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【知识点4】已知单调性求参数取值范围
1. 思路提示：⑴对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题，转化为导函数在此区间上恒为非负或非正的问题，进而转化为导数在该区间上的最值问题.
⑵对于可导函数在某个区间不单调的问题，转化为导函数在此区间无实根，可结合导函数的图像给出此问题的充要条件，从而求解.
⑶对于只有一个极值点的导函数研究其相关问题（如在给定区间上恒为正或负以及根的分布等），往往可以类比二次函数在区间上的最值或根的分布求解.
例1：已知函数
（I）当时，求的极值;
（II）若在上是增函数，求的取值范围

例2：已知函数
（I）讨论函数的单调区间；
（II）设函数在区间内是减函数，求的取值范围.

例3：已知函数，其中为常数，且.
（I）若，求函数的极值点；
（II）若在区间内单调递增，求的取值范围.

例4：已知函数的图像过点，且在点处的切线恰好与直线垂直.
(Ⅰ)求函数的解析式；
（II）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.

例5：已知函数.
(Ⅰ)若函数的图像过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围.

例6：设，其中为正实数
（Ⅰ）当时，求的极值点；
（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围.

例7：设，其中为正实数.
(Ⅰ)当时，求的极值点；
(Ⅱ)若为上的单调函数，求的取值范围.

例8：设
(I)若在上存在单调递增区间，求的取值范围．
（II）当时，在的最小值为，求在该区间上的最大值．

例9：已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致
(I)设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；
（II）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求的最大值.

例10：已知函数的图像在点处的切线方程为
(Ⅰ)求实数的值；
(Ⅱ)设是上的增函数。
（i）求实数m的最大值；
(ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

例11：设函数．
(I)若的两个极值点为，，且，求实数的值；
（II）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

例12：设定函数，且方程的两个根分别为.
（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；
（Ⅱ）若在无极值点，求a的取值范围。

例13：已知函数其中a<0,且a≠-1.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数（是自然数的底数）。是否存在，使在上为减函数？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。

例14：已知函数
（I）当时，求的极值;
（II）若在上是增函数，求的取值范围.

例15： 已知函数在上单调递减且满足
(I)求的取值范围；
(II)设，求在上的最大值和最小值．

例16：已知函数
(I)若曲线在点处的切线斜率为，求的值以及切线方程；
(II)若是单调函数，求的取值范围.

例17：已知函数
(I)设，求函数的极值；
(II)在(I)的条件下，若函数(其中为的导
数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数的取值范围．
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