高考数学一轮复习 第九章 统计与成对数据的统计分析.pdf

第九章统计与成对数据的统计分析第1节随机抽样、统计图表I考试要求1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样方 法.3.理解统计图表的含义.1知识诊断基础夯实ZHISHIZHENDUANJICI11知识梳理1.简单随机抽样(1)简单随机抽样分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机 抽样指不放回简单随机抽样.简单随机样本通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.(3)简单随机抽样的常用方法实现简单随机抽样的方法很多，签运和随机数法是比较常用的两种方法.2.总体平均数与样本平均数名称定义总体均 值(总体 平均 数)一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为H，Y2,Yn，则称h+匕。+丫匚:y为总体均值,又称总体平 均数.如果总体的N个变量值中，不同的值共有依kWAO个，不妨记为Y19 Y29 Yk9其中匕出现的频数E(i=l,2,k)9则总体-k均值还可以写成加权平均数的形式y 力典.iyi=l样本均值（样本平 均数）如果从总体中抽取一个容量为O的样本，它们的变量值分别为）1，”，则称y力+力。+为_：3,为样本均值,又称样本 n ni=i平均数.说明：（1）在简单随机抽样中，我们常用样本平均数y去估计总体平均数匕总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）；一般情况下，样本量越大，估计越准确.3.分层随机抽样(1)分层随机抽样的概念一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅 属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总 体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分随机亍 每一个子总体称为层.分层随机抽样的平均数计算在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数 分别为M和M抽取的样本量分别为机和第1层和第2层的样本平均数 分别为X，W样本平均数为刃，则3=清炉+*p=4/+扁了我们可以用样本平均数讪估计总体平均数W.4.统计图表(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线 图、频数分布直方图、频率分布直方图等.(2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤 及意义I常用结论1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.2.分层随机抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.频率3.频率分布直方图中小长方形高=蓊.11=1.思考辨析（在括号内打“J”或X”）（1）简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.（X）（2）抽签法和随机数法都是简单随机抽样.（V）（3）分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.（X）（4）频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频 率越大.（V）解析（1）简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会一样，与先后无关.（3）分层随机抽样中，每个个体被抽到可能性与层数及分层无关.2.(易错题)某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之 比为1：2：1,用分层随机抽样的方法从3个分厂生产的电子产品中共抽取100 件进行使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的 产品的平均使用寿命分别为980 h,1 020 h,1 032 h,则抽取的100件产品的 平均使用寿命为()AA.1 013 h B.l 014 h C.l 016 h D.l 022 h解析 由分层随机抽样的知识可知，从第一、二、三分厂抽取的电子产品数 量分别为25件,50件,25件,则抽取的100件产品的平均使用寿命为击X(980X25+1 020X50+1032X25)=1 013(h).3.(2022百校大联考)在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都进行网上上课.我校高一、高二、高三共有学生1 800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意 见，计划采用分层随机抽样的方法从这1 800名学生中抽取一个容量为72的样 本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我 校高三年级的人数为(D)A.800 B.750 C.700 D.650解析设从高三年级抽取的学生人数为2%人，则从高二、高一年级抽取的人 数分别为2%2,2x4.由题意可得 2x+(2x2)+(2x4)=72,Ax=13.设我校高三年级的学生人数为N,且高三抽取26人,由分层随机抽样，得焉=普650（人）.4.（2020天津卷）从一批零件中抽取80个,测量其直径（单位：mm）,将所得数据 分为 9 组：5.31,5.33）,5.33,5.35）,，5.45,5.47）,5.47,5.49,并整理得到如下频率分布直方图，则 在被抽取的零件中，直径落在区间5.43,5.47）内的个数为（B）解析 因为直径落在区间5.43,5.47内的频率为0.02x（6.25+5.00）=0.225,所以个数为0.225 x 80=18.5.