极限四则运算.doc

1.5 极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法,但这种方法使用起来很不方便,并且在大多数情形下也是不可行的.这一节我们将给出极限的若干运算法则,应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算.一 无穷小的运算定理设是时的无穷小，即下面来叙述有关无穷小的运算定理。定理1 1）有限个无穷小的和也是无穷小； 2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论：1）常数与无穷小的乘积是无穷小；2） 有限个无穷小的乘积也是无穷小。二 极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。定理2 如果， 则，的极限都存在，且（1） （2） （3） 证 1因为， ，所以，当时，当 时，有，对此，当时，有，取，当时，有 所以。2） 因为，由极限与无穷小的关系可以得出（均为无穷小）于是有，记， 为无穷小，因此 。3）证 设（为无穷小），考虑差：其分子为无穷小，分母，我们不难证明有界（详细过程见书上）为无穷小，记为，所以， 。由该定理可以得到如下推论：推论： 若存在，C为常数，则1）2） 由于数列是函数的一直特殊情形，因此上述定理和推论对数列极限也成立。例1 证明：证 因为由推论例2 求。 例3 求极限解 当时，分母的极限是0，所以不能用极限的四则运算法则，但注意到其分子中也含有，且在的过程中，即，于是可以约去不为零的公因子，因此例4 求极限解 当时，分子、分母的极限均为零，但该分式的分子、分母中含有一个公因子，且在的过程中，即，于是可以约去不为零的公因子，因此例5 求极限解 因为，商的极限运算法则不能用，但由于由无穷小和无穷大的关系，有例6 求极限解 当时，分别考察分式的分子和分母，均没有极限，所以无法使用极限的四则运算法则，注意到分式的分子和分母的最高次幂都是4，可将分子分母同时除以，则有练习 求极限一般地，若有例7 求极限解 当时，均无限增大，都没有极限，不能直接应用极限的四则运算法则，为求此极限，可先将分子有理化，得例8 求极限解 当时，分别考察分式的分子和分母，均没有极限，但当时，为无穷小，又为有界函数，由于有界函数与无穷小的乘积为无穷小，所以三 复合函数求极限的法则定理3（复合函数的极限运算法则）设函数是由与复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若， 且，当时，有， 则 。证 任给，由于，根据函数极限定义，存在相应的，当时，有又由于，故对上述，存在相应的，当时，有，取，则当时，与同时成立，即成立，从而有，所以例8 求极限。解 ，则，当时，于是练习 求极限。