自适应控制讲义-教材讲义.doc

第一章 概述
1.1 自适应控制的研究对象
自适应控制是研究具有“不确定性”的控制系统的特性分析和综合（控制器设计）。
1. 系统不确定性产生的原因
1）内部不确定性
（1）被控对象的结构（阶次）和参数由于建模误差引起的不确定性。
（2）被控对象的结构（阶次）和参数或者动态特性是时变的或随工作作条件改变而变化。
2）外部不确定性
被控对象的运行环境（外部干扰）是随机信号而且它们的统计特性不确切知道或者是时变的。
2. 系统“不确定性”的数学描述
1）状态方程
设一个线性离散时间系统，其状态方程如下：
(1.1-1)

式中：

，， 分别为系统矩阵，输入矩阵，输出矩阵，其维数为 。
k——离散时间，k~kT。其中T为采样周期。
S维未知参数向量，可能A，B，C中未知参数不同，为了简单起见，都设为S维。

2）系统框图
根据（1.1-1）式可以画出被控对象的结构框图。

图 1.1-1 被控对象的结构框图
图中是时间延迟因子，，噪声{}和{v(k）}作用于对象的不同部位，对于线性系统，可以等效于作用在输出端的一个噪声。其统计特性例如期望值、相关函数等由于不确定性而未知，或随时间变化。

1.2 自适应控制系统的结构分类
1 克服被控对象不确定性的方法
通常采用两种方法：①在线辨识参数；②设定参考模型。
1）在线辨识对象的参数，一般采用递推算法，不辨识对象的阶次（结构），修改控制器得参数，称为 自矫正方法。
2）设定参考模型，它代表给定的性能指标，将实测的性能指标和给定的性能指标进行比较，得到广义误差，由他来修改控制器规律，称为参考模型方法。
2 按结构分类
由上述克服不确定性的方法将自适应控制系统分为两大类：
1）自校正调节（控制）系统（Self-Tuning Regulator-Controller）
通常自适应系统的结构框图如图1.2-1所示。
由图看以看出：
② 常规控制系统比较增加了参数辨识和控制器设计两个部分，称为自适应环节。
②它的结构呈现双环系统，内环为常规反馈系统构成参数可调整系统；外环为自适应环节，它调整 控制器参数，以达到性能最优或次优。

图1.2-1 自校正控制系统框图
上图为显式结构当参数辨识环节直接辨识控制器参数时，两个方框合二为一，形成隐式结构。
③参数自适应环节估计器输入控制信号和对象输出，计算出对象的状态估计值和参数的估计值（个参数未知或时变）。由估计值和来修改控制规律。
2）模型参考自适应控制系统）（MRAC）
(Model Reference Adaptive Control System — MRACS)

这类自适应控制系统结构框图如图1.2-2所示。由图可以看出：
① 它有一个参考模型（Reference Model）。它是要求（期望）性能指标的代表，其输入为输出
是期望输出的表示，也可以是某种性能指标。

图1.2-2 模型参考自适应控制系统结构框图
② 它也可以看成是双环系统，内环是通常的反馈，外环调节控制器参数和结构，为自适应闭环。它的输入为广义误差，可能是输出的偏差，也可能是某种性能指标的误差，称为广义误差。
③ 由广义误差和参考输入来按照某种规律来修改控制器的参数，称为自适应结构。只要系统就达到了优化状态。
1.3 自适应控制的理论问题
自适应控制系统是具有非线性、时变参数和随机干扰等特性，内部机理相当复杂的系统。理论分析和研究落后于应用。目前各种各样的结构和算法也逐步得到广泛的应用但它的理论课题还未彻底解决。主要集中在三性的研究。①稳定性 Stability ②收敛性 Convergence ③ 鲁棒性 Robustness。
1 稳定性：
指系统的状态、输出和参数的有界性。目前的稳定性理论，李雅普诺夫稳定性理论、波波夫稳定性理论（超稳定性理论）还不能完全处理已有的自适应控制系统稳定性分析。
2 收敛性
指一个自适应算法在指定的初始条件下，能渐进达到预期的目标，而且在此渐进的过程中保持系统的所有变量有界。
3 鲁棒性
在存在扰动和未建模部分条件下，系统保持其稳定性和优良性能指标的能力。
其它理论问题有：
①自适应速度分析和计算理论；
②自适应控制系统的优化和简化设计；
③非线性对象的自适应控制系统理论。

