2023年高考数学一轮复习 课件 第十二单元 圆锥曲线的概念与几何性质.pdf

2023届新年案高考第一轮复习第十二单元|数学锥曲线的概念与几何性质园12.1椭圆o o o目学基础知识讲考点考向 悟方法技巧学基础知识知识清单1.椭圆的定义 平面内与两个定点,6的 距离的和等于常数2 a（2|尸1尸2|）的动点P的轨迹叫作椭圆，这两个定点为尸2叫作椭圆的焦点特别提醒当2=尸声21时，动点的轨迹是线段尸1尸2；当2尸1尸2|时,动点的轨迹不存在.【目录,2.椭圆的标准方程2 2中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆的标准方程为争2=1（泌0）.a乙 b乙2 2中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆的标准方程为%十方1（泌 0）.特别提醒焦点在x轴上=标准方程中含2项的分母较大;焦点在y轴上=标准方程中含V 项的分母较大.目录3,椭圆的几何性质标准方程2 2土+匕=1 a2 b?(abQ)2 2匕+土=1 小b2(ab0)范围xa,ybxb,yb 0),n=a+e%o,厂2=a-exo；a乙b乙 2 2(2)-4-=1(abQn=a+ey o,2=-ey o.2.焦点三角形:椭圆上的点尸(xo,y o)(y o川)与两焦点构成的尸尸叫作焦点三角形，/尸1尸&=。公2 2pbb的面积为s,贝!J在椭圆白+金=1(60)中，(1)当尸为短轴端点时最大；(2)5=|PFi|PF2|-sin。=曲就=中让当”匚人时，即点P为短轴端点时,S取得最大值，最大值为be;焦点三角形的周长为2(a+c).3.焦点弦才旨过焦点的弦,其中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长/mi把.CL2 24若AB为椭圆力=1（。泌0）的弦，且其所在直线的斜率为匕4（阳加）不（孙问,弦中点M（%o,yo）,则:(1)I AB|=V1+k1 2 x1-x21=(2)左二 学.Q 2yo夯实基础【概念辨析】1.判断下面结论是否正确.（对的打 飞，错的打X）平面内与两个定点为产2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.（X）方程座”町;2=（加0,0,盛）表示的曲线是椭圆（q）椭圆上一点P与两焦点后尸2构成?外尸2的周长为2+2c（其中a为椭圆的长半轴 长，。为椭圆的半焦距）.（V）2 25+3=1（。邦）表示焦点在y轴上的椭圆（x）【对接教材】2.已知点尸(3,0)乃(3,0),点P到尸1,尸2的距离之和为10,则点尸的轨迹方程 2 2.土+匕=1为 25 16.解析因为归BI+IP尸2|=10回尸2|=6,所以点尸的轨迹是以尸1/2为焦点的椭圆，其中a=5,c=3,则故点尸的轨迹方程为|+得=1.3.设椭圆的两个焦点分别为乱尸2,过点尸2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为解析设椭圆方程为今+3=1（。0）,依题意显然有I。尸2|=|尸1尸2,则竺二2 c,即-。2=2的即*+2 6-1=0又 0e0）的两个焦点,P为椭圆。上的一点,a乙b乙且丽.若PA尸2的面积为9,则旦 3.解析设mI，心1=2则.I*：*,2 rl 升2=（片+厂2）2-（厅+行）=42-42=4。2,，S2f/2=%/2=9,解得 b=3.【变式设问】在本例中增加条件PH B的周长为18、其他条件不变,2 2则该椭圆的方程为 无+e=i.解析由原题得尻=屋七2=9,又2+2 c=l8,，a-c=l,解得a=5,2 2故该椭圆的方程为蒸+?=L点拨椭圆定义的应用技巧VWWWWVWVWWWV椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是 否为椭圆;二是当点尸在椭圆上时，与椭圆的两焦点尸1,产2组成的三角形通常称 为“焦点三角形，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求通 过整体代入可求其面积等.【追踪训练1已知尸是椭圆5炉+9y=45的左焦点/是此椭圆上的动 点,A(l,l)是一定点，则|尸4+|尸网的最大值为6+或，最小值为6-夜.2 2解析椭圆方程可化为卷十七=1,设八是椭圆的右焦点，则尸1(2,0),AFi|=V2,|PF|4-|PFi|=6,A|PA|+|PF|=|PA|-|PFi|+6.又曰尸A|-|尸BISIAH I(当尸AB三点共线时等号成立)，6-V2|PA|+|PF|o）的右焦点为F,0为a乙 3坐标原点,。上有且只有一个点P满足I。尸1=1尸尸I,则。