（多选X2021全国甲卷改编）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年 收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ABD）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 解析 对于A,根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入低于4.5万元 的农户比率估计为(0.02+0.04)x lx l00%=6%,故A正确；对于B,根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农 户比率估计为(0.04+0.02+0.02+0.02)x lx l00%=10%,故B正确；对于C,根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值估计为 3x 0.02+4x 0.04+5x 0.10+6x 0.14+7x 0.20+8x 0.20+9x 0.10+10 x 0.10+11 x0.04+12x 0.02+13 x 0.02+14 x0.02=7.68(77 7C),故C错误；对于D,根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万 元之间的农户比率估计为(010+014+020+0.20)x lx l00%=64%50%,故D正确.6.(易错题)已知一组数据的频率分布直方图如图，则众数是 65.平均数是 67.解析因为最高小长方形横坐标的中点为65,所以众数为65；平均数 x=(55 X 0.030+65 X 0.040+75 X 0.015+85 X 0.010+95 X 0.005)X10=67.2考点突破题型剖析KAODIANTUPOTIXINGPOUXL下列抽样方法是简单随机抽样的是（D）A.质检员从50个零件中一次性抽取5个做质量检验B.隔空不隔爱，停课不停学”，网课上，李老师对全班45名学生中点名表扬了 3名发言积极的C.老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性D.某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑解析选项A：错在“一次性”抽取；选项B：老师表扬的是发言积极的，对每一个个体而言，不具备“等可能性”；选项C：错在总体容量是无限的.2.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个样本量为3的样本,其中某一个体”“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别 是（）AX X A I 1 A A 3Aio,io Bio,5 cg，而 Dio,io解析第一次被抽到，显然为今；第二次被抽到，首先第一次不能被抽到，第二次才被抽到，9 1 1可能性为1*=而3.（多选）（2022郑州模拟）要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，利用随机数表 法抽取50颗种子进行实验.先将850颗种子按001,002,，850进行编号，如 果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗 种子中一个的是（下面抽取了随机数表第1行至第3行）.（AOD 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 1114 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 7316 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10A.774 B.946 C.428 D.572解析 依据题意可知：向右读数依次为：774,946,774,428,114,572,042,533,所以:先检验的4颗种子符合条件的为:774,428,114,572,结合选项知选ACD.i悟提升1.简单随机抽样需满足：（1）被抽取的样本总体的个体数有限；（2）逐个抽取；（3）是不放回抽取；（4）是等可能抽取.2.简单随机抽样常有抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用 于个体数较多的情况）.考点二分层随机抽样及其应用例1(1)某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：最喜爱喜爱一般不喜欢4 8007 2006 4001600电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100人进行详细的调查,为此要进行分层随机抽样，那么在分层随机抽样时，每类人中应抽取的人数 分别为(D)A.25,25,25,25 B.48,72,64,16C.20,40,30,10 D.24,36,32,8解析因为抽样比为方丽=5而，所以每类人中应抽取的人数分别为4 800X=24,7 200X=36,/UU/UU6 400X=32,1 600Xt=8./UU/UU（2）记样本肛，X29，X股的平均数为样本%,J2，%的平均数为y（X 0）.若样本X1，%2，Xm,Ji，J2,yn的平均数为z=：x+%贝哼的 值为（D）1 1A.3 B.4 C.t D.q解析 由题意知x i+x 2+eee+xm=mx,Ji+jzH-yn=ny9（刈+型+x Q+（%+为）Z mrnmx+ny mx ny m-n9所以m 1m-n 4n 3 mn 4可得3瓶=，所以3-i悟提升1.求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.2.已知某层个体数量，求总体数量或反之求解：根据分层随机抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.3.在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m,平均值为X；第二层的样本量为n,平均值为y,则样本的平均值为mx-nym-n*训练1（1）（2021广州调研）某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生 的身体状况，采用分层随机抽样的方法，从该校学生中抽取样本量为的样本,其中高中生有24人，那么等于（）DA.12 B.18 C.24 D.36解析根据分层随机抽样方法知丽上疝=荒，解得=36.（2022重庆调研）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层随机 抽样的方法从中抽取一个样本量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品 由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 1幽解析由题设，抽样比为撰5=点设甲设备生产的产品为工件，则裾=50,Ax=3 000.故乙设备生产的产品总数为4 800-3 000=1 800.某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成 绩为90分，那么20名女生的平均成绩为_生_分.