MIMO非线性系统的反馈线性化初步理论.doc

非线性系统控制理论
第五章 MIMO非线性系统的反馈线性化初步理论

引言：
对于多输入多输出系统仍可以用下列紧缩的形式的方程来描述：
（*）
若输入的个数与输出的个数的数目相同时，可令

均是光滑的向量场,是光滑的函数,均定义在的某个开集上。

5.1 向量相对阶和总相对阶：
一个多变量非线性系统（*），在处有向量相对阶是指：
(i) 对所有： 的邻域
(ii) 矩阵

在处是非奇异的。
注意：
（1）该定义涵盖了SISO系统。
（2）整数中的某个是与系统第个输出有关的。行向量： ，至少有一个元素是非零的，即行向量不是零向量，否则矩阵就是奇异的了。所以对某个来说至少有一个，对这样的单输入单输出系统说来，它在处的相对阶就是，而对于其他可以选择的说来，其在处相应的相对阶如果存在的话，一定大于或等于这个。
（3）也是在时刻，从的微分中得到至少中一个分量的显式表示时所需要微分的次数。
（4）若系统在处有向量相对阶，则行向量

是线性无关的。
证明该性质可以仿照单输入单输出的思路：
若，，构造两个矩阵：

然后将相乘，再对它的行重新排列后，矩阵就呈现一个块三角的结构，其对角线上的块组成矩阵的行。由的非奇异性即可证明的行是线性无关的，因而的行也是线性无关的。
（5）当系统的输入数目大于输出数目时，向量相对阶定义中的条件（ii）,阵的非奇异性用该矩阵的秩等于它的行数（也就是输出通道的个数）来代替。实际多输入多输出系统关键的是输入的数目。所谓输出是看效果的地方，所以采集某个量、观察某个量都可以看作是输出。
（6）称为总相对阶，且有。
5.2 局部坐标变换和标准形
若系统在处有向量相对阶，称为总相对阶，则。设，则对于某一指定的，取下列映射：

.
.
.

当严格小于时，总可以找到另外个函数，使得

在处的雅可比矩阵是非奇异的，则就有资格作坐标变换。一般来说，附加的变换函数是可以任选的，但是当分布在处是对合的，则与SISO情况相似，总可以找到，使
的邻域

则利用上述坐标变换后，新坐标表示的系统方程可以分成（m+1）组:
第1组:

.
.
.

其中

注意前式中所乘的系数正是阵中的第项。
第组:

.
.
.

再令

对一般情况下：

若分布是对合的，又由此可得满足：

则该方程可简化成

将以上各组合并起来就得到多输入多输出系统的标准形。
5.3 零动态
由输出零化的概念同样可以定义零动态。
由于输出及其各阶导数为零，可得：

及 （共个）
写成矩阵和向量的形式则有：

其中

其中就是以前定义向量相对阶时的矩阵，所以：

是 在下的解。
对一般情况：

对零动态，则在下求解。
5.4 参考输出复制问题
若参考输出
其中
；
则类似推导后可得：
(i) 初始时刻对准，即,而内动态可以任取。
(ii) 取

其中为下列方程的解：

同样可以将

解释为原系统的逆实现。
5.5 反馈线性化：
当时，可以实现状态反馈精确线性化（此时没有内部动态）。即取：

当时，可以实现输入输出精确线性化（此时有内部动态），但解的式子与上面的表达式一样。
5.6 输入输出解耦控制（或互不影响的控制）
⑴问题的提法：
给定一个非线性系统

给定初始状态及的邻域，找一个静态状态反馈控制律

使闭环系统

的每一输出，，只受相应的输入的影响，而与其他无关。
这个问题当用标准形来研究时是很简单的，因为：

则取：

时，其中为下列方程的解：

则上述式子中 ， ，只与有关。所以系统既被输入输出线性化了，又被解耦了。
系统的传递函数为：

图形表示如下图：
当时，内动态就没有了。

当然解耦之后得线性系统还应当根据实际需求及可实现性来设计其动态性能，不必多论了。

(课程到此结束)
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