的方程为（D）.A.S+0=112 32 2C 二+二二16 3B.D.疔+二=18 32 2土+匕=14 3解析根据对称性知点尸在冗轴上，又I。川=尸尸|,所以=2 c,代入2=3+（?,解得 4=2,c=l,2 2故椭圆方程为多+-=L 4 D2 2（2 02 2.江西五校协作体联考）已知方1尸2分别是椭圆意+左=1（泌0）的 左、右焦点，尸为椭圆上的动点，动点0满足印所=1用II而I且I而1=1恒I,其中审现所初若|而|的最小值为1,最大值为9,则该椭圆的方程为（A）.A.C.2 5 92 2土+匕=12 5 16r2B.+y2=l9/y2D 鼻+V=181,【目录,解析由于丽=1瓦耳I可I知点方1,。共线,且乔与而同向.由椭圆的定义知|9|+|恒|=2名又|讯1=1而|,所以|四|+|而1=1而|=2区所以动点。在以方1为圆心,2。为半径的圆上.由平面几何知识知，当点P位于左顶点时,|所|取得最大值，最la+c=9大值为当点p位于右顶点时,I同I取得最小值，最小值为1-G所以 7 解(a-c=1,得,：上所以以3,所以椭圆的方程为看故选A.点拨 利用定义法求椭圆方程时，要注意条件2 o|RB|；利用待定系数VWVVWVWVVVWVVUVV法求椭圆方程时，要先定形（焦点位置），再定量,也可把椭圆方程设为mx1+ny2=l（mO,n O,mn）的形式.（2）椭圆方程的两个应用2 2 2 2椭圆方1与+上却0）有相同的离心率2 2与椭圆今+9=1（。泌0）共焦点的椭圆系方程为M b乙2 2含厂1（。04+炉0）,恰当运用椭圆系方程，可使运算简便.a iK u iK2 2【追踪训练2】（2022.湖北模拟）已知椭圆。邑+9=1（泌0）的左、右焦点 aL b乙分别为方昭,离心率为过F2的直线与椭圆C交于A乃两点若几钻的周长为8,则该椭圆的方程为（A）.a%2 y2A+=14 3r2C万+户1B.=l16 122 2D.M2 14 2解析如图，由椭圆的定义可知，b1A5的周长为4,；4 a=8,即 q=2.又离心率为1。二1,则b2=3.2 2，椭圆C的方程为学玲=1.4 32 2（2022.豫北名校联盟联考）已知F（-1,O）为椭圆彳+S=1（泌0）的左焦点 过点F的直线与椭圆交于A,B两点与y轴交于点D若丽=2丽,4 阳则椭圆 标准方程为（D）.A.C.r2万+户12 2注+注二14 3B.D./y2+=13 22 2仁+艺=15 4解析2。=2。8”二股：.AF=FD=DB,：.F,D是线段AB的三等分点不妨设点B在第一象限1*2 l4 k 2 4b2尸（10）,2（1）,我+,=1得=m。（0,茶）加2石）,希+克”2 2:c=l,，屋=5/2=4,，椭圆的标准方程为V+?=L 4考点3椭圆的几何性质【考向变换】考向1桶圆的长轴、短轴、焦距2 2例3椭圆萨+=1的焦距为4,则实数m=4或8,10-m m-2-解析当焦点在X轴上时,10-心怔20,且10-怔（怔2）=4,所以加=4;当焦点在y轴 上时，加-2 10如0,且加2（10如）=4,所以m=8.综上可知盟=4或m=8.点拨 解决有关椭圆的长轴、短轴、焦距的问题,要明白长轴、短轴、焦距 三者之间的关系.【追踪训练3椭圆。的长轴长是短轴长的3倍,则椭圆。的离心率 2 V2为亍.2 2解析不妨设椭圆c的方程为京+*（泌0）,则2=2 bX3,即a=3b.*=9。2=9(2.4),艮|彳a乙9c 2V2a3考向2求椭圆的离心率2 2例4（2022.湖南长沙模拟）已知椭圆与+3=1（20）与直线匕*=1交于 a乙b乙 a bA乃两点，焦点网0,0,其中c为半焦距.若4 A取是直角三角形厕该椭圆的离心率为（A）.A.C.V5-12V3+14B.D.V3-1 2V5+14化.+史=1解析联立方程晨：2，a b 9解喉X二。不妨设A（0,）,3（也0）.由题意可知，瓦5 丽=0,因为瓦?=S,），加=S,-c）,所以 b2-ac=0,因为62=2_02,所以屋陷二G即2+-1=0,解得右浮或右芋（舍去），乙 乙所以该椭圆的离心率为冬.点拨 求椭圆离心率的三种方法VWWVWVWWWVWW1.直接求出a,c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a,c的值.2.构造的的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程，然后 转化为关于离心率e的一元二次方程求解.3.通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.【目录,特别提醒在解关于离心率e的一元二次方程时，要注意利用椭圆的离心率(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.2 2【追踪训练4】（2022.