极值点偏移问题专题——对数平均不等式.doc

极值点偏移——对数平均不等式（本质回归）
笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：
，
不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题．
对数平均不等式：对于正数，，且，定义为，的对数平均值，且有，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为．
先给出对数平均不等式的多种证法．
证法1（对称化构造） 设，则，，构造函数，则．由得，且在上，在上，为的极大值点．对数平均不等式即，等价于，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试．
证法2（比值代换） 令，则
，构造函数可证．

证法3（主元法） 不妨设，．
记，，则
，得在上，有，左边得证，右边同理可证．
证法4（积分形式的柯西不等式） 不妨设，则由
得，；
由得，．
证法5（几何图示法） 过上点作切线，由曲边梯形面积，大于直角梯形面积，可得，即；
如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得
，即．
由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题．

再解例1：即，，则（正数，的对数平均数为1），于是，得，且．
再解例2：即；由得，两式相减得
，
下面用反证法证明．
若，则，，取对数得，则．
而由对数平均不等式得，矛盾．
再解例3：由得，
；
．
由对数平均不等式得，，得．
再解练习1：由得，则，得；
，已证．
再解例4：同例1，不再详述．
再解例5：同例1得到，则．
再解例7（2）：易得，则，则，．
再解例8：，，得，则，，．
再解练习2：原题结论抄写有误，应更正为．
即，，则

①－②得，则（正数，的对数平均数为1）．
于是，，得，且．
①＋②得，所以，由此可得．
解练习3：选项D：即，则，，所以．
顺带地，也有．
极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，解题的关键有以下几步：
（1）根据建立等量关系；
（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数；
（3）通过恒等变形转化出对数平均数（的值或仍用，表示），代入对数平均不等式求解．
细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键，最后再举一例．
例10 设函数的两个零点是，，求证：．
证法1：首先易知，且在上，在上，不妨设，，构造函数可证．
证法2：由题意得，两式相减得
，
，
，
所以
．

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