第二章 自校正控制系统（STC系统）
2.1 被控对象的数学描述（数学模型）（Mathematical Description for Controlled Plant）
1 被控对象的输入输出关系（P8）
被控对象为单输入、单输出线性系统，用下列线性差分方程描述。将微分方程化为差分方程可参看《过程辨识》，p75~p78，方崇智，清华大学出版社。
（2.1-1）
式中： u(k)，y(k) ——对象输入和输出；
n1 ——被控对象的阶次；
k —— 采样时刻，k ~ kT0（T0——采样周期）；
d —— 系统总延迟时间，d ~ dT0，d= L +1，L为对象纯延迟时间，d1，“1”是对象有惯性环节，离散化结果一定出现一个周期的延迟。
为了书写和运算的方便，引入时间平移因子，，则（2.1-1）式可写成：
（2.1-2）

式中：

也可写成： （2.1-3）说明： ① 用表示时间平移一个采样周期后，（2.1-1）式差分方程可以简化为以为变量的代数多项式的代数方程；
② 对于多项式A1 ()和B1（）可以进行四则运算，解差分方程可以变为解代数方程。
③ 对象的脉冲传递函数为：

它和（2.1-3）式 的形式相同，但两者的含义是有差别的。中的Z是Z平面（Z变换）上的一点，而（2.1-3）式中为时域变量。
2被控对象运行环境的描述（噪声数学模型）
工业实际中被控对象运行时可能受到各种干扰，作用于对象的不同点，由于对象是线性系统，利用叠加原理，将作用于系统的全部干扰用一个作用于系统输出的等价噪声v(k)来等效。
通常{v(k)}是一个具有有理谱密度的平稳随机信号，它代表很大一类干扰噪声信号。
1)平稳随机序列（过程） Stationary Random Sequence
其统计特性具有时间平移不变特性的随机信号。统计特性是分布函数和数字特征。数字特征有两个：①数学期望；②相关函数（协方差函数）。
(1)数学期望（均值）：描述变化的平稳性。Expectation。
或为0；
（概率空间的总体平均值）
（2）相关函数:描述变化的相关性（前后相关程度）。Relative Function。

若随机过程的数学期望为常数，相关函数与k无关，称为平稳随机过程。
2）谱密度 （Spectrum）
自相关函数的傅里叶（Fourier）变换称为平稳随机过程的功率频谱或谱密度。
（2.1-4）
（2.1-5）
当k=0，，设为电压（或电流），则为功率（即干扰强度）。由（2.1-5）式得到：

平均功率是各种频率噪声的功率总和，的平均值（即除以），因此表示频率为的干扰噪声信号的功率（强度）。也就是说源噪声可以看成各种频率噪声的混合。不同噪声其包含的各种频率信号的大小不同。例如：有的噪声以高频为主，可以用电容来消除。

3）白噪声（White Noise）
若一随机信号的期望值为0，相关函数为脉冲函数 ，
则称它为白噪声。
其谱密度为：
（常数）。
表明它的各个分量的强度都是一样的，相当于白光的光谱在各个频率上有相同的强度。不具有上述条件的噪声称为有色噪声。
4）随机扰动模型 （Stochastic disturbance model）
由谱表示定理可知：对于所有具有有理谱密度的平稳随机过程，都可以用白噪声激励一个稳定的线性的动态系统来产生（或表示）。
设具有有理谱密度的平稳随机信号{v(k）}，它可以表示为：
（2.1-6）
式中：——均值为0，方差为的白噪声；

多项式的零点（即扰动模型的极点）在单位圆内，产生有理谱密度的随机信号的线性系统是稳定的。
多项式的零点在单位圆内或圆上（该线性系统是最小相位的）。

3 随机离散差分模型Discrete-time stochastic difference model
将被控对象的输入输出关系和运行环境结合起来，得到完整的数学模型。 （2.1-3）和（2.1-6）联合，得到：