河北石家庄模拟）在直角坐标系xQy中方是椭圆。片+金=1（泌0）的左焦点Ai?分别为左、右顶点，过点尸作x轴的垂线交椭圆。于P,。两点，连接尸3交y轴于 点瓦连接AE交PQ于点M若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为（C）.A埠 B.1-21-3 C1-4 D解析如图，连接3。很（由椭圆的对称性得N尸班三NQ3凡NEA3=NEA4所以 NEA3=NQ3 尸，所以 ME/BQ,所以有尸”所以篙需易知s 硝。，所以耨嚼，从而有黑喘4.又因为M是线段P厂的中点，所以e，=黑4故选C.a MQ 3考向3根据椭圆的性质求参数例5椭圆三+圣=1的离心率为捌上的值为（C）.y 4+k A.-2 1 B.2 1C矣或21 D.|诚21解析若2=9/2=4+匕贝！C=由即得左=*；若2=4+匕/=9厕c=、口，由Y，即h 解得%=21.综上可得，仁黄或k=21.a 5 v4+/c 5 25点拨 与椭圆几何性质有关的问题要注意数形结合、分类讨论思想的应用.VWWWWWVWWWW【目录,【追踪训练5】若椭圆卷+。=1的离心率则实数左的值为4或|.上+8 9 2-解析若焦点在X轴上，即左+89,则屋二左+8为2=9,/=土=解得左=4;az az k+8 4若焦点在y轴上，即。左+89,则层=9/2=左+8,二岁-二昔二、解得左二推综上可知04或人4悟方法技巧方法突破与椭圆有关的范围（最值）问题的求解策略将所求范围用椭圆上点的坐标表示,利用坐标范围构造不等关系求解.（2）将所求范围用。力表示，利用a.b.c自身的关系求范围（最值）.目录2 2典例（2021年全国乙卷）设3是椭圆。:彳+金=1（泌0）的上顶点若。上的任意一点P都满足IP3区2 则。的离心率的取值范围是（C）.A.争）C.（0,苧 D.（0,12 2解析设尸（Xo,yo）,所以+翁=1,因为屋二户十新且3（0力）,c”2 r 2 t）3 k 4所以|尸3|2二以+（涧）2=浮（1瑞）+0o/）2=（泗+方代+应+屋+户。D C Ck3 因为-00。当即按次2时,|PB|怒X=4尻即1PBimax=24符合题意.C由官次2可得 於24即0丝条乙i-3 r4 卜4 _当也即加02时/p网涯=勺+屋+氏即勺+次+后将化简得（己左）2柳显然该不等C C C式不成立，故选C.2 2若。和尸分别为椭圆f=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点，则 而丽的最大值为(C).A.2 B.3 C.6 D.82 2解析由椭圆亍+=1可得产(-1,0),点0(0,0),设Py)(-2M2),则赤=(x,y),而=(九+“)2所以0尸 F尸=12+%+),2=元2+%+3(1-?)=92+%+3=：(x+2)2+2,-2 sxs2,当且仅当 x=2 4 4 4时，市.而取得最大值，最大值为6.方法总结与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法1利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质求最值或取值范围.2.利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围.3.利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.4.利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围.2 2【突破训练】若尸为椭圆器+套=1上任意一点石方为圆丑（工-1）2+/4的任 意一条直径，则近而的取值范围是（C）.A.0,15 B.5,15C.5,2 1 D.（5,2 1）解析由题意知圆N的圆心N（1,O）恰好是椭圆的右焦点，.PE-PF=（PN+丽（前+NF）=（PN+福（丽福二丽 2.通 2=丽 F4.ZYI丽|%+G即30|丽区5,丽丽的取值范围是5,21.2 2（2）（2022.山东烟台模拟）已知椭圆Cj+S=l（泌0）的左、右焦点分别为尸1,见过原点 a4 b乙的直线与C交于A乃两点（点A在第一象限）若归引=2卜尼,且sin/AH/2 sin N及1/1,则椭圆离心率的取值范围是解析如图所示：;直线AB过原点,点A.B关于原点对称，即04=。民V|AB|=2。2/2=2。,且 OFi=OF2,FiFz=2c,四边形 AFiBF2 为矩形,ZFiAF2=90o,【目录,+AF2=2g,.2=4 c 2=a仔+a 印2 2AFvaf2人Ll#+A欧=(2c)2 4 a2(4Fi+AF2)2%2 1 而+AF我 在 Rt AAFiB 中,sin/AB 尸i=篝,sin N5A 尸i 二察，V sin ZABFi2 sin ZBAFb：.AFi2BFi.9：BFi=AF2,：.AFiAF2,：.AF2AFAFM lg 2.