自适应控制讲义-教材讲义.doc

第一章 概述
1.1 自适应控制的研究对象
自适应控制是研究具有“不确定性”的控制系统的特性分析和综合（控制器设计）。
1. 系统不确定性产生的原因
1）内部不确定性
（1）被控对象的结构（阶次）和参数由于建模误差引起的不确定性。
（2）被控对象的结构（阶次）和参数或者动态特性是时变的或随工作作条件改变而变化。
2）外部不确定性
被控对象的运行环境（外部干扰）是随机信号而且它们的统计特性不确切知道或者是时变的。
2. 系统“不确定性”的数学描述
1）状态方程
设一个线性离散时间系统，其状态方程如下：
(1.1-1)

式中：

，， 分别为系统矩阵，输入矩阵，输出矩阵，其维数为 。
k——离散时间，k~kT。其中T为采样周期。
S维未知参数向量，可能A，B，C中未知参数不同，为了简单起见，都设为S维。

2）系统框图
根据（1.1-1）式可以画出被控对象的结构框图。

图 1.1-1 被控对象的结构框图
图中是时间延迟因子，，噪声{}和{v(k）}作用于对象的不同部位，对于线性系统，可以等效于作用在输出端的一个噪声。其统计特性例如期望值、相关函数等由于不确定性而未知，或随时间变化。

1.2 自适应控制系统的结构分类
1 克服被控对象不确定性的方法
通常采用两种方法：①在线辨识参数；②设定参考模型。
1）在线辨识对象的参数，一般采用递推算法，不辨识对象的阶次（结构），修改控制器得参数，称为 自矫正方法。
2）设定参考模型，它代表给定的性能指标，将实测的性能指标和给定的性能指标进行比较，得到广义误差，由他来修改控制器规律，称为参考模型方法。
2 按结构分类
由上述克服不确定性的方法将自适应控制系统分为两大类：
1）自校正调节（控制）系统（Self-Tuning Regulator-Controller）
通常自适应系统的结构框图如图1.2-1所示。
由图看以看出：
② 常规控制系统比较增加了参数辨识和控制器设计两个部分，称为自适应环节。
②它的结构呈现双环系统，内环为常规反馈系统构成参数可调整系统；外环为自适应环节，它调整 控制器参数，以达到性能最优或次优。

图1.2-1 自校正控制系统框图
上图为显式结构，当参数辨识环节直接辨识控制器参数时，两个方框合二为一，形成隐式结构。
③参数自适应环节估计器输入控制信号和对象输出，计算出对象的状态估计值和参数的估计值（个参数未知或时变）。由估计值和来修改控制规律。
2）模型参考自适应控制系统）（MRAC）
(Model Reference Adaptive Control System — MRACS)

这类自适应控制系统结构框图如图1.2-2所示。由图可以看出：
① 它有一个参考模型（Reference Model）。它是要求（期望）性能指标的代表，其输入为输出
是期望输出的表示，也可以是某种性能指标。

图1.2-2 模型参考自适应控制系统结构框图
② 它也可以看成是双环系统，内环是通常的反馈，外环调节控制器参数和结构，为自适应闭环。它的输入为广义误差，可能是输出的偏差，也可能是某种性能指标的误差，称为广义误差。
③ 由广义误差和参考输入来按照某种规律来修改控制器的参数，称为自适应结构。只要系统就达到了优化状态。
1.3 自适应控制的理论问题
自适应控制系统是具有非线性、时变参数和随机干扰等特性，内部机理相当复杂的系统。理论分析和研究落后于应用。目前各种各样的结构和算法也逐步得到广泛的应用，但它的理论课题还未彻底解决。主要集中在三性的研究。①稳定性 Stability ②收敛性 Convergence ③ 鲁棒性 Robustness。
1 稳定性：
指系统的状态、输出和参数的有界性。目前的稳定性理论，李雅普诺夫稳定性理论、波波夫稳定性理论（超稳定性理论）还不能完全处理已有的自适应控制系统稳定性分析。
2 收敛性
指一个自适应算法在指定的初始条件下，能渐进达到预期的目标，而且在此渐进的过程中保持系统的所有变量有界。
3 鲁棒性
在存在扰动和未建模部分条件下，系统保持其稳定性和优良性能指标的能力。
其它理论问题有：
①自适应速度分析和计算理论；
②自适应控制系统的优化和简化设计；
③非线性对象的自适应控制系统理论。