或者： （2.1-7）
（2.1-6）
其中：

并且假设 、 、是互质的（即三个多项式没有公因子）。
（2.1-7）

说明：①（2.1-7）式包括控制项，还包含有噪声项，描述了对象运行环境，它能代表大多数被控的单输入输出生产过程，是经常引用的数学模型，通常称为受控自回归滑动平均模型。CARAM (Controlled Auto-Regressive Moving Average)。
当，（2.1-7）式化为受白噪声干扰的模型，称为受控自回归模型。CAR（Controlled Auto-Regressive）。
②（2.1-7式中、和多项式的系数不一定相同可能分别为、
和，（2.1-7）式只是为了书写方便，写成了一般形式。
③对于多变量系统，y（k），u（k）和分别为，和的输出向量，控制向量和噪声向量。、 、分别为，，维多项式矩阵，而且：

④时间平移算式，将差分方程简化为代数方程，对于求解更为方便。它和Z变换中的变量一样，但含义完全不同，一个是时间因子，另一个是复变量。对于脉冲传递函数而言，它和（2.1-7）式的形式完全相同。（2.1-7）式描述的被控对象（即CARMA模型）的框图如图2.1-1所示。

图2.2-1 被控对象框图
对于多变量系统MIMO用矩阵差分方程来表示：
（2.1-8）
设=2，的维数p=2，q=2。=1，=0，d=2.

由（2.1-8）式得到：

2.2 最小二乘法参数估计 （Least Square Parameter Estimation）
1 一次完成最小二乘法（批量算法）
1）设被控系统模型为：CAR模型描述。
（2.2-1）
式中：

将（2.2-1）式写成：
（2.2-2）
式中：n——系统的阶次(已知量)，为了方便。未知量 为待估计参数。令参数向量为，记为：

k时刻以前的观测数据为已知量，记为：

（2.2-2）式可表示为：
） （2.2-3）
2）令k=1，2，…，N，得到新的数据向量为：

用N个数据向量组成数据矩阵为：

3）目标函数

（2.2-4）
4）求最小二乘估计参数
令，求得参数估计量，记为。
（2.2-5）
（推导过程省略）
说明：①最小二乘参数估计量是估计误差的平方和为最小的最优估计量。
②可以证明是无偏估计量，即E{}=。
③一般N>2n，随 的维数，使统计参数个数n，逆矩阵运算困难，不便于在线计算。
2 递推最小二乘法
1）递推公式
它由三个计算公式组成：
（2.2-6a）
（2.2-6b）
（2.2-6c）
式中：

2)递推计算步骤
（1）置初值，；
(2) 构成，通过预采样得到：

若 d>1，则：
（3）进行第N+1次采样；
（4）由（2.2-6a）~（2.2-6c）三式分别计算；
（5）递推一步，，返回（3）。
说明：①可以证明，它和的取值无关（最小二乘估计量的一致性）。
P（0）取值愈大，收敛于的速度愈快，一般。表明最小二乘估计不要任何先验知识（包括的统计特性）。
②从（2.2-6a）可以看出等于加上一个修正量。该修正量为增益向量乘以第N+1次测量值y（N+1）和其预报值之间的差值（用第N次以前的测量值和第N次的估计值对第N+1次测量值进行估计），该差值称为新息（Innovation），它表明第N+1次测量带来了关于参数的新信息。
③对于SISO模型来说，差值是标量，而向量，，的维数是不变的，只和参数向量维数有关，和测量次数无关。
④（2.2-6b）式中是一个标量的倒数，无需计算逆矩阵，计算量大大减少，适合于在线进行。
⑤由可知它为对称矩阵，而且是非负定的，在线计算过程中要注意对称化。而且（2.2-6c）式表明，表明使愈来愈接近。
3 慢时变参数的递推适应算法
1）数据饱和现象
由（2.2-6 c）可知，随着 ，使新采样数据对参数估计值的修正作用愈来愈弱，最后甚至不再起修正作用，称为数据饱和现象。
其产生饱和作用的原因是对新旧数据同样看待，削弱了新数据的作用。
2) 渐消记忆法
引入指数加权函数，对新旧采样数据作不同的加权，降低旧数据的作用。
将目标函数改为：
（2.2-7）
式中：—— 加权系数，，
削弱旧数据产生的误差，对新数据的误差乘以大的加权。经推导得到递推计算公式如下：
（2.2-8 a）
（2.2-8 b）
（2.2-8 c）
从（2.2-8 c）式可以看出，不小于，使不会随递推次数增加而减小。
一般取值为0.95~0.99，愈小跟随时变参数能力愈强，但参数估计精度愈低。
4 增广最小二乘法（Expanding Least square）
当为有色噪声时，则为有偏估计量，即，一般还可以满足工业控制要求。
1）对象的模型
设对象的模型为：
（2.2-9）
令参数向量为：

