2018合肥一模理数试题和答案.pdf

高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 6 页）合肥市 2018 年高三第一次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分，共 60 分 一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分，共 60 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A C B C C D D A C B B D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.1 14.3 15.（4，4）16.213 三、解答题：三、解答题：17.（）根据正弦定理，由已知得：(sin2sin)cossincos0ABCCA?，1 分 即sincossincos2sincosACCABC?，sin()2sincosACBC?，ACB?，sin()sin()sin0ACBB?，sin2sincosBBC?，从而1cos2C?.5 分(0)C?，3C?.6 分（）由（）和余弦定理得 2221cos22abcCab?，即2212abab?，7 分 22()12332ababab?，9 分 即2()48ab?（当且仅当2 3ab?时等号成立）所以，ABC?周长的最大值为4 36 3c?.12 分 18.（）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M，则 3336119()=112020CP MC?，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为1920.5 分（）随机变量X的所有可能取值有0 1 2 3，.6 分 高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 6 页）因为2111(=0)=5480P X?，212411131(=1)=+545448P XC?，2124131333(=2)=+=5445480P XC?，2439(=3)=5420P X?，10 分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 180 18 3380 920 所以1103336()=01232.380808080E X?.12 分 19.（）证明：连结AC，交BD于点N，N为AC的中点，/MNEC.MNEFCECEFC?平面，平面，/MNEFC平面.3 分 BFDE，都垂直底面ABCD，/BFDE.BFDE?，BDEF为平行四边形，/BDEF.BDEFCEFEFC?平面，平面，/BDEFC平面.又MNBDN?，平面BDM平面EFC.6 分（）由已知，DE?平面ABCD，ABCD是正方形 DADCDE，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Dxyz?.设2AB?，则4DE?，从而(2 2 0)B，(1 0 2)M，(2 0 0)A，(0 0 4)E，(2 2 0)(1 0 2)DBDM?，设平面BDM的一个法向量为()nx yz?，由00n DBn DM?得 22020 xyxz?.令2x?，则21yz?，从而(2,2,1)n?.10 分(2 0 4)AE?，设AE与平面BDM所成的角为?，则 11 分 高三数学试题（理科）答案 第 3 页（共 6 页）4 5sin|cos|15n AE?，所以，直线AE与平面BDM所成角的正弦值为4 515.12 分 20.20.（）由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上.设椭圆E的标准方程为22221(0)xyabab?，焦距为2c，则bc?，22222abcb?，椭圆E的标准方程为222212xybb?.又椭圆E过点2(1 )2，2211212bb?，解得 21b?.椭圆E的标准方程为2212xy?.5 分（）由于点(2 0)?，在椭圆E外，所以直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k，则直线:(2)l yk x?，设1122()()M xyN xy，.由22(2)12yk xxy?消去y得,2222(12)8820kxk xk?.由0?得2102k?，从而2122812kxxk?，21228212kx xk?，22212222412 1(12)kMNkxxkk?.点2(1 0)F，到直线l的距离23|1kdk?，2F MN?的面积为22221(24)32(12)kkSMN dk?.9 分 令212kt?，则1 2)t?，22222(1)(2)323213133313248ttttSttttt?，当134t?即43t?(41 2)3?，)时，S有最大值，max3 24S?，此时66k?.所以，当直线l的斜率为66?时，可使2F MN?的面积最大，其最大值为3 24.12 分 高三数学试题（理科）答案 第 4 页（共 6 页）21.21.（）()f x的定义域为12?，222222()21(21)axaxafxxxxx?.1 分 2210 0 xx?，.令2()22g xxaxa?，则（1）若0?，即当02a?时，对任意12x?，()0g x?恒成立，即当12x?，时，()0fx?恒成立（仅在孤立点处等号成立）.()f x在12?，上单调递增.3 分（2）若0?，即当2a?或0a?时，()g x的对称轴为2ax?.当0a?时，02a?，且11()022g?.如图 1，任意12x?，()0g x?恒成立，即任意12x?，时，()0fx?恒成立，()f x在12?，上单调递增.当2a?时，12a?，且11()022g?.如图 2，记()0g x?的两根为 211(2)2xaaa?，221(2)2xaaa?.当?121 2xxx?，时，()0g x?；当?12xxx?，时，()0g x?.当?121 2xxx?，时，()0fx?，当?12xxx?，时，()0fx?.()f x在11 2x?，和?2 x?，上单调递增，在?12xx，上单调递减.综上，当2a?时，()f x在12?，上单调递增；高三数学试题（理科）答案 第 5 页（共 6 页）当2a?时，()f x在211(2)22aaa?，和21(2)2aaa?，上单调递增，在2211(2)(2)22aaaaaa?，上单调递减.6 分（）()f xax?恒成立等价于1 2x?，()0f xax?恒成立.令()()ln(21)ah xf xaxxaxx?，则()f xax?恒成立等价于1 2x?，()0(1)h xh?（*）.要满足（*）式，即()h x在1x?时取得最大值.3222(2)2()(21)axa xaxah xxx?.8 分 由(1)0h?解得1a?.当1a?时，22(1)(21)()(21)xxxh xxx?，当1 12x?，时，()0h x?；当?1 x?，时，()0h x?.当1a?时，()h x在1 12?，上 单 调 递 增，在?1?，上 单 调 递 减，从 而()(1)0h xh?，符合题意.所以，1a?.12 分 22.（）由2cos0?得：22 cos0?.因为222cosxyx?，所以2220 xyx?，即曲线2C的普通方程为22(1)1xy?5 分（）由（）可知，圆2C的圆心为2C(1 0)，半径为 1.设曲线1C上的动点(3cos 2sin)M?，由动点N在圆2C上可得：min2min|1MNMC?.6 分 2222|(3cos1)4sin5cos6cos5MC?8 分 当3cos5?时，2 min4 5|5MC?，min2min4 5|115MNMC?.10 分 23.（）?1121211f xf xxx?，1 分 高三数学试题（理科）答案 第 6 页（共 6 页）122121 1xxx?或11221 2211xxx?或121 221 1xxx?4 分?12x?或1142x?14x?，所以，原不等式的解集为1,4?；5 分（）由条件知，不等式2121xxm?有解，则?min2121mxx?即可.6分 由于?21211 2211 2212xxxxxx?，8 分 当且仅当?1 2210 xx?，即当1 1,2 2x?时等号成立，故2m?.所以，m的取值范围是?2,?10 分