第二章 自校正控制系统（STC系统）
2.1 被控对象的数学描述（数学模型）（Mathematical Description for Controlled Plant）
1 被控对象的输入输出关系（P8）
被控对象为单输入、单输出线性系统，用下列线性差分方程描述。将微分方程化为差分方程可参看《过程辨识》，p75~p78，方崇智，清华大学出版社。
（2.1-1）
式中： u(k)，y(k) ——对象输入和输出；
n1 ——被控对象的阶次；
k —— 采样时刻，k ~ kT0（T0——采样周期）；
d —— 系统总延迟时间，d ~ dT0，d= L +1，L为对象纯延迟时间，d1，“1”是对象有惯性环节，离散化结果一定出现一个周期的延迟。
为了书写和运算的方便，引入时间平移因子，，则（2.1-1）式可写成：
（2.1-2）

式中：

也可写成： （2.1-3）说明： ① 用表示时间平移一个采样周期后，（2.1-1）式差分方程可以简化为以为变量的代数多项式的代数方程；
② 对于多项式A1 ()和B1（）可以进行四则运算，解差分方程可以变为解代数方程。
③ 对象的脉冲传递函数为：

它和（2.1-3）式 的形式相同，但两者的含义是有差别的。中的Z是Z平面（Z变换）上的一点，而（2.1-3）式中为时域变量。
2被控对象运行环境的描述（噪声数学模型）
工业实际中被控对象运行时可能受到各种干扰，作用于对象的不同点，由于对象是线性系统，利用叠加原理，将作用于系统的全部干扰用一个作用于系统输出的等价噪声v(k)来等效。
通常{v(k)}是一个具有有理谱密度的平稳随机信号，它代表很大一类干扰噪声信号。
1)平稳随机序列（过程） Stationary Random Sequence
其统计特性具有时间平移不变特性的随机信号。统计特性是分布函数和数字特征。数字特征有两个：①数学期望；②相关函数（协方差函数）。
(1)数学期望（均值）：描述变化的平稳性。Expectation。
或为0；
（概率空间的总体平均值）
（2）相关函数:描述变化的相关性（前后相关程度）。Relative Function。

若随机过程的数学期望为常数，相关函数与k无关，称为平稳随机过程。
2）谱密度 （Spectrum）
自相关函数的傅里叶（Fourier）变换称为平稳随机过程的功率频谱或谱密度。
（2.1-4）
（2.1-5）
当k=0，，设为电压（或电流），则为功率（即干扰强度）。由（2.1-5）式得到：

平均功率是各种频率噪声的功率总和，的平均值（即除以），因此表示频率为的干扰噪声信号的功率（强度）。也就是说源噪声可以看成各种频率噪声的混合。不同噪声其包含的各种频率信号的大小不同。例如：有的噪声以高频为主，可以用电容来消除。
3）白噪声（White Noise）
若一随机信号的期望值为0，相关函数为脉冲函数 ，
则称它为白噪声。
其谱密度为：
（常数）。
表明它的各个分量的强度都是一样的，相当于白光的光谱在各个频率上有相同的强度。不具有上述条件的噪声称为有色噪声。
4）随机扰动模型 （Stochastic disturbance model）
由谱表示定理可知：对于所有具有有理谱密度的平稳随机过程，都可以用白噪声激励一个稳定的线性的动态系统来产生（或表示）。
设具有有理谱密度的平稳随机信号{v(k）}，它可以表示为：
（2.1-6）
式中：——均值为0，方差为的白噪声；

多项式的零点（即扰动模型的极点）在单位圆内，产生有理谱密度的随机信号的线性系统是稳定的。
多项式的零点在单位圆内或圆上（该线性系统是最小相位的）。

3 随机离散差分模型Discrete-time stochastic difference model
将被控对象的输入输出关系和运行环境结合起来，得到完整的数学模型。 （2.1-3）和（2.1-6）联合，得到：