解析设所求平均成绩为“,由题意得 50X92=30X90+20Xx,：.x=95.考点n统计图表角度1扇形图、条形图例2已知某市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为(A)A.240,18C.240,20B.200,20D.200,18三居室户 主400人图1解析 样本量=(250+150+400)x30%=240,抽取的户主对四居室满意的人数为150 x 30%x 40%=18.角度2折线例3某网站为了了解某“跑团”每月跑步的平月跑步平均里程（公里）3 0 一一.一均里程，收集并整理了2022年1月至2022年11 2520月期间该“跑团”每月跑步的平均里程（单位：15 公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线+5图，下列结论正确的是（D）。1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8,9月份D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳 解析由折线图可知月跑步平均里程比6月份高的只有9,10,11,共3个月，比6月份低的有1,2,3,4,5,7,8,共7个月，故6月份对应里程数不是中 位数，因此A不正确；月跑步平均里程在1月至！12月，6月至!)7月，7月至!|8月，10月到11月都是减少的,故不是逐月增加，因此B不正确；月跑步平均里程高峰期大致在9,10,11三个月，8月份是相对较低的，因此 C不正确；从折线图来看，1月至5月的跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变 化比较平稳，因此D正确.角度3频率分布直方图例4（2022南昌调研）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量 都在50度至350度之间，频率分布直方图如图.直方图中X的值为在这些用户中，月用电量落在区间口00,250）内的户数为70解析(1)由频率分布直方图知数据落在200,250)内的频率为 1-(0.002 4+0.003 6+0.006 0+0.002 4+0.001 2)x 50=0.22,于是 x=0.004 4.AU(2)因为数据落在100,250)内的频率为(0.003 6+0.006 0+0.004 4)x 50=0.7,所以所求户数为0.7 x 100=70.I感悟提升通过扇形图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.折线图可以显示随时间（根据常用比例放置）而变化的连续数据，因此非常适 用于显示在相等时间间隔下数据的趋势.频率分布直方图的数据特点：频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以 为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆.频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,这是解题的关键，常利用频 率分布直方图估计总体分布.训练2(1)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了 解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进 行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为(B小学生3 500 名局中生 000名初中生4 500 名近视率/%小学初中高中年级o o o O5 3 1A.100,20C.200,10甲 乙B.200,20D.100,10解析 由题图甲可知学生总数是10 000人,高中生为2 000 x2%=40人，由题图乙可知高中生近视率为50%,所以人数为40 x50%=20.样本量为10 000 x2%=200人,某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分 组依次为20,40),40,60),60,80),80,100.若低于60分的人数是 15,则该班的学生人数是（B）A.45 B.50C.55 D.60解析 由频率分布直方图,知低于60分的频率为(0010+0.005)x 20=0.3,该班学生人数=孟=50.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2019 年1月至2021年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线2019 年 2020 年 2021 年根据该折线图，下列结论错误的是（A）A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 解析 对于A,由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错 误；对于B,观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于C D,由图可知显然正确.3分层训练巩固提升FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHEN；I|l A级基础巩固L要完成下到两项调查：某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查购买力的某项指标；(2)从某中学高二 年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况.应采取的抽样方法是(B)A.(l)(2)都用简单随机抽样法B.用分层随机抽样法，(2)用简单随机抽样法C.(l)用简单随机抽样法，(2)用分层随机抽样法D.都用分层随机抽样法解析(1)中收入差距较大，采用分层随机抽样法较合适；(2)中总体容量较小，采用简单随机抽样法较合适.2.（2022首都师范大学附属中学月考）从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01,02,50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则 选出的第5个个体的编号为（A 注：表为随机数表的第1行与第2行034743738636 9647366146986371629774246792428114572042 533237321676A.24 B.36 C.46 D.47解析由题知，从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始,由表可知依次选取43,36,47,46,24.3.