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高数(下)练习册（2011年版）参考答案

第七章 空间解析几何与向量代数
第一节 空间直角坐标系
1、
2、。
3、略

第二节 向量及其运算
1、
2、, , ,,
3、 ,, ,
,。
4、。
5、在轴上的投影为:13，在轴上的分向量为。
6、,
7、（1）,。
（2）,。
（3）。
8、,。而。
同理 。。
9、所求向量为：。
10、（1）。
（2）。
（3）。
11、略。
12、。
13、。

第三节 空间直线与平面
1、所求为：。
2、所求为：。
3、略。
4、所求为：。
5、所求为：。
6、所求为：。
7、所求为：。
8、所求为：。
9、所求为：。
10、所求为：。
11、所求为：。
12、所求为：。
13、所求为：。
14、所求为：。
15、1）。
（2）。
（3）。
16、所求为：1。
17、与平面夹角的余弦为。
与平面夹角的余弦为。
与平面夹角的余弦为。
18、所求为：。
19、所求为：。

第四节 空间曲面与曲线
一、1、；2、 ；3、 ；4、 ；5、 ； 6、； 7、。
二、1、所求为：。
2、图略。
3、所求为。
4、在面上的投影为：。
在面上的投影为：。

第八章 多元函数微分学
第一节 多元函数的基本概念
一、1、 ；2、；3、；4、上半球面。
二、略。

第二节 多元函数的极限与连续性
一、1、 2； 2、2。
二、，
，
。
三、不存在.
四、因为, ,即沿不同路径趋于时，有不同的极限。 所以在点处无极限，当然在该点不连续。在其它点都是连续的：因为这些点的极限值等于其函数值。

第三节 偏导数
一、1、；2、；3、； 4、 。
二、 1、， ；2、；3、0；4、。
三、1、，，。
2、,。
3、；；。
4、因为，所以。
5、 ,。
6、，，，
，，．
7、，，
,=16/27,，
,=4/27。
8、，， ，．

第四节 全微分及其应用
一、1、 ； 2、 ； 3、 ；4、。
二、1、。
2、。
3、。
4、。
5、，

第五节 复合函数的偏导数
一、1、+。
2、。
3、。
二、1、。
2、。
。
3、，
，
。
4、

5、。
。
6、。
。
7、 ，。
8、，其中，。
=-2y+ 。
= 2x(-2y+ )++(-2y+ )
其中=，=
9、设,则。=。
==。= + []。
10、设,,则，=+, =+。
= (+ )++y(+ x)。
11、略。

第六节 隐函数的导数

一、1、；2、。
二、1、方法1：方程两边对求偏导，得
，解得。
同理得。
方法2：设函数．则 ，，。
于是，．
上式再对求偏导数，得。
2、,于是， ,
。
3、 , ,。
4、 =,
,。
5、设, ，,
,。
6、令，其中，， ，
，则
．
．
7、将所给方程的两边对求偏导数并移项，得
在条件下，；。
同理，方程的两边对求偏导数，解方程组得，。
8、方程，两边对求导，得
。
因，于是,。

第九章 多元函数微分学的应用

第一节 空间曲线的切线与法平面
一、1、2； 2、；3、；4、；
5、、.
二、1、已知曲线在参数为处的点的坐标为,则曲线在该点处的切向量为,故其切线方程为，法平面方程为.
2、切线方程：。法平面方程：.

第二节 空间曲面的切平面与法线
一、 1、；2、.
二、1、 ；2、。
三、1、令，，，，易知.
所以点为.法线方程.
2、两个平面：，。
3、，切点；，切点。
4、。
5、令,，，
.切平面方程,法线方程.
6、.令,，，.
.代入椭球面方程得,得切点,切平面方程.

第三节 方向导数
一、 1、；2、；3、；4、或.
二、1、.
2、.
3、方向导数的最大值就是, 由所给方程两边对求偏导数，视为的函数，有，。
当时 代入得，类似的可得, 。所以, =.