或者： （2.1-7）
（2.1-6）
其中：

并且假设 、 、是互质的（即三个多项式没有公因子）。
（2.1-7）

说明：①（2.1-7）式包括控制项，还包含有噪声项，描述了对象运行环境，它能代表大多数被控的单输入输出生产过程，是经常引用的数学模型，通常称为受控自回归滑动平均模型。CARAM (Controlled Auto-Regressive Moving Average)。
当，（2.1-7）式化为受白噪声干扰的模型，称为受控自回归模型。CAR（Controlled Auto-Regressive）。
②（2.1-7）式中、和多项式的系数不一定相同可能分别为、
和，（2.1-7）式只是为了书写方便，写成了一般形式。
③对于多变量系统，y（k），u（k）和分别为，和的输出向量，控制向量和噪声向量。、 、分别为，，维多项式矩阵，而且：

④时间平移算式，将差分方程简化为代数方程，对于求解更为方便。它和Z变换中的变量一样，但含义完全不同，一个是时间因子，另一个是复变量。对于脉冲传递函数而言，它和（2.1-7）式的形式完全相同。（2.1-7）式描述的被控对象（即CARMA模型）的框图如图2.1-1所示。

图2.2-1 被控对象框图
对于多变量系统MIMO用矩阵差分方程来表示：
（2.1-8）
设=2，的维数p=2，q=2。=1，=0，d=2.

由（2.1-8）式得到：

2.2 最小二乘法参数估计 （Least Square Parameter Estimation）
1 一次完成最小二乘法（批量算法）
1）设被控系统模型为：CAR模型描述。
（2.2-1）
式中：

将（2.2-1）式写成：
（2.2-2）
式中：n——系统的阶次(已知量)，为了方便。未知量 为待估计参数。令参数向量为，记为：

k时刻以前的观测数据为已知量，记为：

（2.2-2）式可表示为：
） （2.2-3）
2）令k=1，2，…，N，得到新的数据向量为：

用N个数据向量组成数据矩阵为：

3）目标函数

（2.2-4）
4）求最小二乘估计参数
令，求得参数估计量，记为。
（2.2-5）
（推导过程省略）
说明：①最小二乘参数估计量是估计误差的平方和为最小的最优估计量。
②可以证明是无偏估计量，即E{}=。
③一般N>2n，随 的维数，使统计参数个数n，逆矩阵运算困难，不便于在线计算。
2 递推最小二乘法
1）递推公式
它由三个计算公式组成：
（2.2-6a）
（2.2-6b）
（2.2-6c）
式中：

2)递推计算步骤
（1）置初值，；
(2) 构成，通过预采样得到：

若 d>1，则：
（3）进行第N+1次采样；
（4）由（2.2-6a）~（2.2-6c）三式分别计算；
（5）递推一步，，返回（3）。
说明：①可以证明，它和的取值无关（最小二乘估计量的一致性）。
P（0）取值愈大，收敛于的速度愈快，一般。表明最小二乘估计不要任何先验知识（包括的统计特性）。
②从（2.2-6a）可以看出等于加上一个修正量。该修正量为增益向量乘以第N+1次测量值y（N+1）和其预报值之间的差值（用第N次以前的测量值和第N次的估计值对第N+1次测量值进行估计），该差值称为新息（Innovation），它表明第N+1次测量带来了关于参数的新信息。
③对于SISO模型来说，差值是标量，而向量，，的维数是不变的，只和参数向量维数有关，和测量次数无关。
④（2.2-6b）式中是一个标量的倒数，无需计算逆矩阵，计算量大大减少，适合于在线进行。
⑤由可知它为对称矩阵，而且是非负定的，在线计算过程中要注意对称化。而且（2.2-6c）式表明，表明使愈来愈接近。
3 慢时变参数的递推适应算法
1）数据饱和现象
由（2.2-6 c）可知，随着 ，使新采样数据对参数估计值的修正作用愈来愈弱，最后甚至不再起修正作用，称为数据饱和现象。
其产生饱和作用的原因是对新旧数据同样看待，削弱了新数据的作用。
2) 渐消记忆法
引入指数加权函数，对新旧采样数据作不同的加权，降低旧数据的作用。
将目标函数改为：
（2.2-7）
式中：—— 加权系数，，
削弱旧数据产生的误差，对新数据的误差乘以大的加权。经推导得到递推计算公式如下：
（2.2-8 a）
（2.2-8 b）
（2.2-8 c）
从（2.2-8 c）式可以看出，不小于，使不会随递推次数增加而减小。
一般取值为0.95~0.99，愈小跟随时变参数能力愈强，但参数估计精度愈低。
4 增广最小二乘法（Expanding Least square）
当为有色噪声时，则为有偏估计量，即，一般还可以满足工业控制要求。
1）对象的模型
设对象的模型为：
（2.2-9）
令参数向量为：