某中学400名教师的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名教师作样本，若用 分层随机抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取（eA.40 人C.20人B.200人D.10 人解析 由图知，40岁以下年龄段的人数为400 x50%=200,若采用分层随机抽样应抽取200X益=20（人）.4.（2021沈阳模拟）在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40,则成绩 在80100分的学生人数是（A）频率组距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005 V 50 60 70 80 90 100 成绩/分A.15B.18C.20D.25解析 由频率分布直方图知，第二小组的频率为10 x 0.040=04二总人数为人,又成绩在80100分的频率为10 x(0.010+0.005)=0.15,，成绩在80100分的学生人数为100 x 0.15=15人.5.（多选）（2022襄阳联考）某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人.甲就读于高一，乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有（ABDA.应该采用分层随机抽样法B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人C.乙被抽到的可能性比甲大D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力解析 由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样法.235 1由于 比例为20 X 50+30 X 45=15因此高一年级1 000人中应抽取100人，高二年级1 350人中应抽取135人,甲、乙被抽到的可能性都是G，因此只有C不正确.6.（多选）（2022广州模拟）港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香 港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往 香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄统计了 大桥落地以后，由香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客 的比例分别为5：2：3,现使用分层随机抽样的方法从这些旅 客中随机抽取名，若青年旅客抽到60人，贝【J（AC）A.老年旅客抽到100人B.中年旅客抽到20人C.H=200D.被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200人解析 由题意，香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为5：2：3,若青年旅客抽到60人，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取名,所以那=鬲有，解得=20。人，5 2则老年旅客抽到60X-=100人,中年旅客抽到60X-=40人,则老年旅客和中年旅客人数之和为140.7.（多选）（2020新高考全国n卷）我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的 是（CD）A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量 C.第3天至第11天复工复产指数均增大都超过80%D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量 解析 由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少,第10天到第11天复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误;由图可知，第一天的复产指数与复工指数的差大于第11天的复产指数与复工 指数的差，所以这U天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%,故C正确；由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确.8.（多选）某学校为了调查学生在一周生活方面的支 出情况，抽出了一个样本量为的样本，其频率 分布直方图如图所示，其中支出在50,60）元的 学生有60人，则下列说法正确的是（BC）A.样本中支出在50,60）元的频率为0.03B.样本中支出不少于40元的人数为132C.的值为200D.若该校有2 000名学生，则一定有600人的支出在50,60沅解析 在A中，样本中支出在50,60)元的频率为1一(0.010+0.024+0.036)x 10=0.3,故A错误；在C中，=八段=200,故的值为200,故C正确；U.US A JLU在B中，样本中支出不少于40元的人数为200 x(0.030+0.036)x l0=132,故B 正确；在D中，若该校有2 000名学生，则可能有600人的支出在50,60)元，故D错 误.9.从一群玩游戏的小孩中随机抽出女人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏.过了一会儿，再从中任取加人，发现其中有个小孩曾分过苹果，估计参加游 戏的小孩的人数为 V解析设参加游戏的小孩有X人，贝E=a，*=等.10.为了解学生“阳光体育”活动的情况，随机 统计了名学生的“阳光体育”活动时间（单 位：分钟），所得数据都在区间10,110内，其频率分布直方图如图所示.已知活动时间在 10,35）内的频数为80,则的值为H0L.解析 根据频率分布直方图，知组距为25,所以活动时间在10,35）内的频率为0.1,因为活动时间在口0,35）内的频数为80,所以 n=:pr=800.Ue JL11.某班的数学老师要对该班一模考试的数学成绩进行分析，利用随机数法抽取 样本时，先将该班70名同学按00,01,02,，69进行编号，然后从随机数 表第9行第9列的数开始向右读，则选出的10个样本中第8个样本的编号是38.:以下是随机数表的第8行和第9行注第8行:63 01 6310 50 7152 38 79第9行：33 21 1242 07 4478 59 1675 12 8634 29 7838 15 51955567199873580744396456078252001342996602 79 54解析由随机数表知选出的10个样本依次是29,64,56,07,52,42,44,38,15,51,第8个样本编号是38.12.