令 U翁厕，+*(2,|,.黯=.1 4 AF2 AFi t,=1+2 4 FrAF2 r9)2(1 5n.72 1+a&+AF/2 9即回孝，学/1),2023届新年案高考第一轮复习第十二单元|数学锥曲线的概念与几何性质园12.2双曲线o o o目学基础知识讲考点考向 悟方法技巧学基础知识知识清单1.双曲线的定义平面内到两个定点孔内的距离的差的绝对值等于常数2(2 a0,Z?0).=l(a0,Z?0).特别提醒在双曲线的标准方程中，看/与/的系数的正负，若/的系数为正，则焦点在 X轴上;若V的系数为正，则焦点在y轴上,即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑：3.双曲线的几何性质标准方程2 2式工 小b2(aQ,bQ)2 2M b2(aO,bO)范围xa,yRya,xR对称性对称轴:x轴,y轴;对称中心:原点焦点爪-G。)/2(C,0)尸 i(0,C)顶点A i(0,-a)4(0,。)轴线段44和囱&分别是双曲线的实轴和虚轴;实轴长为2区，虚轴长为2L焦距汪旭|二2c离心率C e=-=a i+0,e(l，+8)渐近线y=b ay=xa,b,c 的关系c2-Z72【目录,拓展知识L过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为型也叫通径.a 2 2 2 22.与双曲线.-力=1（0力0）有共同渐近线的方程可表示为.-合=伏）.*3,双曲线的焦点到渐近线的距离总是顶点到渐近线的距离为吆，双曲线上任意一点到两C渐近线的距离之积为定值学.CL4.若尸是双曲线右支上一点,尸1,尸2分别为双曲线的左、右焦点厕|PK|min=G+C,|P尸2|min=C-.v2-.2 u25.若A3是双曲线后不=1的不平行于对称轴的弦,M%o,yo)为AB的中点则左o 左即6.设P是双曲线上异于顶点的任一点/2为其焦点记/尸1尸尸2=4则2b2(1)|PF1|PF2|=-;1-C0S(7h2焦点三角形的面积S36F2=。加=嬴1.夯实基础【概念辨析】1.判断下面结论是否正确.（对的打，错的打x）平面内到点尸1（0,4）/2（0,-4）距离之差等于6的点的轨迹是双曲线（x）平面内到点尸1（0,4）,尸2（0,-4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线（x）2 2方程J匕=1（加0）表示焦点在轴上的双曲线（x）m n 2 2 2 2（4）双曲线嘉士=2（心0,心0,拄0）的渐近线方程是3=0,即2卜0.（V）【对接教材】2.已知双曲线2=1上一点尸到它的一个焦点的距离等于4那么点尸到另一1O个焦点的距离等于 6.解析设双曲线的焦点为分/2,由题意得I尸尸11=4厕11尸BH尸|=2,故I尸尸2|=6或|尸尸2|=2,又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c-二旧-12,故|尸尸2匚6.【目录,2 2 2 y _3.以椭圆学+g=l的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 一百二1.2 2 _ 2 2解析设要求的双曲线方程为容2=1(。0力 0),由椭圆y+9=1,得焦点为(1,0),顶a乙b乙 4 3点为(2,0),所以双曲线的顶点为(1,0),焦点为(2,0),所以=l,c=2,则炉=/=3,所2以该双曲线的标准方程为【易错自纠】X2 y2 _L i.y2 x24.已知双曲线的实轴长为8,离心率为2,则双曲线的标准方程为需百人或正一花解析由题意知a=4,e=-=2.Clc=8,/.Z;2=c2-6z2=64-16=4 8.V双曲线的焦点位置不确定,所求双曲线的标准方程为善;1或展白L16 48 16 485.（2022.江苏镇江模拟）已知方程所2+町;2=i（皿R）,则下面四个选项中错误的 是（B）.A.当mnQ时,方程表示椭圆，其焦点在y轴上B.当m=n0时，方程表示圆，其半径为近C.当mnn0时,0工0时，方程表示半径为的圆，故B错误;对于C,当mn0时,2相=4彳导加=2;当m0力0）的右顶点作无轴的垂线，与。的一条渐近线相 a乙b乙交于点A若以。的右焦点厂为圆心、4为半径的圆经过40两点（O为坐标原点），则双曲线C的标准方程为（A）.2 2A 二-匕=14 122 2c JJ8 82 2b二=i7 92 2口土-匕=11 2 4解析因为渐近线y=-x与直线x=a交于点力），半径r=c=4,所以|AF|二 J（4-a）2+炉=4,结合次二理二16,解得屋=4力2=12,2 2因此双曲线。