数据向量为：
则式（2.2-9）可以改写为：
（2.2-10）
由于中序列是不能测量的，因此用估计量来近似的表示：

用递推最小二乘法计算公式，得到增广最小二乘的计算公式如下：
（2.2-11a）
（2.2-11b）
（2.2-11c）
（2.2-11d）
ELS计算步骤：
① 置初值，，；（2.2-11a）
②构成向量；
③进行第N+1次采样；
④按（2.2-11 b），（2.2-11 a）和（2.2-11c）式分别计算, 和，；
⑤递推一步，，返回（3）。
2.3 最小方差调节器 （Minimal Variance Regulator）
1 被控对象模型
设被调对象由CARMA模型表示：
（2.3-1）
式中：

——白噪声，

说明：输出y（k）用增量表示，即偏离给定值的偏差，这是调节器问题的要求。调节器的目的是使y（k）尽可能为0。当u（k）=0，则的原因是因为噪声信号的干扰。
2 允许控制问题
允许控制指的在求控制规律时可以利用的信息。它应当是物理上可以实现的信息的函数。他可以是K时刻及以前的输出和K-1时刻及其以前的控制作用。
3 目标函数
因为输出在u（k）=0的情况下，是由于引起的。因此对象的输出也是随机序列。用输出方差作为目标函数。
（2.3-2）
4 求最小方差控制规律
1）写出y（k+d）的表达式：
（2.3-3）
2）利用Diophatine方程将写成两部分
（2.3-4）
其中：

一般
（2.3-4）式代入（2.3-3）式得到：
（2.3-5）
3）用K时刻以前的输入输出来表示
将（2.3-1）式写成：

并代入（2.3-5）式，得到：
4）求u（k）
由目标函数：

，得到：
（2.3-7）
式中：
说明：①在求最小方程控制规律时，用多项式进行计算，非常简便充分显示引入变量将差分方程化为代数方程的优越性。
②（2.3-7）式表明最小方差控制规律是对象输出的线性负反馈，实际上是K时刻及其以前的输出和K时刻以前控制量的线性组合。
③求时，利用了因为是（k+1）时刻至（k+d）时刻的噪声序列的线性组合。而是K时刻及其以前的噪声序列各分量的线性组合，由于是白噪声，所以他们是不相关的，乘积的期望值为0。
④在（2.3-6）式中，y（k+d）包括两部分，其中 是可以在K时刻计算出来的（预报）。称为最佳预报分量，记为。
（2.3-8）
符号表示利用K时刻及其以前的数据对（k+d）时刻的输出y（k+d）进行预报。*表示最优预报。
最小方差调节器控制规律是令最优预报求得的，这是求解这类问题的一般方法。
5）控制误差的方差
表明控制误差方差的最小值为（2.3-9）式所示，它随d增加而增加，对象延迟时间会使控制误差增加。
举例：设对象的模型为：
求最小方差调节规律。
解：由题意知：

根据Diophantine方程，得到：

，，，。
上式变为：

用两边的同次项系数相等，得到：
，
这样，

最小方差调节律为：

得到：
5 闭环特性分析
对于调节器工作方式，输出为增量形式表示，则期望y（k+d）=0。 因此令，求最小方差调节器规律。
对于控制器工作方式，要求输出y（k）跟踪参考轨迹，期望输出，，它为参考输入乘以加权多项式（理解为参考模型），即：。
令，得到：

经整理后，
（2.3-10）
1）闭环系统框图
由（2.3-1）式和（2.3-10）式可画出闭环系统框图。
图2.3-1 最小方差控制器闭环系统结构框图
2）闭环系统特征方程式
将（2.3-10）式代入（2.3-1）式经整理得到：

（2.3-11）由（2.3-11）式和闭环系统框图可以看出：
决定闭环系统稳定性的是多项式和的零点位置。当它们的零点在单位圆外（以为变量），则系统是稳定的，否则是不稳定的。
由于调节器的控制方程中分母包含多项式，若对象是非最小相位的，有不稳定零点。使控制方程具有不稳定极点，u（k）将无界，若对象模型是准确而且定常，则闭环后因零极点相消，u(k)无界不能影响到输出端。而模型不准确或参数时变，闭环系统就不稳定，因此最小方差调节器适用于最小相位系统的对象。

