连接()n+1度点，n条边连接最小度点与()n+1度点，12n()n-1条边连接最小度点，则笛卡尔积图G的Sombor指标为SO()G=12n()2na2+a3-6a2+n2a+bn2-6an+2bn-2n+10a+b-82 +()na-a2()n+a2-6()n+a+5+n2n2+2na+a2-2a+2+n2n2+2n+1定理7 图G=Da,b,cKn的Sombor指标为21新疆师范大学学报（自然科学版）2024年SO()G=12n()n2a+n2b+n2c-n2+2na+2nb+2nc-10n+a+b+c-132+6n2n2+6n+5证明 v(G)=n()a+b+c-1和 e()G=12n()na+nb+nc-n+a+b+c+1.图G的最小度G=n+1，最 大 度G=n+2，这 里 具 有n()n-1条 边 连 接 最 大 度 点，6n条 边 连 接 最 大 度 点 和 最 小 度 点，12n()na+a+nb+b+nc+c-3n-9条边连接最小度点，则图G的Sombor指标为SO()G=12n()n2a+n2b+n2c-n2+2na+2nb+2nc-10n+a+b+c-132+6n2n2+6n+5定理8 图G=Na,bKn的Sombor指标为SO()G=12n()an2+bn2+2an+2bn+a+b-8n-82+3n2n2+6n+5+n2n2+2n+1证明 v(G)=n()a+b和 e()G=12n()na+nb+a+b。图G的最小度G=n，最大度G=n+2，这里具有12n()n-1条边连接最大度点，3n条边连接最大度点与()G+1度点，12n()an+bn-2n+a+b-6条边连接()G+1度点，n条边连接最小度点与()G+1度点，12n()n-1条边连接最小度点，则图G的Sombor指标为SO()G=12n()an2+bn2+2an+2bn+a+b-8n-82+3n2n2+6n+5+n2n2+2n+13 直积图的Sombor指标本章讨论直积图的Sombor指标，并得出一般图与正则图的直积的Sombor指标与它的因子图的Sombor指标之间的关系式。定理9 设图G为n阶k-正则图，图H为任意图，则有SO()G H=nk2SO()H证明 设V()G=u1,u2,un，V()H=v1,v2,vm，E()G=uiuj|1 i,j n，E()H=vsvl|1 s,l m，则V()G H=uivs|1 i n,1 s m，E()G H=()uivs()ujvl|1 i,j n,1 s,l m，若dG()ui=k，则dG H()uivs=dG()uidH()vs=kdH()vs.令e1=()uivs()ujvl E()G H，则有e2=()ujvs()uivl E()G H，由此得出e()G H=2e()G e()H，并且dG H()uivs=dG H()ujvs，dG H()uivl=dG H()ujvl，所以SO()G H=()uivs()ujvl G HdG H2()uivs+dG H2()ujvl=2knk2vsvl HdH2()vs+dH2()vl=nk2SO()H4 完全图、圈、路的积图的Sombor指标本章将给出完全图与路、圈作直积、笛卡尔积、强积，路和圈作直积、强积所得到图的Sombor指标的准确表达式，并得出一般图的直积、笛卡尔积、强积的Sombor指标的关系式。定理10（1）SO()KnPm=2n2n2+2n+1+()12mn3+mn2+12mn-4n2-2n2；（2）SO()KnCm=12nm()m+1()n+12；（3）SO()Kn Pm=()2n3-4n2+2n5+()2n3m-4n2m-6n3+12n2+2nm-6n2，()m 2；（4）SO()Kn Cm=nm()m-2()n-12；（5）SO()KnPm=2n213n2-10n+2+()92n3m-3n2m-10n3+4n2+12nm2，()m 2；22阿丽米热 吐尔洪，等：几类积图的Sombor指标（6）SO()KnCm=12nm()3n-122；（7）SO()Pn Pm=417+()8m+8n-485+()8mn-24m-24n+802，()m,n 2；（8）SO()Cn Cm=8mn2；（9）SO()Cn Pm=8n5+()8nm-12n2，()m 2；（10）SO()PnPm=()32mn-78m-78n+2002+834+453+()6m+6n-3289，()m,n 2；（11）SO()CnCm=32mn2；（12）SO()CnPm=()32mn-78n2+6n89.证明（1）显然v(KnPm)=mn和 e()KnPm=12mn2+12mn-n，笛卡尔积图KnPm的最小度KnPm=n，最 大 度KnPm=n+1，该 图 含 有n2-n条 边 连 接 最 小 度 点，2n条 边 连 接 最 小 度 点 与 最 大 度 点，()12mn2+12mn-n2-2n条边连接最大度点，因此能得到图KnPm的Sombor指标表达式；（2）由文献7可知，若图G是n阶的k-正则图，则G的Sombor指标为SO()G=nk22，显然，图KnCm是一个mn阶的()n+1-正则图，所以SO()KnCm=12nm()m+1()n+12；（3）因为Kn Pm符合定理10的条件，Kn是n阶的n-1-正则图，因此直接代入 SO()Kn Pm=nk2SO()H=n()n-1225+2()m-32 =()2n3-4n2+2n5+()2n3m-4n2m-6n3+12n2+2nm-6n2，()m 2；（4）直积图Kn Cm是一个mn阶的()2n-2-正则图，所以SO()Kn Cm=nm()m-2()n-12；（5）v(KnPm)=mn和 e()KnPm=32mn2-n2-12mn，强积图KnPm的最小度KnPm=2n-1，最大度KnPm=3n-1，该图有n2-n条边连接最小度点，2n2条边连接最小度点与最大度点，()32mn2-4n2-12mn+n条边连接最大度点，因此能得到图KnPm的Sombor指标表达式；（6）强积图KnCm是一个mn阶的()3n-1-正则图，所以很容易就能得出SO(KnCm)=12nm()3n-122（7）v(Pn Pm)=mn和e()Pn Pm=2()m-1()n-1，直 积 图Pn Pm的 最 小 度Pn Pm=1，最 大 度Pn Pm=4，该图有4条边连接最小度点与最大度点，4条边连接2度点，()4m+4n-24条边连接2度点和最大度点，()2mn-6m-6n+18条边连接最大度点，因此能得到图Pn Pm的Sombor指标表达式；（8）因为Cn Cm符合定理 10 的条件，Cn是 2-正则图，因此直接代入SO()Cn Cm=nk2SO()Cm=n222m2=8mn2；（9）因为Cn