极限四则运算.doc

§1.5 极限的运算法则
极限定义为我们提供了一种求极限的方法,但这种方法使用起来很不方便,并且在大多数情形下也是不可行的.这一节我们将给出极限的若干运算法则,应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算.
一 无穷小的运算定理
设是时的无穷小，即下面来叙述有关无穷小的运算定理。
定理1 1）有限个无穷小的和也是无穷小；
2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论：1）常数与无穷小的乘积是无穷小；
2） 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
二 极限的四则运算法则
利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。
定理2 如果， 则，的极限都存在，且
（1）
（2）
（3）
证 1因为， ，所以，当时，，
当 时，有，对此，，当时，有，取，当时，有
所以。
2） 因为，由极限与无穷小的关系可以得出
（均为无穷小）
于是有，记， 为无穷小，因此 。
3）证 设（为无穷小），考虑差：

其分子为无穷小，分母，我们不难证明有
界（详细过程见书上）为无穷小，记为，所以， 。
由该定理可以得到如下推论：
推论： 若存在，C为常数，则
1）
2）
由于数列是函数的一直特殊情形，因此上述定理和推论对数列极限也成立。
例1 证明：
证 因为由推论
例2 求。

例3 求极限
解 当时，分母的极限是0，所以不能用极限的四则运算法则，但注意到其分子中也含有，且在的过程中，即，于是可以约去不为零的公因子，因此

例4 求极限
解 当时，分子、分母的极限均为零，但该分式的分子、分母中含有一个公因子，且在的过程中，即，于是可以约去不为零的公因子，因此

例5 求极限
解 因为，商的极限运算法则不能用，但由于由无穷小和无穷大的关系，有
例6 求极限
解 当时，分别考察分式的分子和分母，均没有极限，所以无法使用极限的四则运算法则，注意到分式的分子和分母的最高次幂都是4，可将分子分母同时除以，则有

练习 求极限
一般地，若有

例7 求极限
解 当时，均无限增大，都没有极限，不能直接应用极限的四则运算法则，为求此极限，可先将分子有理化，得

例8 求极限
解 当时，分别考察分式的分子和分母，均没有极限，但当时，为无穷小，又为有界函数，由于有界函数与无穷小的乘积为无穷小，所以
三 复合函数求极限的法则
定理3（复合函数的极限运算法则）设函数是由与复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，， 且，当时，有， 则
。
证 任给，由于，根据函数极限定义，存在相应的，当时，有

又由于，故对上述，存在相应的，当时，有
，
取，则当时，与同时成立，即成立，从而有
，
所以
．
例8 求极限。
解 ，则，当时，，于是

练习 求极限。