§2.4自校正调节器（Self-Turing Regulater）STR
1. 控制思想
主要是解决对象参数未知（或时变）的最小方差调节器问题，由于最小方差控制规律G(z-1),B(z-1)和F(z-1)的计算需要知道对象的参数，原则上不能实现。
2. 求自校正调节器控制规律
1）改写预报方程
(2.3 – 6)
令，其中上式可写成：
（2.4-1）
又由（2.3-6）式得到：
（2.4-2）
由最小方差调节器控制规律可知，得到：
（2.4-3）
说明：（2.4-3）式为预报方程（闭环系统的），表明用时刻及其以前的输入和输出对时刻的输出进行预报。
同时，（2.4-3）式也是闭环系统的辨识方程。它表明最小方差控制闭环系统其控制规律各项系数应满足（2.4-3）式。
2）调节规律参数辨识
为了实现闭环系统参数辨识，将写成，其中，。
令参数向量：
其中，，
数据向量：
（2.4-3）式可改写为：
（2.4-4）
利用RLS估计参数向量θ，得到下列计算公式：
（2.4-5a）
（2.4-5b）
（2.4-5c）
注意：
①上述计算公式求出的参数估计量误差稍大一些，因为噪声误差是有色噪声。
②参数b0不参加辩识，作为已知量对待。在实际使用中是可选择的。使调节器的阶次,避免闭环条件下调节器参数不可辨识性。
3）求最下方差控制规律
令（2.4-2）式的最佳预报值为0，得到：
，即有。再在等式两边乘以，并用代替，就得到自校正调节器（最小方差）控制规律：
（2.4-7）
式中，，
4）自校正调节器（STR）算法计算步骤
①置初始值，，,，，；
②预采样得到和；
③k时刻采样，得到数据向量；
④按（2.4-5a）~（2.4-5c）计算，，；
⑤按（2.4-4）式计算，并输出；
⑥递推一步，，返回③。
3. 闭环条件下参数可辨识性问题
1） 问题提出
举例证明在闭环条件下，可能出现参数不能辨识的问题。设被控对象为：
（2.4-5）
，，，
由得到：
，，
和未知，用最小二乘法估计参数，将（2.4-5）是写成：

令，
设,
则最小二乘参数估计为：
(2.4-6)
其中 （2.4-7）
将控制规律代入（2.4-7)式，得到：

上述矩阵的第一列和第二列只相差一个常数因子，它们线性相关。为奇异矩阵，不能辨识和。
2） 解决办法
解决这个问题的办法有两种：
①增加调节器的阶次，将改为；
②将固定不参加辨识，只辨识。
⑴增加调节器的阶次
将代入（2.4-7）式，得到：

它为非奇异矩阵，可以求出的估计值和。因此，在控制规律为的条件下，参数和可辨识了。
⑵固定，只辨识
将（2.4-5）式变为
令，

这样，
由可求得参数的估计值。
可以证明在闭环条件下，调节器的阶次（对象的阶次）时，对象的参数可以辨识，否则对象的参数不可辨识。在上例中，=1，=0，所以参数不可辨识。
通常采用固定一个参数的办法，不参加辨识，这样足可以避免由于辨识误差太小或趋于0，但过大，造成控制作用剧烈波动或执行机构动作过大。
4.自校正控制器（STC）
当要求对象输出跟踪期望值时，仍然采用最小方差控制，并引入自校正输出得到自校正控制器。
⑴预报方程
此时，最优预报， 为期望值则：
（2.4-8）
上式为预报方程，两边乘以，得到控制器参数辨识方程：
（2.4-9）
（2.4-8）式称为预报方程又称为控制器参数辨识方程。
设参数向量为：

数据向量：
预报方程（2.4-8）可写成：

⑵控制器参数估计
利用增广最小二乘法求控制器的参数，计算公式如下：
(2.4-10a)
(2.4-10b)
(2.4-10c)
式中，
因为，最优预报值等是不可能计算出来的。只能用它们的估计值来代替。它们用下列通式来表示：
（2.4-10d）
注意:

表明在估计参数值的同时也计算出最优预报值的估计值。
⑶自校正控制器控制规律（STC）
由预报方程（2.4-8）式，令最优预报值为输出期望值得到：

用参数向量和数据向量的估计值代入上式，得到：
（2.4-11）
自校正控制器控制规律计算与自校正调节器控制规律计算不同之处（STC与STR不同之处）在于：
①，实际运行时难于准确计算，而是用估计值来替代，通式为，其中就是向量中的，用估计量来代替。
②输出期望值，而是。
③参数向量扩展了，利用增广最小二乘法参数估计来估计控制器的参数。
⑷STC计算步骤
①置初始值，；
②预采样形成数据向量；
③采样；
④用（2.4-10a）~（2.4-10d）计算参数估计值；
⑤用（2.4-11）式计算
⑥递推一步，，返回③。
注意：在第二歩预采样形成时，用输出期望值来替代最优预报值。
§2.5广义最小方差自校正控制器（Generalized Minimal Variance STC）
1. 广义最小方差控制器
由于最小方差控制规律（控制器）的极点包含有对象的0点，对于非最小相位对象，控制器将有不稳定极点，使控制量无界（不稳定）。因此这种控制规律不适用于非最小相位对象。为了将这种控制规律推广到非最小相位对象，在目标函数中引入对控制量的限制，保证控制量始终有界。使对象的输出稳定。这就是广义最小方差控制器。
1） 对象数学模型
对象仍然采用CARMA模型描述，
（2.5-1）
式中

——对象的总延迟时间，
——对象噪声信号，。
2） 目标函数
设目标函数为：
（2.5-2）
式中——参考输入，经输入模型得到输出期望值。和——加权多项式。
令——广义输出
——广义理想输出
称为广义输出误差。
（2.5-2）式可写为：
（2.5-3）
这样就可以利用求最小方差控制律的方法，求出广义输出的最优预报，并令它等于广义理想输出，就可得到使广义输出误差方差最小的控制规律，称为广义最小方差控制规律。
3） 求解控制规律
⑴引入Diophatine方程
（2.5-4）
式中，

（2.5-1）式，引用（2.5-4）式，得到

两边除以，并代入，得到

可以看出最优预报表达式为：
（2.5-5）
（2.5-6）
令，求得广义最小方差控制规律

整理后得到：
（2.5-7）
式中

说明：
①控制器的极点由得零点决定，可以通过选择多项式来改变，而最小方差控制器的由得零点决定。
②广义输出最优预报值和最小方差最优预报值形式一样，但是和不尽相同，两者的Diophatine方程不同，只有时，两者才相同。
③广义最小方差控制规律中，令，则广义最小方差控制器和最小方差控制器的控制控制规律一样。令则和调节器的工作方式一样。
2. 广义最小方差控制器闭环系统框图和特性分析
1） 系统框图
由（2.5-1）式和（2.5-6）式，可画出闭环系统框图如图2.5-1所示
图2.5-1 广义最小方差控制器闭环系统框图
它和最小方差控制器闭环系统的结构一样只是控制器中换成而已。
2） 闭环特性分析
将（2.5-6）式代入（2.5-1）式得到闭环系统输入输出方程

整理后得到（省略变量符号）输出方程：

（2.5-8）
将（2.5-1）代入（2.5-6）得到控制（调节）器方程（输入方程）

利用得到
（2.5-9）
说明：
①闭环系统的特征方程为： （2.5-10）
可以看出特征根可以改变来移动表明即使是非最小相位对象，甚至不稳定对象，也可以通过广义最小方差控制使它们稳定工作。
②令（2.5-9）式变为
，
当，则闭环系统的特征根为的零点；
当，则闭环系统的特征根为的零点。
表明当由，闭环系统的极点由对象的零点迁移到对象的极点。对于非最小相位的稳定对象，当改变的值，闭环系统在单位圆外的极点就逐渐迁移到单位圆内来。
当，则和最小方差控制器的情况一样。
3. 广义最小方差自校正控制器计算公式
1） 预报方程（控制参数辨识方程）
令,(k + d)时刻广义输出为
两边乘以，得到：
（2.5-10）
令参数向量为：

数据向量为：
（2.5-9）式可写为：
（2.5-11）
利用最小二乘法估计参数向量，得到下列计算公式：
（2.5-12a）
（2.5-12b）
（2.5-12c）
式中为的估计量，是将数据向量中的最优预报值，,· · ·,用相应时刻的估计量来替代其通式为：
（2.5-12d）
例如：
2） 广义最小方差自校正控制规律
将由（2.5-12a）计算出的参数估计量代入92.5-6)式，得到