第四节 无约束极值与有约束极值
1、在点处极大值；在点处极小值。
2、实际上是求的最大值，其中.
3、令,
则 , 或.
所以，所求的点为.
4、设内一点到三边距离分别为，则目标函数为，约束条件为 .
构造拉氏函数 .得
解之得, 则 .
5、设水池的底面半径、高分别为,,则，.构造函数.
的唯一驻点.
6、球面在点 处的外法线方向向量/
（外法线方向为增大的法线方向，即方向）,
.
在点沿的方向的方向导数为.
现在就是求的最大值，约束条件是 即 .为简单起见，去掉脚号，并命,
命，得，，，
解得，或.
当时，为最大，
当时，为最小.

第十章 多元函数积分学Ⅰ

第一节 二重积分
一．1、； 2、。
二．1、； 2、；
3、；
4、

三．1、
2、
3、
4、
5、将分成
四个区域，再利用对称性知在与上的积分相等，与上的积分相等，

四．1、采用极坐标系。区域：，

2、区域：，
（令）
3、积分区域关于轴对称，被积函数关于为偶函数。

五． 1、作广义极坐标替换：，则，
。
2、令，则在此变换下，的边界依次与对应。，

第三节 三重积分
一．1、；2、。
二．1、
2、
3、由于平行于面的平面与相交成圆域，且被积函数仅含，故可采用先求对的二重积分再计算对的单积分。
当时，平行圆域的半径，面积是，当时，平行圆域的半径，面积是。

三． 1、。
2、。
四． 1、
2、
3、用广义球坐标系
，，
。

第四节 重积分的应用
1、利用对称性，我们只须计算上半球面所切的部分，上半球面方程是
，所切部分在平面上的投影区域为圆：
（用极坐标变换）

2、采用柱面坐标，由得，即，从而

3、，
，
。
4．取。

5．利用对称性知引力分量

第五节 对弧长的曲线积分
1、

2、设；弧；

3、由对称性可知：

4、由消去得：，即的方程可表示为：
，将其化为参数方程：
，
。

第六节 对面积的曲面积分
1、，在面上的投影区域为

2、；

3、因为关于面对称，被积函数关于变量为奇函数，所以，又关于面对称，被积函数关于变量为奇函数，所以，故只需计算。
由球面方程，解得，。
于是 。
4、因为积分曲面：关于具有轮换对称性，所以
从而 。
5、

6、令，设为上任意一点，则的方程为

即 ，从而知。
由曲面方程知 ，于是 。
故有
。

第十一章 多元函数积分学Ⅱ

第一节 对坐标的曲线积分的概念
第二节 对坐标的曲线积分的计算
1、原式=。
2、原式=。
3、原式=。
4、（法一）。
（法二）。
5、因为的方程为：从0到1。
则原式=。
6、（法一）取 。
。
（法二）由格林公式有 。
7、取 。
原式=。
8、（法一）设的参数方程为： 则：

=
=。
（法二）用斯托克斯公式得
原式=。

第三节 曲线积分与路径无关的条件
一、1、0； 2、； 3、；4、； 5、0； 6、。
二、1、因为，所以原式与积分路径无关。又直线段，故原式=0。
2、取 (从到的线段)
由格林公式可得：。
。原式 。
3、记 ，由格林公式可知
。
4、由于 ，原式==。
5、记 ,
, ，。
由Green公式有
=
===。
6、当时，补充线段,则构成封闭曲线（方向是所围成区域边界的负向）
由格林公式

当时，。
7、（1）记
因为 在上半平面内处处成立，所以曲线积分与路径无关。
（2） 由（1）的结论可知
。

第四节 对坐标的曲面积分的概念
第五节 对坐标的曲面积分的计算
一、1、0；2、0； 3、； 4、。
二、1、（1） 。
。（2）。

2、由于在柱面上，故。
其中：。

3、由积分和积分曲面的对称性可知：原式=
下面将分成上下两部分：
。
则 。
于是 原式=
4、先将立体的表面分成上表面、下表面及侧表面，其中
上表面记为：。
下表面记为：。
且 。
侧表面又分成前侧和后侧，
前侧记为：。
后侧记为：。
。
因此，原式=。