的标准方程为手冬=1.4 Z点拨求双曲线的标准方程的方法(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线的定义，确定 2 a,2 b或2 c,从而求出足力2的值，写出双曲线的方程(2)待定系数法:先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程，再由条件确 定a2,b2的值，即“先定型，再定量”;如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为2 2豪奈加。,。/邦)，再根据条件求“的值【目录,注意：（1）双曲线与椭圆的方程均可设为如（；2+盯2=（根*0）,其中当小0,（）,且 mtn时表示椭圆;当mn0）；2 2已知渐近线为土土也0的双曲线方程可设为斗一=2（拄0）.考点3双曲线的几何性质【考向变换】考向1求双曲线的离心率（或范围）例2（1）（2021年全国甲卷）已知是双曲线。的两个焦点/为。上 一点且NKP尸2=60。,|尸尸1|二3|尸外|,则。的离心率为（A）.A 佟 B.孚 C.V7 D.V13乙 乙【目录,解析|尸孙二3|尸网设IPK|=3人|尸外|=加，由双曲线的定义得I尸R|尸分|=2。=2也解得a=m,：.|PFi|=3|PF2|=2|FiF2|=2c,在尸尸中,由余弦定理得4 c9屋+屋-2 x3xxc o s 60,化简得4才=7屋,，e*.乙2 2(2)已知尸为双曲线力0)的右焦点人为。的右顶点乃为。上 aL b乙的点，且B尸垂直于元轴,若AB的斜率为3,则。的离心率为 2.解析由题意知，点B为双曲线的通径位于第一象限的端点其坐标为a耳,点A的 坐标为3,0).-0TAB的斜率为3,.二J=3,c-a即。2_。2a(c-a)=e+l=3,.e=2.a【目录,点拨 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲 WVWVVWVWVWWVW线基本量ahc的方程或不等式利用 色浮+配和e=转化为关于e的方程（或 CL不等式），通过解方程（或不等式）求得离心率的值（或范围）.目录v2【追踪训练2(2022.湖北黄冈模拟)设尸出分别是双曲线。：容金=1(0力0)的左、右焦点，。是坐标原点.过尸2作c的一条渐近线的垂线，垂足 b乙为尸,若|尸川二的。尸I,则C的离心率为(B).A.V5 B.V3 C.2 D.V2解析由题可知I尸网二仇I。巳1=。,，|尸0二。,|尸。|二。.在Rt尸。尸2中,c o s/尸尸2。=翳=2.0F2 c.在叨6中,c o s/明0=吗*我上，2IPF2H&F2I C b2+4c2-(V6g)2_b 23,2。原*2b?c Z一，一$考向2求双曲线的渐近线方程2例3已知双曲线。:土-产=1（加0）的一条渐近线方程为%+加产0,则C的焦距为 4.解析由渐近线方程限+形产。化简得 尸旦，即2=2两边平方得白之 m am a 乙 m又双曲线中a?二加/2=1,所以鸟,解得m=3或 所（X舍去），mz m由，二屋+。2=3+1=4得 c=2,故焦距 2 c=4.2 2（2022.湖北武汉调研）已知双曲线。:弓啜二1（心040）的离心率与椭圆 m乙n乙2 21+3=1的离心率互为倒数厕双曲线C的渐近线方程为（A）.25 16AAx3y=QB.3x4 y=0C.4 xi3y=0 或 3x4 y=0D.4 xi5y=0 或 5x4 y=0【目录,解析由题意知,椭圆中=5力=4,椭圆的离心率e=Jl-7=|,N aL 5双曲线的离心率为J1+三=|,解得北二*7 mz 3 m 3二双曲线的渐近线方程为产京=3,即4 xi3y=0.故选A.点拨 求双曲线的渐近线方程时利用,二片+尻转化为关于力的方程,双曲线渐近线的斜率与离心率的关系七2=之=、百=a a aL【追踪训练3（2022.浙江杭州模拟）中心在原点,焦点位于光轴，离心率为旧的双曲线 的渐近线方程为（B）.A.y=x B.y=/2x C.y=/3x D.y=2x2 2解析设双曲线的方程为=1（0力0）,M b乙因为，=1+弓=3,所以空企,故所求渐近线的方程为y=s/2x.az a悟方法技巧方法突破1直线与双曲线的位置关系例1（2022.河北唐山模拟）若过点A（O,1）作直线，与双曲线2.9二1有且只 有一个公共点，则符合条件的直线的条数为（C）.A.0B.2C.4D.无数解析如图，由题意可得，直线的斜率一定存在，设为匕则直线方程为产质+1,代入双曲线的方程,整理得（9次2）%2.2履-10=0,当匕坞时,方程有一解，直线与双曲线只有一个公共点;当原长时，由=0解得左=7比此时直线与双曲线相切，只有一个公共点.