一汽车厂生产A,B,C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表（单位：辆）：轿车A轿车3轿车。舒适型100150Z标准型300450600按类型用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则Z的值为400.解析 设该厂这个月共生产轿车辆，由题意得乎=1（忐而？所以=2 000,n 100十300贝女=2 000100300150450600=400.I|b级能力提升13.（多选）（2022济南质检）去年7月，有关部门出台在疫情防控常态化条件下推进 电影院恢复开放的通知，规定低风险地区在电影院各项防控措施有效落实到 位的前提下，可有序恢复开放营业.一批影院恢复开放后，统计影院连续14天的相关数据得到如下的统计图表.其中，编号为1的日期是周一，票房指影院门票销售金额，观影人次相当于门票销售数量.观影人次（万次）1778140.275.930.927.4/17 0006 0005 0004 0003 0002 0001 0000I票房（万元）一121.5 13269.3673 23848427361 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 日期编号673180160140120100806040200由统计图表可以看出，连续14天内（AB）A.周末日均的票房和观影人次高于非周末B.影院票房，第二周相对于第一周同期趋于上升C.观影人次，在第一周的统计中逐日增长量大致相同D.每天的平均单场门票价格都高于20元解析由题意，根据统计图表，可得：当编号为6,7,13,14时，影院门票 销售金额分别为3 022万元，3 238万元，3 736万元，4 842万元，观影人数分 别为：121.5万人，132万人，140.2万人，177.8万人，票房和观影人次高于非 周末，所以A是正确的；根据统计图表，可得影院票房，第二周相对于第一周同期趋于上升，所以B 是正确的；根据统计图表，可得增长量分别为：5.1,5.8,3.5,45,45.6,10.5,所以观 影人次在第一周的统计中逐日增长量有明显差别，所以C不正确；569X1000030.9X10 000由统计图表，可得第一周的第4天，每天的平均单场门票价格为218.414（元），所以D不正确.14.某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产 品的质量，决定采用分层随机抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间 抽取的产品数分别为“，b,c,且a,b,c构成等差数列，则第二车间生产的 产品数为1200.解析 因为。，b,c成等差数列，所以助=a+c.28+c 所以=b.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的;.根据分层随机抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的;，即为;X3 600=1 200.15.为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况，按照分层随机抽样的 方法，从全区320名正科级干部和1 280名副科级干部中抽取40名科级干部预 测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况.现将这40名科级干部分为正科 级干部组和副科级干部组，利用同一份试卷分别进行预测.经过预测后，两组 各自将预测成绩统计分析如下表：分组人数平均成绩正科级干部组a80副科级干部组b70(1)则=8.b=32 这40名科级干部预测成绩的平均分=72解析(1)样本量与总体中的个体数的比为而二证=*,1 Zov U则抽取的正科级干部人数=320义而=8,副科级干部人数b=l 280X=32.d 一5j 八一 80X8+70X32这40名科级干部预测成绩的平均分x=-而-=72.16.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为25,30）的数据不慎丢失，则依据此图可得:（1）25,30）年龄组对应小长方形的高为；据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在25,35）的人数为440.解析 设25,30)年龄组对应小长方形的高为瓦贝II5 x(0.01+入+0.07+0.06+0.02)=1,解得人=0.04.则志愿者年龄在25,35)的频率为5 x(0.04+0.07)=0.55,故志愿者年龄在25,35)的人数约为0.55x 800=440.第九章统计与成对数据的统计分析第2节用样本估计总体I考试要求1.会用统计图表对总体进行估计，会求几个数据的第P百分位数.2.会用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.1知识诊断基础夯实ZHISHIZHENDUANJICIM知识梳理L总体百分位数的估计第p百分位数的定义一般地，一组数据的第P百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-P)%的数据大于或等于这个 值.计算一组个数据的第0百分位数的步骤 第1步，按排列原始数据.第2步，计算，=x p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为则第0百分位数为第1项数据；若i是整数，则第P百分位数为第，项与第(i+D项数据的2.样本的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数.(2)中位数：把个数据按大小顺序排列，处于-t史间_位置的一个数据(或最 中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.1+2+斯(3)平均数：把_&_称为由,，斯这个数的平均数.(4)标准差与方差：设一组数据打，X2,X3,，/的平均数为X，则这组数据的标准差和方差分别是(小一%)2+(x2X)2+(xnX)2,1 一 一S2=(X1X)2+(X2x)2+eee+(xnX)2.I常用结论1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形 的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.2.平均数、方差的公式推广(1)若数据Xn的，xn的平均数为X,那么wx i+a,mx2ra9 mxa9,mxnra的平均数是mxra.