第六节 高斯公式与斯托克斯公式
1、取下侧，
= =。

原式=12。
2、添加平面区域，取下侧，则。
= ，
。则 = 。
3、由高斯公式有：
。
4、由高斯公式得：原式=

5、设围成的曲面为，取上侧
则由斯托克斯公式有：原式
6、由高斯公式得：
。
7、设围成的曲面为，取上侧，其在三坐标面上的投影分别记为：
，且；的面积为0
（求出椭圆在平面上的投影即得）
于是由斯托克斯公式有：原式=

8、首先 原式=。
然后补曲面，取下侧，则由高斯公式有：

且 ，故 原式=。

第七节 两类曲线积分、曲面积分的联系
一、1、；2、。
二、
1、由于
（1） 抛物线任意点处切线的方向向量为：

于是
（2） 上半圆周的参数方程为：
任一点处切线的方向向量为
于是 。
2、由于的下侧的法向量，方向余弦分别为：，
且。
则 ，
其中区域，因此有
，
故。
3、。

第十二章 常微分方程

第一节 常微分方程的基本概念
1、
2、. 三阶非线性； . 二阶线性；
. 一阶非线性； . 一阶线性.
3、.
第二节 一阶微分方程及其解法
1、（1） ；（2） 。
2、（1）分离变量得.
（2）分离变量得.
（3）令，得.
（4）令，得.
（5） .
（6）令，得.
（7）令，再令，得
.
（8）常数变易法.
（9）常数变易法.
（10）常数变易法.
（11）伯努利方程解法 .
（12）伯努利方程解法 .

第三节 全微分方程
1、（1）全微分方程；（2）；（3）；（4）.
2、.
3、 “凑微分”得 .

第四节 微分方程的降阶法
1、令得 .
2、令得 .
3、令得 .
4、求三次不定积分，得 .

第五节 线性微分方程解的结构
1、.
2、对应的二阶齐次线性微分方程的两个线性无关解是、，从而所求为
3、所求显然是一个二阶齐次线性微分方程，且、是它的两个线性无关解。设所求方程为。于是有且。求出与即得所求方程为

第六节 二阶常系数线性微分方程
1、.
2、.
3、（1）解特征方程。.
（2）解特征方程。.
（3）特解形式：。答案.
（4）特解形式：。答案.
（5）特解形式：，答案.
（6）特解形式：答案.
（7）特解形式：答案.
（8）用三角法或用特解形式。答案.
（9）分别求两个方程的特解。.
（10）分别求两个方程的特解。.
4、.
5、（1）;（2）.
6、先将积分方程化为微分方程解之得.

附 数学模型（下）
1．设打桩次后可将桩打进地下米，则。由题可知， ，
故。类似地， ，可得。
所以 。
2．设测量与的误差分别为与，由此引起的误差为，则
。
将代入上式，得的绝对误差约为
。
从而相对误差约为.
3．设折起来的边长为 ，倾角为，那么梯形的下底长为 ，上底长为 ，高为 ，所以断面的面积为

令
由于，上述方程组可化为
解之得.
4．设厂家获利为，则。作拉格朗日函数

令，解之得
因为最优价格必定存在，所以是电视机的最优价格。
5．假设卫星轨道以地心为圆心的圆。取地心为坐标原点，地心到通讯卫星中心连线为轴，建立坐标系。通讯卫星覆盖的曲面是上半球面被半顶角为的圆锥面所截得的部分，的方程为，于是通讯卫星的覆盖面积为

其中是曲面在面上的投影区域，利用极坐标得

由于，代入上式得

由此得该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值为

高数（下）模拟试题（一）
一、.
二、6、-11； 7、 0； 8、；9、 ； 10、0。
三、11、在直线上取点。则。又。于是
.
故所求为.
12、， .
13、用极坐标。.
14、分段。.
15、特解形式： 答案.
四、16、用拉格朗日乘数法。.
17、加面，用高斯公式。.
18、旋转曲面方程为。所求为
.

高数（下）模拟试题（二）
一、。
二、6、； 7、； 8、；9、；10、。
三、11、设，则。因此，
切平面方程为. 法线方程为 .
12、，故.
13、交换积分次序，得 .
14、用高斯公式。.
15、用三角法或用特解形式。答案.
四、16、用拉格朗日乘数法。.
17、，其中为，故所求为.
18、过已知点作平面与已知直线垂直。然后求所作平面与已知直线的交点。答案：.

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