故符合条件的直线有4条.,2(2)(2 02 2.山东模拟)若过双曲线/.=1的右焦点作直线I交双曲线于A石两点，则满足|阴=6的直线/有(B).A.4条 B.3条 C2条 D.1条解析当直线/的倾斜角为90。时,|A为=型二6;当直线/的倾斜角为0。时,|阴=26.故当直线/适当倾斜时，还可作出两条直线使得|同引=6.故满足|AB|=6的直线/有3条.目录1方法总结(1)“中点弦”问题常用“点差法”求解，但求出弦所在直线的方程后应代回检验.弦长问题用弦长公式求解，注意“焦点弦”的弦长与通径、实轴长之间关系的应 用.如本例中双曲线的实轴长为2,通径长为6,则满足四|=加的直线:当 0m2时有0条;当m=2时有1条;当2m6时有4条.【突破训练1】已知动点夕在双曲线上,双曲线C的左、右焦点分别为尸1/2,则下列结论错误的是(B).A.双曲线。的渐近线与圆(.2)2+y2=3相切B.满足IP尸2|=4的点。共有2个C.直线y=M/2)与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是-旧D.若|P。|+PF21=8,则 5型“2=6解析由题意得。2=1,/=32=1+3=4,则c=2,所以尸(2,0),尸2(2,0),渐近线方程为产心，又圆(x-2)2+y2=3的圆心为b2(2,0)泮径片旧，所以尸2(2,0)到直线产V羸的距离一 比2旧|二百=，所以双曲线c的渐近线与圆(*2)2+户3相切，所以A正确;晶J(V3)2+(-d2 W【目录,当点尸在左支上时,|尸尸2|的最小值为+。=1+2=3 4,所以左支上有2个点满足|尸尸2|=4,当点 尸在右支上时,|尸产21的最小值为=2-1=1 4,所以右支上有2个点满足|尸产2|=4,综上，满足|PF2|=4的点。共有4个，所以B错误；因为丁=6%-2）恒过点尸2（2,0）,当左=遮或左=-6时，直线y=-x-2）与渐近线平行，与右支有一 个交点，与左支无交点，当k取或左-8时，左-8与右支有两个交点,与左支无交点,当-V3%旧时，直线产左（*2）与左、右支各有一个交点，所以C正确；不妨设点尸在右支上，则I尸RI-I尸/2|=2=2,因为|尸B|+|尸/2|=8,所以|尸B|=5,|尸/2|=3,又 61=4,所以I尸川2=|尸局2+尸如|2,所以/尸尸2尸1=90。,所以尸尸2,尸2尸1,所以S.1旷犯尸2|旧画三X3 X4=6,所以D正确.方法突破2直线与双曲线的综合应用例2（2021年新高考全国I卷）在平面直角坐标系xOy中,已知点八（-旧,0）,B（g,0）点M满足IMF1|-|MF21=2,记M的轨迹为C.求。的方程；设点T在直线x上，过T的两条直线分别交。于43两点和RQ两点，且 TA-|ZB|=|7P|.|TQ,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.解析因为|MB|-|MB|=2|AF2|二2 VI7,所以轨迹。是以点吊低为左、右焦点的双曲线的右支.设轨迹。的方程为?q=13。力0),则2 a=2,可得。=1/=(7-。2=4,所以轨迹c的方程为12一女二1(立1).16设点7(),若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线。无公共点.乙不妨设直线AB的方程为ki(x1),即 y-k1 x+t-k,乙 乙,1联立y=klX+消去y并整理可得(超-16煨+左1(291)九+(、我1)2+16=0.16%2-y2=16,【目录,设点4（孙1）乃（%2,竺）,则XI，且X2|.乙 乙由韦达定理可得 Xl+%2=/C-J_。/C-J_b所以|L4|阳=（1+烧）的 J-x2-1=（1+烧）0+=（/+?）；+野.Z Z N 4/C-lo设直线PQ的斜率为心同理可得|研|丁。|=7黑迎.用2-Lo因为|m.|第=|阳.妆|,所以四搭簪=四霁”整理可得般=超,凡2-工。即（左1-左2）（左1+左2）=0,显然红-左2邦,故kl+kz=O.因此，直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.方法总结判断直线与双曲线位置关系的三个步骤I.一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一第二步;消元转化成关于“或力的一元二次方;濯（或一元一次方程）：箍川利用根与系教的关系（或方程的解）判配吨们的位置关系 I2 2【突破训练2】(2022.广东珠海模拟)已知双曲线C:9=1(0力0)的一彳 a乙b乙焦点为F(VX0),且经过点7(畀).(1)求双曲线。的标准方程；已知A是。上一定点，过点6(0,1)的动直线与双曲线。