若数据刈，血，X”的方差为E那么数据x i+e x2+a,岛+a的方差也为2；数据ax19 ax29,axn的方差为a2s2.11=1.思考辨析（在括号内打或X）（1）对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.（X）（2）在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.（V）（3）方差与标准差具有相同的单位.（X）（4）如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差 不变.（V）解析（1）平均数指的是这组数据的平均水平；中位数指的是这组数据的中间 水平，它们之间没有必然联系，故该说法错误.（3）方差是标准差的平方，故它们单位不一样.2.下列一组数据的第25百分位数是（A）2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6A.3.2 B.3.0 C.4.4 D.2.5解析把该组数据按照由小到大排列，可得：2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6,由1=10 x25%=2.5,不是整数，则第3个数据3.2是第25百分位数.3.（2020全国m卷）设一组样本数据修，叼，/的方差为001，则数据106，10*2，10 x的方差为（C）A.0.01 B.0.1 C.l D.10解析10瞥,104，10瞥的方差为102x 0.01=1.4.(多选)(2021新高考I卷)有一组样本数据%i，勺，x“，由这组数据得到新 样本数据%,为，,其中弘二匹+c(i=1,2,，w),c为非零常数，则(CD)A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同解析 设样本数据不，必，工”的平均数、中位数、标准差、极差分别为工,m,t,依题意得，新样本数据口,以，%的平均数、中位数、标准差、极差分别为x+c,m+c,6 因为cWO,所以A,B不正确，C,D正确.5.（易错题）一组数据的平均数是28,方差是4,若将这组数据的每一个数据都加 上20,得到一组新数据，则所得新数据的平均数是 48,方差是_4_.解析 设该组数据为修，x2,X,则新数据为对+20,皿+20,，xn+20,记新数据的平均数为因为“=小+必+,+%=28,X1+2O+X2+2O+/+20所以 X=-=20+28=48.因为 2=(XiX)2+(应一%)2+(Xn X)2=4,，I所以 s =，x i+20(x+20)2+X2+2O(x+20)2+*+xw+20(x+20)2，I=s2=4.6.（2022苏州模拟）由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区200家实体店该品牌洗衣机的月 经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为m，中位数为，则山一 n=360.经济损失/元解析 第一块小矩形的面积&=0.3,第二块小矩形的面积S2=0.4,故=,0.5-032 0+0.000 2=3 000；又第四、五块小矩形的面积均为3=0.06,故而口一(0.3+0.4+0.06X2)=0.000 09,所以旭=1 000 x 0.3+3 000 x 0.4+5 000 x 0.18+(7 000+9 000)x 0.06=3 360,故加一=360.2考点突破题型剖析KAODIANTUPOTIXINGPOUX考点一百分位数的估计1.如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温（单位：）的情况绘制的折线统 计图，由图可知这10天最低气温的第80百分位数是（D）A.2D.2解析 由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：-3,-2,L 1,0,0,L 2,2,2,因为共有10个数据，所以10X80%=8,是整数，则这10天最低气温的第2+280百分位数是;=2.2.一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18,贝【J该组数据的第75 百分位数为婚第86百分位数为 17.解析 V75%x 20=15,e H八43位14+15第75百分位数为一=145V86%x 20=17.2,J第86百分位数为第18个数据17.3.将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩（成绩均为整数）整理后画出频率分布直方图如图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是 处.（结果保留两位小数）解析 由频率分布直方图可知，分数在120分以下的学生所占的比例为(0.01+0.015+0.015+0.03)x10 x100%=70%,分数在130分以下的学生所占的比 例为(0.01+0.015+0.015+0.03+0.022 5)x10 x100%=92.5%,因此，80%分位数一定位于120,130)内.因为120+0,80-0,700.925-0.70X 10=124.44,所以此班的模拟考试成绩的80%分位数约为124.44.i悟提升计算一组数据的第。百分位数的步骤按从小到大排列原始数据计算，二冷X P%若，不是整数，而大于泊勺比邻 r整数为/,则第0百分位数为第j项数据若，是整数，则第p百分位数为第 1项与第（计1）项数据的平均数考虑总体集中趋势的估计角度1样本的数字特征例1某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参加的 若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下（单位：分）：甲9582888193798478乙8375808090859295请你计算这两组数据的平均数、中位数;解 x 甲=1x(95+82+88+81+93+79+84+78)=85(分),Ox 乙=权(83+75+80+80+90+85+92+95)=85(分).O甲、乙两组数据的中位数分别为83分，84分.现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪 名工人参加合适？请说明理由.解由(1)知X甲=*乙=85分，所以吊=1(95-85)2+(8285y H-p(7885)2=355Osi=1(83-85)2+(75-85)2H-F(95-85)2=41.O从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；从中位数看，乙的中位数大于甲的中位数，乙的成绩好于甲；从方差来看，因为