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(完整word)非线性规划模型
非线性规划模型
在上一次作业中，我们对线性规划模型进行了相应的介绍及优缺点，然而在实际问题中并不是所有的问题都可以利用线性规划模型求解。实际问题中许多都可以归结为一个非线性规划问题，即如果目标函数和约束条件中包含有非线性函数，则这样的问题称为非线性规划问题。一般来说，解决非线性的问题要比线性的问题难得多，不像线性规划有适用于一般情况的单纯形法.对于线性规划来说，其可行域一般是一个凸集,只要存在最优解，则其最优解一定在可行域的边界上达到;对于非线性规划，即使是存在最优解，却是可以在可行域的任一点达到,因此，对于非线性规划模型,迄今为止还没有一种适用于一般情况的求解方法，我们在本文中也只是介绍了几个比较常用的几个求解方法。
一、非线性规划的分类
1无约束的非线性规划
当问题没有约束条件时，即求多元函数的极值问题，一般模型为

此类问题即为无约束的非线性规划问题
1。1无约束非线性规划的解法
1。1。1一般迭代法
即为可行方向法.对于问题
给出的极小点的初始值，按某种规律计算出一系列的，希望点阵的极限就是的一个极小点。
由一个解向量求出另一个新的解向量
向量是由方向和长度确定的，所以
即求解和，选择和的原则是使目标函数在点阵上的值逐步减小，即

检验是否收敛与最优解，及对于给定的精度，是否。
1。1。2一维搜索法
当用迭代法求函数的极小点时，常常用到一维搜索，即沿某一已知方向求目标函数的极小点。一维搜索的方法很多,常用的有:
（1）试探法(“成功—失败”，斐波那契法,0。618法等)；
（2)插值法(抛物线插值法，三次插值法等）；
（3)微积分中的求根法(切线法，二分法等）.
考虑一维极小化问题

若是区间上的下单峰函数，我们介绍通过不断地缩短的长度，来搜索得的近似最优解的两个方法。通过缩短区间，逐步搜索得的最优解的近似值
2。1.3梯度法
选择一个使函数值下降速度最快的的方向.把在点的方向导数最小的方向作为搜索方向,即令.
计算步骤：
（1)选定初始点和给定的要求,；
（2）若，则停止计算，，否则；
（3)在处沿方向做一维搜索得，返回第二步，直到求得最优解为止.可以求得:

2.1。4共轭梯度法
又称共轭斜量法，仅适用于正定二次函数的极小值问题：

A为阶实对称正定阵
从任意初始点和向量出发，由

和
可以得到—-能够证明向量——是线性无关的,且关于A是两两共轭的。从而可得到-—，则——为——的极小点。
计算步骤:
（1）对任意初始点和向量,取
（2)若,即得到最优解，停止计算,否则求

（3）令；返回（2）
2.1.5牛顿法
对于问题：

由则由最优条件当A为正定时，存在,于是有为最优解
2。1.6拟牛顿法
对于一般的二阶可微函数，在点的局部有

当正定时，也可用上面的牛顿法，这就是拟牛顿法.
计算步骤：
（1） 任取，
（2）计算，若，则停止计算,否则计算，令；
（3）令;返回（2）

2有约束的非线性规划

2.1非线性规划的最优性条件
若是非线性问题中的极小点，且对点有效约束的梯度线性无关，则必存在向量使下述条件成立:

此条件为库恩-塔克条件（K-T条件），满足K—T条件的点也称为K—T点。
K-T条件是非线性规划最重要的理论基础，是确定某点是否为最优解的必要条件，但不一定是充要条件.对于凸规划它一定是充要条件.
2。2非线性规划的可行方向法
由于线性规划的目标函数为线性函数,可行域为凸集，因而求出的最优解就是整个可行域上的全局最优解.非线性规划却不然，有时求出的某个解虽是一部分可行域上的极值点,但并不一定是整个可行域上的全局最优解。
假设非线性规划问题中的一个可行解，但不是最优解，为了进一步寻找最优解在它的可行下降方向中选取其中一个方向，并确定最佳步长，使得

反复进行这一过程,直到得到满足精度要求为止，这种方法称为可行方向法，也称迭代法。
2。3有约束非线性规划的解法
2。3。1外点法
（1)对于等式约束问题

做辅助函数

如果最优解满足或近似满足则就是问题的最优解或近似解
（2)对于不等式约束问题
做辅助函数

求.
(3）对于一般问题
做辅助函数

求解
2.3.2内点法
内点法是在可行域内进行得，并一直保持在可行域内进行搜索，只适用于不等式约束的问题
辅助函数:

X趋于R的边界时，使趋向于正无穷，的常用形式

求解
二． 非线性规划的缺陷不足
算法
优点
缺点

梯度法
计算量小，存储变量较少，初始点要求不高
初值依赖,收敛慢，最速下降法适用于寻优过程的前期迭代或作为间插步骤，越接近极值点时,收敛熟读越慢，后期宜选用收敛快的算法
牛顿法
收敛速度很快
当维数较高时，计算的工作量很大，初值依赖，当初值选择不好时,有可能计算出现异常,导致迭代无法进行，该法需要修正
拟牛顿法
收敛速度快,避免牛顿矩阵求逆运算，算法更稳定
初值依赖程度相对牛顿法减弱,但仍然存在

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