交于P,Q两点，若 kAP+kAQ为定值九求点A的坐标及实数2的值.5 1解析由题意知2+/;2=/=2,且g卡=1,联立解得=6=1,aL所以双曲线C的标准方程为x2y=i.【目录,设AO,办过点B的动直线为y=tx+l.设尸（阳,川）,。（检,以）,联立；?；得（1-户）d2%-2=0,rl-t2 H 0,J=4 t2+8（l-t2）0,所以拈+x 由1/）且/0,解得好0),左端为优当焦点在y轴上时，方 程的右端为i2必0),左端为A2.标准方程y2=2px(pQ)y2=-2px(pQ)x2=2py(pQ)x2=-2py(pQ)夕的几 何意义焦点厂到准线/的距离图形目录标准 方程y2=2pxpQ)y2=-2px(p0)x1=2py(p0)x2=-2py(pQ)顶点0(0,0)对称轴元轴y轴焦点鸣。)尸(刍。)尸”)F(4)离心率e=l准线 方程PP 户5T7 2P 尸开口 月|可3右1可左向上向下范围x0,y eR立 0,Ry0,xR乃 0,xR焦半径(其中P(%ojo)PF=x.+PF=-xPF=yo PF=-y.【目录,拓展知识与抛物线焦点弦有关的几个常用结论设AB是过抛物线 户2.0)焦点F的弦若)乃(尬,)以为弦AB的倾斜角，则p2(l i%2=ji y2=-p2;(2)AF=.BF=;l-c o sa 1+c o sa(3)弦长|45|=+尬+夕=；,八 1 1 2(4)十二一；JAF BF p(5)以弦AB为直径的圆与准线相切.夯实基础【概念辨析】1.判断下面结论是否正确.（对的打 飞，错的打X）（1）平面内与一个定点厂和一条定直线/的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.（X）方程产狈2（存0）表示的曲线是焦点在无轴上的抛物线，且其焦点坐标是停,0）准线 方程是=（x）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.（X）（4）AB是过抛物线 产2的。）的焦点/七,。）的弦，若人（沏4）凤2,丁2）,则为%2二9,叫2二-p2,弦长|AB|n+%2+p.（V）4【对接教材】2.已知抛物线的顶点是原点对称轴为坐标轴，并且经过点尸(-2,-4)厕该抛物线的 标准方程为 或.解析设抛物线的方程为户2*0川)或无2=2双/#0).将点尸(2-4)代入分别得方程为丁=.8%或小=小3.已知抛物线。与双曲线木（D）.A4=2 近xC.产4 x【目录，2-y2=i有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线。的方B.y2=2xD.y2 二 4a：解析由题意可知双曲线的焦点为（-中0）,（迎,0）.设抛物线的方程为 产2川。0）,则六VX所以片2廖乙所以抛物线方程为/=4&x故选D.【易错自纠】4.(2022.丰台模拟)已知点P(xo,yo)为抛物线。招二分上的点，且点尸到抛物线。焦点 的距离为3厕血匚 2班.解析设抛物线C：f=4 y的焦点为则F(O,1).根据抛物线的焦半径公式可知1=3,所以州=2,代入抛物线方程得%0 2=4泗=8,故 xo 1=2 V2.讲考点考向考点1抛物线的定义的应用【典例迁移】例1设P是抛物线产以上的一个动点，尸是抛物线户以的焦点若 8(3,2),则|PB|+归耳|的最小值为 4.解析如图，过点B作BQ垂直抛物线的准线于点。，交抛物线于点Pi,则岛。1=1尸囚.则有 1尸为+|PF|PiB|+P,Q=|3Q=4,即|尸为+|尸川的最小值为4.(2)(2021年新高考全国I卷)已知。为坐标原点，抛物线。：产=2力(0)的焦点为F,P为。上一点P尸与x轴垂直，。为x轴上一点且。，。P若尸。|=6厕。的准线方3程为-5.【目录,解析由题意知抛物线32=22如0)的焦点为 植,0),丁尸为。上一点,尸尸与x轴垂直，点P的横坐标为*代入抛物线方程求得点P的纵坐标为切不妨设Pjp).,:。为X轴上一点，且PQ.L0P,点。在点F的右侧.又”Q=6,J。(6+*0),PQ=(6,必丁 尸。J_ OP,：.PQ-OP x6/2=o.e-0,AC的准线方程为x=|.【变式设问1本例中的瓦点坐标改为(3,4),则|尸为+|P娼的最小值 为 2右.解析由题意可知点5(3,4)在抛物线的外部.|尸身+|尸尸I的最小值即为一两点间的距离9(1,0),Z.PB+PFBF=V22+42=25,即|P5|十|P娼的最小值为2 V5.【变式设问2】若将本例中的条件改为“已知抛物线方程为产=4为直线I 的方程为+5=0,在抛物线上有一动点尸到y轴的距离为4,到直线/的距离 为引:则di+2的最小值为3企.1.解析由题意知，抛物线的焦点为F(l,0).点尸到y轴的距离/一|尸尸|-1,所以ddi=di+PF-.