Pm符合定理 10 的条件，Cn是 2-正则图，因此直接代入SO()Cn Pm=nk2SO()Pm=n2225+2()m-32=8n5+()8nm-12n2；（10）v(PnPm)=mn和e()PnPm=4mn-3m-3n+2，强积图PnPm的最小度PnPm=3，最大度PnPm=8，该图有 8 条边连接最小度点和 5 度点，4 条边连接最小度点与最大度点，()2m+2n-8条边连接 5 度点，()6m+6n-32条边连接 5 度点和最大度点，()4mn-11m-11n+30条边连接最大度点，因此能得到图PnPm的Sombor指标表达式；（11）强积图CnCm是一个mn阶的8-正则图，所以易得SO()CnCm=mn822=32mn2；23新疆师范大学学报（自然科学版）2024年（12）v(CnPm)=mn和 e()CnPm=4mn-3n，强积图CnPm的最小度CnPm=5，最大度CnPm=8，该图有2n条边连接最小度点，6n条边连接最小度点与最大度点，()4mn-11n条边连接最大度点，因此能得到图CnPm的Sombor指标表达式。定理11 设图G是连通的非平凡图，G=G1 G2 G3 Gn，则有SO()G i=1nSO()Gi证明 这里G1,G2,G3,Gn是图G的子图，即G=G1 G2 G3 Gn，这里图Gi()1 i n的边集E()Gi，E()G=E()G1+E()G2+E()G3+E()Gn，对于Gi()1 i n中的任意一点v V()Gi，必有v V()G，并且dG()v dGi()v，若边e=uv E()Gi，必有e E()G，在Gi中至少有一个顶点的度dGi()u小于G中该顶点的度dG()u，即dG()u dGi()u，则dG2()v+dG2()udGi2()v+dGi2()u，因为E()Gi E()G，所以SO()G SO()Gi，又因为E()G=E()G1+E()G2+E()G3+E()Gn，所以SO()G i=1nSO()Gi.推论1 设图G和图H是连通的非平凡图，则有SO()GH SO()G H+SO()GH证 明 因 为GH=()G H()GH，所 以E()GH=E()G H+E()GH，由 定 理 11 可 得SO()GH SO()G H+SO()GH.5 结论文章对一些积图特征进行研究，得出其Sombor指标的值，并得出几类积图的Sombor指标之间的关系式以及与因子图的Sombor指标之间的关系式。通过对扇图、轮图、完全图、风筝图、杠铃图、棒棒糖图等图的笛卡尔积的Sombor指标的研究，能直接得出准确Sombor指标值，对完全图、路、圈等图的直积、笛卡尔积、强积的观察研究，也能直接得出它们的Sombor指标值。研究各类图的拓扑指标必定有着较广阔的发展前景，也必将得到更进一步的研究和应用。参考文献：1 SCHULTZ H P.Topological Organic Chemistry.1.Graph Theory and Topological Indices of Alkanes J.Journal of Chemical Information and Computer Sciences，1989，29（03）：227-228.2 GUTMAN I，TRINAJSTI N.Graph Theory and Molecular Orbitals.Total-electron Energy of Alternant Hydrocarbons J.Chemical Physics Letters，1972，17（04）：535-538.3 GUTMAN I.Graph Theory and Molecular Orbitals.XII.Acyclic Polyenes J.Journal of Chemical Physics，1975，62（09）：3399-3405.4 DOBRYNIN A A，ENTRINGER R，GUTMAN I.Wiener Index of Trees：Theory and Applications J.Acta Applicandea Mathematicae，2001，66（03）：211-249.5 XU K，DAS K C.On Harary Index of Graphs J.Discrete Applied Mathematics，2011，159（15）：1631-1640.6 GUTMAN I.Geometric Approach to Degree-based Topological Indices：Sombor indices J.Match-Communications in Mathematical and in Computer Chemistry，2021，86（01）：11-16.7 SINGH R，PATEKAR S C.On the Sombor Index and Sombor Energy of M-splitting Graph and M-shadow Graph of Regular Graphs J.arXiv e-prints，2022，2205.09480.8 CRUZ R，RADA J，SIGARRETA J M.Sombor Index of Trees with at Most Three Branch Vertices J.Applied Mathematics and Computation，2021，409（15）：126-414.9 TAMS RTI，DOLI T，ALI A.On the Sombor Index of Graphs J.Contributions to Mathematics，2021，（03）：11-1810 MILOVANOVIC I，MILOVANOVIC E，MATEJIC M.On Some Mathematical Properties of Sombor Indices J.Bull.Int.Math.Virtual Inst，2021，11（02）：341-353.11 CRUZ R，GUTMAN I，RADA J.Sombor Index of Chemical Graphs J.Applied Mathematics and Computation，2021，399（15）：126018.24阿丽米热 吐尔洪，等：几类积图的Sombor指标12 WIENER H.Structural Determination of Paraffin Boiling Points J.Journal of the American Chemical Society，1947，69（01）：17-20.13 BAPAT R B，GUPTA S.Resistance Distance in Wheels and FansJ.Indian Journal of Pure and Applied Mathematics，2010，41（01）：1-13.14 IMRICH W，KLAVZAR S.Product Graphs：Structure and Recognition M.Hoboken：Wiley-Interscience Imprint，2000.15 严志丹.