数据向量为：
则式（2.2-9可以改写为：
（2.2-10）
由于中序列是不能测量的，因此用估计量来近似的表示：

用递推最小二乘法计算公式，得到增广最小二乘的计算公式如下：
（2.2-11a）
（2.2-11b）
（2.2-11c）
（2.2-11d）
ELS计算步骤：
① 置初值，，；（2.2-11a）
②构成向量；
③进行第N+1次采样；
④按（2.2-11 b），（2.2-11 a）和（2.211c）式分别计算, 和，；
⑤递推一步，，返回（3）。
2.3 最小方差调节器 （Minimal Variance Regulator）
1 被控对象模型
设被调对象由CARMA模型表示：
（2.3-1）
式中：

——白噪声，

说明：输出y（k）用增量表示，即偏离给定值的偏差，这是调节器问题的要求。调节器的目的是使y（k）尽可能为0。当u（k）=0，则的原因是因为噪声信号的干扰。
2 允许控制问题
允许控制指的在求控制规律时可以利用的信息。它应当是物理上可以实现的信息的函数。他可以是K时刻及以前的输出和K-1时刻及其以前的控制作用。
3 目标函数
因为输出在u（k）=0的情况下，是由于引起的。因此对象的输出也是随机序列。用输出方差作为目标函数。
（2.3-2）
4 求最小方差控制规律
1）写出y（k+d）的表达式：
（2.3-3）
2）利用Diophatine方程将写成两部分
（2.3-4）
其中：

一般
（2.3-4）式代入（2.3-3）式得到：
（2.3-5）
3）用K时刻以前的输入输出来表示
将（2.3-1）式写成：

并代入（2.3-5）式，得到：
4）求u（k）
由目标函数：

，得到：
（2.3-7）
式中：
说明：①在求最小方程控制规律时，用多项式进行计算，非常简便充分显示引入变量将差分方程化为代数方程的优越性。
②（2.3-7）式表明最小方差控制规律是对象输出的线性负反馈，实际上是K时刻及其以前的输出和K时刻以前控制量的线性组合。
③求时，利用了因为是（k+1）时刻至（k+d）时刻的噪声序列的线性组合。而是K时刻及其以前的噪声序列各分量的线性组合，由于是白噪声，所以他们是不相关的，乘积的期望值为0。
④在（2.3-6）式中，y（k+d）包括两部分，其中 是可以在K时刻计算出来的（预报）。称为最佳预报分量，记为。
（2.3-8）
符号表示利用K时刻及其以前的数据对（k+d）时刻的输出y（k+d）进行预报。*表示最优预报。
最小方差调节器控制规律是令最优预报求得的，这是求解这类问题的一般方法。
5）控制误差的方差
表明控制误差方差的最小值为（2.3-9）式所示，它随d增加而增加，对象延迟时间会使控制误差增加。
举例：设对象的模型为：
求最小方差调节规律。
解：由题意知：

根据Diophantine方程，得到：

，，，。
上式变为：

用两边的同次项系数相等，得到：
，
这样，

最小方差调节律为：

得到：
5 闭环特性分析
对于调节器工作方式，输出为增量形式表示，则期望y（k+d）=0。 因此令，求最小方差调节器规律。
对于控制器工作方式，要求输出y（k）跟踪参考轨迹，期望输出，，它为参考输入乘以加权多项式（理解为参考模型），即：。
令，得到：

经整理后，
（2.3-10）
1）闭环系统框图
由（2.3-1）式和（2.3-10）式可画出闭环系统框图。
图2.3-1 最小方差控制器闭环系统结构框图
2）闭环系统特征方程式
将（2.3-10）式代入（2.3-1）式经整理得到：

（2.3-11）由（2.3-11）式和闭环系统框图可以看出：
决定闭环系统稳定性的是多项式和的零点位置。当它们的零点在单位圆外（以为变量），则系统是稳定的，否则是不稳定的。
由于调节器的控制方程中分母包含多项式，若对象是非最小相位的，有不稳定零点。使控制方程具有不稳定极点，u（k）将无界，若对象模型是准确而且定常，则闭环后因零极点相消，u(k)无界不能影响到输出端。而模型不准确或参数时变，闭环系统就不稳定，因此最小方差调节器适用于最小相位系统的对象。