易知办+|尸尸I的最小值为点尸到直线/的距离，故2+1尸/I的最小值为 所以di+4的最小值为3V2-1.点拨与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看WWWVWWWWVWW到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重 要途径.【追踪训练1】（2021年新高考全国II卷）抛物线户2.S0）的焦点到直 线y=x+l的距离为加，贝1 p=（B）.A.1 B.2 C.2 V2 D.4解析由题意知抛物线的焦点的坐标为（*。）,所以其到直线广乙P_ 0+1 Iy+1=0的距离g先解得P=2或p=-6（舍去）.V1+1(2)(2022.陕西渭南模拟)若A为抛物线y2=4x上一点F是抛物线的焦点,|4/|=6为 直线I=-1上的动点，则|P4|+|P娼的最小值为(B).A.2 V13 B.2 V2 1 C.2+2 V14 D.8解析由抛物线的定义得,|4/|=办+与=羽+1=6,则xa=5,代入产=4%得货=20,不妨设4(5,2而)，点/关于直线4-1的对称点为石(-3,0),贝!|尸川+|尸尸|=|尸A|+|P同 N|A 园=(5+3)2+(2 V5)2=2V21.考点2抛物线的标准方程与几何性质【题组过关】21.（2019年全国II卷）若抛物线廿=2庶。0）的焦点是椭圆三3P贝D）.A.2 B.3 C.4 D.8解析：抛物线 户2川30）的焦点坐标为喙,0）,乙2 2 2由已知得椭圆；+匕=1的一个焦点为（*0）,，3?片j 3p p 2 4又 p0,.p=8.的一个焦点,2.（2 02 1湖北武汉调研）如图，过抛物线 户2川00）的焦点厂的直线/交抛物线于 点A,民交其准线于点C.若13c l=2|叫，且|”|=6,则此抛物线的方程为（B）.A.y2=9%B.y2=6xC.y2=3x D.y1=V3x解析如图分别过点43作准线的垂线，分别交准线于点EQ设阴=,则由 已知得|5。|=2,由抛物线定义得故N5CD=30。,在直角三 角形 ACE 中，因为|AE|=|A 尸|=6,|AC|=6+3,2|AE|=|AC|,所以 6+3=12,从而得=2,尸。|=3=6,所以夕二|/G|尸。|=3,因此抛 物线的方程为y2=6x.【目录,3.（2 02 2.福建厦门一模）若抛物线尤2=冲的焦点到准线的距离为1,则“=（C）.A.2 B.4 C.2 D.i4解析.2=砂=2/yp=1,，=2.故选（2.目录点拨1.求抛物线标准方程的方法(1)定义法:若题目已给出抛物线的方程(含有未知数P),则只需求出P即可.(2)待定系数法:若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线 的标准方程可统一设为y2=ax0),a的正负由题设来定;焦点在y轴上的抛物 线的标准方程可设为/=今(0).这样就减少了不必要的讨论.2.抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成 标准方程.(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算.目录考点3直线与抛物线的综合问题【题组过关】例2（2021年全国乙卷）已知抛物线。：丁=2/S0）的焦点/到准线的距离为2.求。的方程；已知。为坐标原点，点P在。上，点Q满足同=9而,求直线OQ斜率的最大值.解析由题意知抛物线。：产2内0）的焦点为心,0）,准线方程为=与则该抛物线的焦点到准线的距离为y苧=p=2,乙 乙所以该抛物线的方程为y2=4x.【目录,(2)设。(祀面,则丽=9/=(99沏,9州),所以P(lOxo-9,lOyo).由点尸在抛物线上可得(10%)2=4(10如9),即 所第A所以直线0Q的斜率=*筵=培端10当yo=Q时oq=0.当 yoWO 时,%二；25丫。+_当yo O时，因为2 5y0+-2 12 5yo？=30,此时0%。昌当且仅当2 5yo=工即为时 y。7 yo y。5等号成立;当yo。时,%o 0(xo Jo),由y=kx+犯得心2+q加4)/加2=0,yL-4 x,4-2km.xi+x?2-/cm,2 口n z2-/cm 2、Xi+%2=.2,0=-二二=0二1()+加=1,即 D(下-,%)二.直线/2与圆E:(x-3)2+y2=6相切于点D,|。月2=6,且。E_L/2,从而（学-3）2+（20）2=6,且左二.1,即 K K整理可得（32=2,即 k-/2,.m=0,故直线h的方程为V5x-y=0或V5x+y=0.悟方法技巧方法突破与抛物线有关的最值问题典例（2022.北京模拟）点P在曲线二4 x上过点。分别作直线户-1及 产x+3的垂线，垂足分别为GH则|PG|+|P|的最小值为（B）.A.乎