几类直积图的均匀着色及连通度问题 D.兰州：兰州大学，2011.16 李钊.一些乘积图和完全二部图的k-路顶点覆盖 D.天津：天津师范大学，2019.17 FARAHANI M R，JAMIL M K，KANNA M R R，et al.The Wiener Index and Hosoya Polynomial of the Subdivision Graph of the Wheel S（Wn）and the Line Graph Subdivision Graph of the Wheel L（S（Wn）J.Applied Mathematics，2016，6（02）：21-24.Sombor Index of Several Kinds of Product GraphsALIMIRE Tuerhong，MAITUROUZI Maisidike*，LIU Zhao-zhi（School of Mathematical Sciences，Xinjiang Normal University，Urumqi，Xinjiang，830017，China）Abstract：Sombor index is a new topological index based on vertex degree introduced by Gutman in Chemical Graph Theory.In this paper，Sombor indices of cartesian products of path Pn with fan graph Fm and wheel graph Wm，wheel graph Wn with fan graph Fm and wheel graph Wm，fan graph Fn with fan graph Fm，and lollipop graph Na,b，barbell graph Da,b,c and kite graph La,b with complete graph Kn are discussed，Sombor indices of Direct products，Cartesian products and Strong products of complete graph，path and cycleare are also studied and the exact index values and some relations of sombor indices about product graph are obtained.Keywords：Sombor index；Cartesian product；Direct product；Strong product（上接第9页）Bayes Estimation of the Shape Parameter of Pareto Distributionunder the Gradually Increasing of Type TruncationZHAO Meng-ru，ZHOU Ju-ling*（School of Mathematical Sciences，Xinjiang Normal University，Urumqi，Xinjiang，830017，China）Abstract：Based on gradually increasing type truncated samples.Firstly，obtain the maximum likelihood estimation of the Pareto distribution shape parameter，considering the two loss functions and the two prior distributions of shape parameters，four Bayes estimation of the distribution shape parameter is concluded.It is found from the numerical simulation results that the mean square error of the four Bayes estimates is less than the maximum likelihood estimate.Among them，when the loss function is a quadratic loss function and the prior distribution of the shape parameter is a conjugate prior distribution，the mean square error of the Bayes estimate is smaller，and the estimation effect is more ideal，and the example analysis is consistent with the numerical simulation results.Secondly，under the quadratic loss function，the conjugate prior distribution is selected for the prior distribution of the shape parameters，and the multi-layer Bayes estimation and E-Bayes estimation of the shape parameters of the Pareto distribution are given.Keywords：Gradually increasing of type truncation；Pareto distribution；Quadratic loss；Q-symmetric entropy loss；Bayes estimates25