§2.4自校正调节器（Self-Turing Regulater）STR
1. 控制思想
主要是解决对象参数未知（或时变）的最小方差调节器问题，由于最小方差控制规律G(z-1),B(z-1)和F(z-1)的计算需要知道对象的参数，原则上不能实现。
2. 求自校正调节器控制规律
1）改写预报方程
(2.3 – 6)
令，其中上式可写成：
（2.4-1）
又由（2.3-6）式得到：
（2.4-2）
由最小方差调节器控制规律可知，得到：
（2.4-3）
说明：（2.4-3）式为预报方程（闭环系统的），表明用时刻及其以前的输入和输出对时刻的输出进行预报。
同时，（2.4-3）式也是闭环系统的辨识方程。它表明最小方差控制闭环系统其控制规律各项系数应满足（2.4-3）式。
2）调节规律参数辨识
为了实现闭环系统参数辨识，将写成，其中，。
令参数向量：
其中，，
数据向量：
（2.4-3）式可改写为：
（2.4-4）
利用RLS估计参数向量θ，得到下列计算公式：
（2.4-5a）
（2.4-5b）
（2.4-5c）
注意：
①上述计算公式求出的参数估计量误差稍大一些，因为噪声误差是有色噪声。
②参数b0不参加辩识，作为已知量对待。在实际使用中是可选择的。使调节器的阶次,避免闭环条件下调节器参数不可辨识性。
3）求最下方差控制规律
令（2.4-2）式的最佳预报值为0，得到：
，即有。再在等式两边乘以，并用代替，就得到自校正调节器（最小方差）控制规律：
（2.4-7）
式中，，
4）自校正调节器（STR）算法计算步骤
①置初始值，，,，
②预采样得到和；
③k时刻采样，得到数据向量；
④按（2.4-5a）~（2.4-5c）计算，，；
⑤按（2.4-4）式计算，并输出；
⑥递推一步，，返回③。
3. 闭环条件下参数可辨识性问题
1） 问题提出
举例证明在闭环条件下，可能出现参数不能辨识的问题。设被控对象为：
（2.4-5）
，，，
由得到：
，，
和未知，用最小二乘法估计参数，将（2.4-5）是写成：

令，
设,
则最小二乘参数估计为：
(2.4-6)
其中 （2.4-7）
将控制规律代入（2.4-7)式，得到：

上述矩阵的第一列和第二列只相差一个常数因子，它们线性相关。为奇异矩阵，不能辨识和。
2） 解决办法
解决这个问题的办法有两种：
①增加调节器的阶次，将改为；
②将固定不参加辨识，只辨识。
⑴增加调节器的阶次
将代入（2.4-7）式，得到：

它为非奇异矩阵，可以求出的估计值和。因此，在控制规律为的条件下，参数和可辨识了。
⑵固定，只辨识
将（2.4-5）式变为
令，

这样，
由可求得参数的估计值。
可以证明在闭环条件下，调节器的阶次（对象的阶次）时，对象的参数可以辨识否则对象的参数不可辨识。在上例中，=1，=0，所以参数不可辨识。
通常采用固定一个参数的办法，不参加辨识，这样足可以避免由于辨识误差太小或趋于0，但过大，造成控制作用剧烈波动或执行机构动作过大。
4.自校正控制器（STC）
当要求对象输出跟踪期望值时，仍然采用最小方差控制，并引入自校正输出得到自校正控制器。
⑴预报方程
此时，最优预报， 为期望值则：
（2.4-8）
上式为预报方程，两边乘以，得到控制器参数辨识方程：
（2.4-9）
（2.4-8）式称为预报方程又称为控制器参数辨识方程。
设参数向量为：

数据向量：
预报方程（2.4-8）可写成：

⑵控制器参数估计
利用增广最小二乘法求控制器的参数，计算公式如下：
(2.4-10a)
(2.4-10b)
(2.4-10c)
式中，
因为，最优预报值等是不可能计算出来的。只能用它们的估计值来代替。它们用下列通式来表示：
（2.4-10d）
注意:

表明在估计参数值的同时也计算出最优预报值的估计值。
⑶自校正控制器控制规律（STC）
由预报方程（2.4-8）式，令最优预报值为输出期望值得到：

用参数向量和数据向量的估计值代入上式，得到：
（2.4-11）
自校正控制器控制规律计算与自校正调节器控制规律计算不同之处（STC与STR不同之处）在于：
①，实际运行时难于准确计算，而是用估计值来替代，通式为，其中就是向量中的，用估计量来代替。
②输出期望值，而是。
③参数向量扩展了，利用增广最小二乘法参数估计来估计控制器的参数。
⑷STC计算步骤
①置初始值，；
②预采样形成数据向量；
③采样；
④用（2.4-10a）~（2.4-10d）计算参数估计值；
⑤用（2.4-11）式计算
⑥递推一步，，返回③。
注意：在第二歩预采样形成时，用输出期望值来替代最优预报值。
§2.5广义最小方差自校正控制器（Generalized Minimal Variance STC）
1. 广义最小方差控制器
由于最小方差控制规律（控制器）的极点包含有对象的0点，对于非最小相位对象，控制器将有不稳定极点，使控制量无界（不稳定）。因此这种控制规律不适用于非最小相位对象。为了将这种控制规律推广到非最小相位对象，在目标函数中引入对控制量的限制，保证控制量始终有界。使对象的输出稳定。这就是广义最小方差控制器。
1） 对象数学模型
对象仍然采用CARMA模型描述，
（2.5-1）
式中

——对象的总延迟时间，
——对象噪声信号，。
2） 目标函数
设目标函数为：
（2.5-2）
式中——参考输入，经输入模型得到输出期望值。和——加权多项式。
令——广义输出
——广义理想输出
称为广义输出误差。
（2.5-2）式可写为：
（2.5-3）
这样就可以利用求最小方差控制律的方法，求出广义输出的最优预报，并令它等于广义理想输出，就可得到使广义输出误差方差最小的控制规律，称为广义最小方差控制规律。
3） 求解控制规律
⑴引入Diophatine方程
（2.5-4）
式中，

（2.5-1）式，引用（2.5-4）式，得到

两边除以，并代入，得到

可以看出最优预报表达式为：
（2.5-5）
（2.5-6）
令，求得广义最小方差控制规律

整理后得到：
（2.5-7）
式中

说明：
①控制器的极点由得零点决定，可以通过选择多项式来改变，而最小方差控制器的由得零点决定。
②广义输出最优预报值和最小方差最优预报值形式一样，但是和不尽相同，两者的Diophatine方程不同，只有时，两者才相同。
③广义最小方差控制规律中，令，则广义最小方差控制器和最小方差控制器的控制控制规律一样。令则和调节器的工作方式一样。
2. 广义最小方差控制器闭环系统框图和特性分析
1） 系统框图
由（2.5-1）式和（2.5-6）式，可画出闭环系统框图如图2.5-1所示
图2.5-1 广义最小方差控制器闭环系统框图
它和最小方差控制器闭环系统的结构一样只是控制器中换成而已。
2） 闭环特性分析
将（2.5-6）式代入（2.5-1）式得到闭环系统输入输出方程

整理后得到（省略变量符号）输出方程：

（2.5-8）
将（2.5-1）代入（2.5-6）得到控制（调节）器方程（输入方程）

利用得到
（2.5-9）
说明：
①闭环系统的特征方程为： （2.5-10）
可以看出特征根可以改变来移动表明即使是非最小相位对象，甚至不稳定对象，也可以通过广义最小方差控制使它们稳定工作。
②令（2.5-9）式变为
，
当，则闭环系统的特征根为的零点；
当，则闭环系统的特征根为的零点。
表明当由，闭环系统的极点由对象的零点迁移到对象的极点。对于非最小相位的稳定对象，当改变的值，闭环系统在单位圆外的极点就逐渐迁移到单位圆内来。
当，则和最小方差控制器的情况一样。
3. 广义最小方差自校正控制器计算公式
1） 预报方程（控制参数辨识方程）
令,(k + d)时刻广义输出为
两边乘以，得到：
（2.5-10）
令参数向量为：

数据向量为：
（2.5-9）式可写为：
（2.5-11）
利用最小二乘法估计参数向量，得到下列计算公式：
（2.5-12a）
（2.5-12b）
（2.5-12c）
式中为的估计量，是将数据向量中的最优预报值，,· · ·,用相应时刻的估计量来替代其通式为：
（2.5-12d）
例如：
2） 广义最小方差自校正控制规律
将由（2.512a）计算出的参数估计量代入92.5-6)式，得到