（2.5-13）
3） 广义最小方差自校正控制算法计算步骤
①置初始值，。设定。
②预采样形成数据向量；
③采样和；
④计算和；
⑤按（2.5-13）式计算；
⑥计算最优预报值的估计值；
⑦递推一步，，返回③。
4. 加权多项式，和的选择
1） 选择原则
由闭环系统特性分析可知，和多项式既影响系统的稳定性（2.5-9）式，也影响系统稳态误差（2.5-7）式，参考输入与系统输出之间的传递函数稳态值是1。因此选择原则为：
①设成立
②（2.5-14）
2） 选择方法
有两种选择方法：①离线选择法；②在线选择法前两者用于广义最小方差自校正控制器，离线试凑和，后者前用于极点配置广义自校正控制器。
现介绍离线试凑和的两种方法。
⑴采用积分器选择法
令，这样就可以保证稳态跟踪误差期望值0。即只要选择满足，为了简化设计，一般取。
⑵不采用积分器
将（2.5-14）式改写为用辨识参数表示：对于阶跃输入，将代入公式，得到选择，。
离线选择，使其满足：
在线选择使其满足：
其中，多项式，和的参数通过在线辨识得到。
一般来说，加入积分器来消除稳态误差的方法鲁棒性较强。而后一种方法受参数波动影响较大。但是前一种方法可能改变闭环系统的极点位置，有些系统使极点趋近单位圆，是输出不稳定。而后种方法在参数确定的情况下，闭环极点位置不太受影响。
§2.6自校正前馈控制器（Self-Turning Feed Forward Controller）
对于具有可测干扰的系统，采用前馈控制可有效地抑制干扰对输出的影响。检测蒸汽流量作为可测干扰，作为前馈控制信号。来控制给水量。使水位稳定在期望位置。
当可测干扰与输出之间通道的参数未知，则可引入自校正技术，与前馈控制结合起来。构成自校正前馈控制器。
1. 对象的数学模型
设对象由下列描述：
（2.6-1）
式中：和多项式和（2.5-1）式中的相同；
——可测性干扰，它与输出之间的通道用。多项式描述其延迟时间为，并且；
——不可测性干扰，设为白噪声。
2. 目标函数
（2.6-2）
式中和与（2.5-2）式中定义相同，为加权多项式。
通过选择可实现对项的动静态补偿。
定义广义输出：
广义理想输出：
广义输出误差：

这样将目标函数改写为：将问题变为输出为的系统的最小方差控制问题。
3. 求控制规律
由Diophatine方程：
，
1） 广义输出最优预报法：
有（2.6-1）式乘以得到:

整理后得到：
（2.6-3）
令广义输出最优预报值为：
（2.6-4）
令，经整理后得到：
（2.6-5）
式中：；
；
；
；
。
4. 广义最小方差前馈控制器结构框图和闭环特性分析
1） 结构框图
广义最小方差前馈控制器结构框图如图2.6-1所示。

图2.6-1 广义最小方差前馈控制闭环系统框图
从图可以看出：对象输出受到两种干扰信号的影响，①不可测干扰信号，②可测干扰信号它们都作用在输出端，前者用反馈信号来补偿。后者用前馈信号来补偿。只要适当选择就可使它引起的干扰完全被抵消。
2） 闭环特性分析
将（2.6-5）式代入（2.6-1）式得到：

两边除以C，得到闭环系统输出方程：

将（2.6-1）式代入（2.6-5）式，得到闭环系统输入方程：

整理后得到：
说明：
①闭环系统极点由确定，只要选择和保证且。即闭环系统的极点都在单位圆内，闭环系统就能稳定。
②由（2.6-6）式可知，必须选择完全补偿可测干扰的影响，若在目标函数中不引入可测干扰的加权项，，则必须选择。对于最小相位对象采用最小方差控制，在调解器方式或控制器方式都可实现对可测干扰的动静态补偿，但是对于非最小相位对象，为了保证闭环系统的稳定运行，。为了实现对可测干扰的静态全补偿，可引入积分器项，使.而对动态补偿不起作用。另外，为了实现可测干扰的动静态补偿，必须在目标函数中引入项，实现前馈控制。
5. 自校正前馈控制器