（2.5-13）
3） 广义最小方差自校正控制算法计算步骤
①置初始值，。设定。
②预采样形成数据向量；
③采样和；
④计算和；
⑤按（2.5-13）式计算；
⑥计算最优预报值的估计值；
⑦递推一步，，返回③。
4. 加权多项式，和的选择
1） 选择原则
由闭环系统特性分析可知，和多项式既影响系统的稳定性（2.5-9）式，也影响系统稳态误差（2.5-7）式，参考输入与系统输出之间的传递函数稳态值是1。因此选择原则为：
①设成立
②（2.5-14）
2） 选择方法
有两种选择方法：①离线选择法；②在线选择法前两者用于广义最小方差自校正控制器，离线试凑和，后者前用于极点配置广义自校正控制器。
现介绍离线试凑和的两种方法。
⑴采用积分器选择法
令，这样就可以保证稳态跟踪误差期望值0。即只要选择满足，为了简化设计，一般取。
⑵不采用积分器
将（2.5-14）式改写为用辨识参数表示：对于阶跃输入，将代入公式，得到选择，。
离线选择，使其满足：
在线选择使其满足：
其中，多项式，和的参数通过在线辨识得到。
一般来说，加入积分器来消除稳态误差的方法鲁棒性较强。而后一种方法受参数波动影响较大。但是前一种方法可能改变闭环系统的极点位置，有些系统使极点趋近单位圆，是输出不稳定。而后种方法在参数确定的情况下，闭环极点位置不太受影响。
§2.6自校正前馈控制器（Self-Turning Feed Forward Controller）
对于具有可测干扰的系统，采用前馈控制可有效地抑制干扰对输出的影响。检测蒸汽流量作为可测干扰，作为前馈控制信号。来控制给水量。使水位稳定在期望位置。
当可测干扰与输出之间通道的参数未知，则可引入自校正技术，与前馈控制结合起来。构成自校正前馈控制器。
1. 对象的数学模型
设对象由下列描述：
（2.6-1）
式中：和多项式和（2.5-1）式中的相同；
——可测性干扰，它与输出之间的通道用。多项式描述其延迟时间为，并且；
——不可测性干扰，设为白噪声。
2. 目标函数
（2.6-2）
式中和与（2.5-2）式中定义相同，为加权多项式。
通过选择可实现对项的动静态补偿。
定义广义输出：
广义理想输出：
广义输出误差：

这样将目标函数改写为：将问题变为输出为的系统的最小方差控制问题。
3. 求控制规律
由Diophatine方程：
，
1） 广义输出最优预报法：
有（2.6-1）式乘以得到:

整理后得到：
（2.6-3）
令广义输出最优预报值为：
（2.6-4）
令，经整理后得到：
（2.6-5）
式中：；
；
；
；
。
4. 广义最小方差前馈控制器结构框图和闭环特性分析
1） 结构框图
广义最小方差前馈控制器结构框图如图2.6-1所示。

图2.6-1 广义最小方差前馈控制闭环系统框图
从图可以看出：对象输出受到两种干扰信号的影响，①不可测干扰信号，②可测干扰信号它们都作用在输出端，前者用反馈信号来补偿。后者用前馈信号来补偿。只要适当选择就可使它引起的干扰完全被抵消。
2） 闭环特性分析
将（2.6-5）式代入（2.6-1）式得到：

两边除以C，得到闭环系统输出方程：

将（2.6-1）式代入（2.6-5）式，得到闭环系统输入方程：

整理后得到：
说明：
①闭环系统极点由确定，只要选择和保证且。即闭环系统的极点都在单位圆内，闭环系统就能稳定。
②由（2.6-6）式可知，必须选择完全补偿可测干扰的影响，若在目标函数中不引入可测干扰的加权项，，则必须选择。对于最小相位对象采用最小方差控制，在调解器方式或控制器方式都可实现对可测干扰的动静态补偿，但是对于非最小相位对象，为了保证闭环系统的稳定运行，。为了实现对可测干扰的静态全补偿，可引入积分器项，使.而对动态补偿不起作用。另外，为了实现可测干扰的动静态补偿，必须在目标函数中引入项，实现前馈控制。
5. 自校正前馈控制器